微元法求旋转体体积的几何研究

贺慧霞, 李 娅, 马 健

(北京航空航天大学 数学科学学院，北京 100083)

1 微元法

“微元法”是分析解决几何、物理问题的常用方法，也是从部分到整体的思维方法.设U是一个几何量或者物理量，且满足下列条件：

(1)U是与一个变量x的变化区间[a,b]有关的量；

(2)U对于区间[a,b]具有可加性；即把[a,b]分成许多部分区间，则U相应地分成许多部分量，而U等于这些部分量之和；

(3)对任意的[x,x+dx]⊂[a,b]，对应的ΔU≈dU=f(x)dx，则U可表示为

这个方法就称为微元法.

利用“微元法”处理问题时，需将复杂的几何、物理问题分解为众多微小的、遵循相同规律的微元，利用“化整为零，以常代变”的思想，求出微元对应的几何量或者物理量的近似值(微分表达式)，再利用“积零为整，无限累加”，求出整体量的精确值(积分表达式)，从而解决问题[1-3].

在微元法求旋转体体积时，目前的大多数教材只给出了平面图形绕坐标轴或者平行于坐标轴的直线旋转所成的旋转体的体积计算公式，没有研究讨论平面图形绕斜直线旋转的旋转体体积.本文从微元法的求解步骤入手，就此问题展开讨论，并给出旋转体体积的计算公式.

2 旋转体

定义1 旋转体是由一个平面图形绕该平面内一条直线旋转一周而成的立体.这条直线叫作旋转轴．

如我们熟知的圆锥、圆台、球体都是旋转体，在中学时，我们已经掌握了这类旋转体体积的计算公式，这类旋转体的一个共同特点是平面图形的边界与旋转轴的垂线只有一个交点，为便于描述我们称这类旋转体为规范旋转体[4].但更多的旋转体要复杂得多，比如图1所示的旋转体，它由梯形ABCD绕直线L旋转生成，旋转体体积V=圆柱体积-圆锥体积.

图1 旋转体

因为旋转体体积具有可加性，所以任意旋转体体积都可以表示为有限个规范旋转体体积的代数和，因此我们在文中只讨论规范旋转体的体积.

3 求旋转体体积

设l:y=kx+h(k≠0)是xOy平面内的一条直线，y=f(x) 是区间[a,b]上的连续可导函数，它的图像是平面曲线BC,求平面图形ABCD(如图2所示)绕l旋转一周所得的旋转体体积.

图2

分析：微元法思想求解

分割旋转轴l,对任意小区间[l,l+dl]，求出dV，

dV=π·r2dl,

关键：求出r,dl及积分上下限m,n.

由图3可以看出，求解过程有平移、旋转坐标轴的思想，事实上就是变量替换，通过新旧坐标系下旋转轴和函数定义域剖分之间的关系，利用微元法的剖分、近似、求和、求极限的思想，从剖分函数的定义域入手，直接得到体积计算公式.

图3

3.1 平行直线间的距离

3.2 新旧坐标系下剖分的关系

做区间[m,n]的剖分T，PP′交曲线f(x)于P点，自P点向x轴引垂线，可得[a,b]的分割T′，反之，对[a,b]的任意分割，可得到[m,n]的分割.故可选x做自变量，从[a,b]的分割入手.

3.3 求dl(=dx′).

做[a,b]的分割，得区间[x,x+dx]，从区间端点做x轴的垂线，交曲线f(x)于P,Q点，两点坐标分别为P(x,f(x)),Q(x+dx,f(x+dx))，过P,Q向直线l引垂线交l于P′,Q′，得区间[x′,x′+dx′],dx′就是上文中的dl，表示平行直线PP′,QQ′的距离.

因为f(x)可导，所以当dx→0时,f(x+dx)≈f(x)+df,直线QQ′的方程可近似表示为

这两条平行直线间的距离为

(*)

4 例题

图4

由图4可知，抛物线与直线的交点为(0,0),(1,1),

微元法在数学分析中是一个很重要的知识点，但很多同学并不能很好地掌握和理解，在文中我们回顾了微元法适用的几何量或者物理量的特点，以及微元法的解题思路.在阐述定理的过程中，也充分体现微元法的“化整为零，积零为整”的思想，旨在引导学生理解并掌握微元法的思想，帮助学生提高分析问题、解决问题的能力.