基于教材解读 促进思想转化
——例谈“排列组合”问题中的数学思想渗透

广西都安县安阳镇第二中心小学（530700）韦玉甜

“数学广角”是人教版教材特别设置的课程，这类课程看似与数学知识关联不大、专业性不强，但能将一些平时难以顾及和渗透的数学思想方法系统集中地展示出来，学生通过一些解决问题的方法，感受到数学思想方法的魅力，体会到数学思想方法的实用性。

“排列组合”内容也被编入“数学广角”，分设在二、三年级教材中，在二年级的部分在新旧教材中都编排在上册，在三年级的部分在旧版教材中编排在上册，在新版教材中则改到下册。仔细对比新旧两版教材，笔者发现知识的结构层次和呈现方式都有了大幅调整，主要体现在例题和练习题上。那么调整了哪些？哪些维持原样？调整的原因是什么？教师该如何调整教学思路应对这种变化？下面是笔者的一些思考。

一、新旧教材的差异

旧版教材给二年级的“排列组合”内容编写了3道例题，例1是初级的排列，例2是基础的推理，例3是常规的推理。而新版教材缩减成2道例题。例1要求研究“数清从1、2、3中任选两个组成两位数的个数，不准重复计算”，这是一个基础的排列问题。例2则在第一题的基础上进一步加大思维难度，让学生从5、7、9中任选2个数字，与例1不同的是要求出选出的两数之和，按照和的种类来统计组合数，两数之和与两数的字码顺序无关，属于典型的组合问题。三年级的这部分内容有3道例题，但是新旧教材中例题的次序却做了调整，旧版教材是“组合问题—排列问题—组合问题”，新版教材改成“排列问题—组合问题—组合问题”，这样调整是为了体现排列组合的逻辑性和系统性。

旧版教材的例1，先出示一张拼摆字卡的插图，提问“用1、2能摆成几个两位数”，然后升级到3个数字，问“用1、2、3能摆出几个两位数呢”，例题虽然充分考虑到了让学生动手操作，也让学生交流展示，却淡化了逻辑思维过程，没有将有序排列放到显眼位置。而新版教材则有所不同，例1直接要求用1、2、3三张字卡组成两位数，每张字卡只能用一次，意味着两位数的十位数字和个位数字不能相同，求出组成两位数的个数。考虑到学生已具备丰富的有序思考经验，例题增强了思维含量，三选二拼摆数字比拼摆两个数字更具挑战性，更能训练思维活跃度。

根据例题要求，学生不但知道要选2个数字，还知道数字不能重复，避免了误解，使得思维集中在排列问题上。教材展示了两名学生的探究过程：摆数卡杂乱查找；借助数位表，按先后顺序逐一挑选数字，交换顺序，有序排查。还展示了学生组内交流展示的情形，“随机拼摆有点混乱”“我按表格填数，井井有条”等讨论反映了学生对自己探究过程的经验总结。学生通过对比两种方法的优劣，自行归纳出有序思考省时省力。最后的提示语“怎样做才能不重不漏”，将对有序思考的关注和讨论推向高峰。全班学生聚焦这个问题，再次回顾整个探究过程，切身体会到有序思考的优越性。另外，在全班讨论的氛围中，学生会发现有序思考不是一种个人习惯，而是一种共识。

相比旧版教材，新版教材更注重实效，以解决问题为导向，先解释题意，明确目标，让学生明白拼摆数字的要求，除了训练对调位置进行有序思考，还释放了更多自由发挥的空间，允许创新方法。如此设计，不仅给教师的教学指明了方向，还让学生懂得不断调整和摸索方法，通过种种对比和尝试，逐步找到有序思考的最佳途径。旧版教材二年级部分的例1后有两道习题，一道是组合问题，一道是分类列举问题。学生由例1的排列问题直接跃升到分类问题，难度激增，容易找不到思路。而新版教材将排列和组合分设两题，循序渐进，形成鲜明对比又紧密关联，并每道例题之后都配备了巩固习题，让学生先模仿再提升，慢慢吸收消化。

二、联系前后，严密对接

教师只有了解课程背景，理解编者用心，对例题的编排用意心知肚明，明确其目标和重难点，才能精准施策，做到稳步推进、不疾不徐、不偏不倚，实现前后知识的完美对接。

二年级上册的“排列组合”与一年级下册“综合与实践”中的“摆一摆，想一想”有着很深的渊源。“摆一摆，想一想”让学生通过在数位表上摆圆片，研究数位与数值的关系，并通过探究圆片数量与摆出数字的个数的关系，学会应用有序排列的规律解决问题，在自主探究中感知有序思考的高效性。整个过程中，学生利用数位表，先是拼摆操作，后是逻辑推导，做到了利用有序思考从直观操作中抽象出形象思维，从2个圆片的拼摆入手，然后加大难度变成3个、4个，再到凭借前期操作积累的经验和总结的理论推导出用9个、10个、11个圆片摆出的数字的个数。学生在整个思维升级的过程中正视有序思考的巨大潜能。

有了一年级的预热，学生到了二年级再学排列，重提有序思考就师出有名。旧版教材的例题顺序杂乱无序，毫无章法，新版教材调整后则条理清晰，线索明朗。新版教材例1是“用0、1、3、5能组成多少个没有重复数字的两位数？”，虽说题意、题型没变，但是难度增加不少，由3选2变成4选2，学生原有的有序思考经验被调用，而且无论是用分类计数法还是分步计数法，首位都不能是0，这就涉及排列中的排除特殊情况，需要学生随机应变、灵活处理，生搬硬套不再适用，这就间接刺激和考查学生掌握知识的情况，凸显“排列组合”问题的复杂性和多变性。例2是服装搭配题，例3是体育中的数学，两道例题都要求用连线来列举，本质是组合问题。这两道题要求明显提高，学生不但要连线，还要学会用图标、符号表示和记录自己的思路。

用符号记录很受学生欢迎，因为这种介于直观操作和抽象思维间的思维方式，兼具直观和形象的优势。学生通过画图、拼图、连图等形式，不仅能迅速筛选出所有组合情况，而且能深切体会到计数时，如何系统、有序、高效地思考问题。更可贵的是，画图、摆图、连线、观察等操作性强的推导法，在数学中具有很强的通用性。

两个年级的“排列组合”内容的教学目标一致又各有侧重。二年级侧重于有序枚举，三年级则侧重于用符号表示排列过程，“排列组合”的逻辑和操作规则逐渐显现。

三、综观全局，变通处理

“排列组合”问题与生活息息相关，如抽奖号码的设置、银行卡密码的设置等。但它又是数学中一个难点，没有相对固定的万能公式，而且各种变式变化无穷，因此，数学思想方法就显得特别重要，因为这是唯一以不变应万变的法宝。日常教学中，教师要做到以下三点。

1.始终贯彻有序思考

有序思考不仅表现在例题教学中，要让学生做题时也不忘有序思考。如搭配问题“让学生用红、黄、蓝三种颜色，给两个鸡蛋涂色，一共有几种方案”，它与数字排列组数的例题如出一辙，教师需要引导学生运用数学思想方法去研究，可以选择从三种颜色中任取两种来排序再涂色，还可以选择其中的一个鸡蛋来涂色，可以从红、黄、蓝中选择。同理，另一个鸡蛋也可用同样的方法去研究，实现有序思考，助推学习进步。

接下来是给三个鸡蛋涂三种颜色，这就需要应用“定位”和“换位”的单边有序思考。由此案例教学实践和学生学习情况来看，渗透“排列组合”数学思想方法是非常值得推崇之事。因为小学生学习和研究“排列组合”是有相应基础的，也有对应的思维水平，只要教师能够引导到位，就能让有序思考成为学生研究问题的经验、方法和思维模型。随着学生对此方法的建构变得愈发清晰，他们就能用好经验、用活数学思想方法去探究问题，实现问题突破，也能让数学学习真实发生。

2.让学生学会分类讨论

分类也应用在组合问题中，它是按照一定标准先分类，不同的类别里又存在许多并列的具体方法，然后将所有方法数相加。如解答练习题“有1角、5角和1元硬币各一枚，可以组成几种不同的币值？”，就需要分类计数，先按硬币数分成1枚、2枚、3枚三大类，如果问的是任选2枚或3枚硬币，则是组合问题。按照这种分类法，可组成7种币值：选1枚硬币，存在1角、5角、1元三种币值；选2枚硬币，存在6角、1元1角、1元5角三种币值；选3枚硬币，仅存在1元6角一种币值。

再如服装的搭配。可“先上后下”，先选定1件上衣，然后逐一和下装搭配，每选1件上衣就有3种情况，2件上衣就有6种；也可“先下后上”，先选定1件下装，然后逐一和上衣搭配，每件下装有2种情况，3件下装一共就有6种情况。由此可见，分类讨论思想在“排列组合”问题中发挥着重要作用。

3.自主选择表达方式

“排列组合”问题严格来说是高二的重头戏，早早出现在小学教材，并不是向小学生灌输什么深奥概念。从教材的编写内容看，“排列组合”所有的例题都采用连线、列举、画图等多元化策略来研究，关键点是引导学生初步掌握有序思考、分步计算的数学思想方法。在了解多种研究方法后，学生能够思路清晰地分析问题，并准确地描述，能够由直观到抽象地表达计算结果，完全不用套“排列组合”的公式。

以“握手”游戏教学为例，这是生活中最为常见的现象，但是小学生对其中的数学关系的理解不是很理性。因此，教师在实际教学中就需要从儿童实际出发，可以采取现场演示法，帮助学生了解握手游戏中的一些规则，感知其中的数学规律。当1号学生分别与2号、3号、4号学生握手之后，学生能够清醒地感知到4个人握手，1号学生握手3次后，后面的人还需要握手的次数会减少，2号学生再握手2次后，后面的人还需要握手的次数又会减少，以此类推。这样，学生就很容易悟出排列组合思想方法的应用，形成研究该类问题的初步数学思维模型，为提高学习质量奠定基础，为思维发展积蓄力量。

四、细化训练，加速建构

笔者以为，在小学数学教学中谈起“排列组合”的应用，看似不切实际，但也是有迹可循的。在此，笔者再度结合小学教材中的一些例题和练习，谈谈怎样引导学生正确运用这一方法去研究问题，让小学生的数学思维变得更为清晰可见，让“排列组合”中的数学思想方法的积累变得更加扎实。

1.定位与有序结合，助力研究深入

以“数长方形个数”教学为例，在学习“长方形认识”之后，教材中就有这类的问题。要帮助学生较好地研究问题、解决问题，教师就需要在关注“排列组合”知识的同时，引导学生采取有序思考方法，以丰富学生对“排列组合”中的数学思想方法的感知。

比如，引导有序分析，可以从3×2的长方形格开始，让学生用有序思考方法，从中悟出：先数1个长方形构成的长方形，可以数出6个长方形；再数2个长方形、3个长方形等构成的大长方形。综合起来，这个图形中就一共包含着18个长方形。以此类推，学生会从更多的实例中探寻到问题内在的数学规律以及研究方法。

2.换位与周密分析，助力认知建构

以“多边形对角线”教学为例，教师就需要从“排列组合”这一思想出发，采取换位思考的策略，引领学生更为缜密地思考和分析，从中探寻到相应现象内在规律，为深入探究提供思维支撑和方法保障，从而实现学习研究突破，使得学生数学思维得以提升。

教学中，首先，引导学生去尝试，以激活学生的思维。猜想能够拓展学习视角，让学生更有效地进入到问题探究之中。其次，搭建交流互动平台，帮助学生展示自己，促进他们学习感知面的拓展和学习研究成果的汇聚。比如，学生采取换位策略，把多边形分别替换为三角形、四边形、五边形等，从具体的多边形开始研究，为提炼规律提供研究方向、方法。

总之，在小学阶段的“排列组合”教学中，教师只要求学生根据实际问题用直观的符号化方式算出排列数和组合数，并能够初步提炼出思维过程即可，重要的是渗透有序思考和分类讨论的数学思想方法，这才是小学阶段“排列组合”问题的教学价值所在。