动力传动机构四点接触球轴承的振动特性分析

田凯文，邱 明,2，王东峰

(1.河南科技大学 机电工程学院，河南 洛阳 471003；2. 高端轴承先进制造与智能装备河南省工程技术研究中心，河南 洛阳 471003；3. 洛阳轴承研究所有限公司，河南 洛阳 471039)

轴承作为动力机械传动机构的关键零部件，其性能直接影响着整个传动装置的效率和可靠性，除了满足长寿命的要求外，轴承振动噪声的控制也越来越严格。四点接触球轴承因具有能够承受双向轴向负荷的特点，在动力机械传动机构中的应用也越来越广泛。

目前，有关滚动轴承振动机理的研究大多基于制造误差引起的振动激励[1]，且研究对象多集中在深沟球轴承和圆柱滚子轴承[2-5]，对四点接触球轴承振动特性的研究却鲜有报道。余光伟等[6]建立了考虑套圈波纹度的深沟球轴承动力学模型，分析了波纹度对深沟球轴承动态特性的影响。侯萍萍等[7-8]采用等效弹簧-质量模型分析了高速角接触球轴承波纹度参数对轴承振动特性的影响。王晓明[9]以轴承套圈的径向、轴向跳动为旋转精度参数，建立了角接触球轴承旋转精度数值仿真模型，分析了轴承零件几何误差对旋转精度的影响。顾晓辉等[10]分析了内、外圈波纹度最大幅值对滚动轴承-转子系统的非线性动力学响应，用分形理论计算了不同波纹度幅值时的关联关系。陈月等[11-12]提出了空载条件下考虑四点接触球轴承套圈沟道圆度误差的旋转精度数值计算方法，研究了沟道圆度误差幅值、谐波阶次、钢球直径偏差、钢球个数对轴承旋转精度的影响。

综上所述，已有的研究多数基于四点接触球轴承制造误差波纹度量与轴承振动量之间的关系，缺乏轴承结构参数对振动影响的研究。鉴于此，本文建立了3自由度的四点接触球轴承的非线性振动模型，将弹性流体动力润滑(elastohydrodynamic lubrication)引入到模型中，并采用定步长的四阶Runge-Kutta法对四点接触球轴承的非线性微分方程组进行了简化求解，进而研究了四点接触球轴承结构参数对轴承振动特性的影响。可为低振动四点接触球轴承结构参数的选取提供理论依据。

1 四点接触球轴承振动数学模型

1.1 四点接触球轴承的接触特性

四点接触球轴承是一种可承受双向轴向载荷的角接触球轴承，其内、外圈滚道均为“桃形”，在加工过程中相当于两个半内圈或外圈之间加有垫片，如图1所示。图1中：ri和re分别为内、外圈的沟曲率半径；xi和xe分别为内、外圈沟曲率中心的偏心距。在四点接触球轴承正常工作时，为了避免接触区发生大的滑动摩擦，要求其为两点接触，即对于图2中轴向载荷Fa1为点2和点4接触，对于轴向载荷Fa2为点1和点3接触。

图1 四点接触球轴承的加工垫片Fig.1 Machined gaskets for four-point contact ball bearing

图2 四点接触球轴承的基本结构Fig.2 Basic structure of four-point contact ball bearing

在轴承不承受外载荷的情况下，轴承的接触角称为原始接触角。四点接触球轴承的原始接触角与原始径向游隙和沟曲率中心偏心距有关，根据轴承的几何关系，四点接触球轴承的原始接触角α0为[13]

(1)

式中，Gr为四点接触球轴承的径向游隙。

在轴承承受外载荷的情况下，轴承的接触角为工作接触角。当四点接触球轴承受到轴向载荷时，四点接触球轴承接触角的变化如图3所示。图3中：α为轴承的工作接触角；k为外圈的沟曲率中心；m和m′分别为接触角变化前和变化后左半内圈的沟曲率中心；E和E′分别为接触角变化前和变化后钢球与左半内圈的接触点；H和H′分别为接触角变化前和变化后钢球与外圈的接触点。

图3 四点接触球轴承接触角的变化Fig.3 Change of contact angle of four-point contact ball bearing

由图3中的几何关系可知

(2)

式中：δ钢球和内、外滚道之间的接触变形；B=fi+fe-1；Dw为钢球直径。

根据Hertz接触理论，钢球与套圈之间的接触负荷可以表示为[14]

(3)

式中，Kn为负荷-变形常数。

当四点接触球轴承承受轴向载荷时，各钢球的负荷均匀分布，可以由式(4)求得[15]

(4)

式中，Fa为轴承承受的轴向载荷。

联立式(2)～式(4)，并采用Newton-Raphson的方法，便可求出四点接触球轴承受载后钢球与套圈的实际工作接触角。

1.2 油膜厚度及润滑阻尼方程

润滑是服役状态下轴承正常运转的前提，也是影响轴承振动特性的重要因素，因此在建立四点接触球轴承振动模型时必须考虑润滑的作用。由Hamrock和Dowson推导出的等温条件下点接触弹流油膜厚度计算方法，钢球与套圈接触中心油膜厚度h0为[16]

(5)

(6)

式中：ε为润滑油黏度的压力系数；η0为润滑油的动力黏度；u为两接触表面的平均速度；Rx为沿钢球滚动方向的当量曲率半径；Ry为轴承轴向平面内的当量曲率半径；K为椭圆率；E0为当量弹性模数；Q为钢球与套圈的接触负荷；dm为轴承的节圆直径；n为轴承内圈转速；γ为无量纲几何参数；fj为轴承内、外套圈的沟曲率半径系数。

阻尼是振动方程中不可忽略的因素，轴承的阻尼主要考虑润滑油的阻尼。图4为EHL条件下钢球与套圈的接触模型，高压使得Hertz接触区的油膜完全刚化，因此忽略Hertz接触区的阻尼，润滑油的阻尼主要来自油膜的入口区。

图4 钢球与套圈的接触模型Fig.4 Contact model between steel ball and bearing ring

润滑油的阻尼可以表示为[17]

(7)

式中，a为钢球与套圈接触区的短半轴。

四点接触球轴承在正常工作状态下，钢球同时与内、外圈接触形成润滑油膜，因此润滑油的总阻尼是由内、外圈的油膜复合而成[18]

(8)

式中，ci，ce分别为钢球与内、外圈的油膜阻尼。

式(8)表示的是工作状态下单个钢球与内、外圈接触时的阻尼，此时整个四点球轴承的油膜阻尼为

(9)

式中：cx，cy，cz分别为油膜阻尼在x，y，z方向上的分量；Z为钢球的数量；αj为接触角。

1.3 四点接触球轴承的振动方程

根据GB/T 32333—2015《滚动轴承 振动(加速度)测量方法及技术条件》规定，在测量轴承的振动时，内圈旋转，且轴承受到一定的轴向载荷，通过传感器测量轴承外圈的振动，因此研究轴承的振动实际上讨论的是轴承外圈的振动。

钢球引起的弹性接触振动是四点接触球轴承振动的基本形式，是由结构决定的轴承固有特性。参照球轴承接触振动理论，将四点接触球轴承的钢球视为无质量的非线性弹簧，将与两个滚道的接触视为连着有一定质量的自由质点，由此建立了四点接触球轴承的振动坐标系如图3所示，其中O-XYZ为固定坐标系，O-nτ为自然坐标系。

作用在第j个钢球上的赫兹接触力为

(10)

式中，Kj为刚度系数，由钢球与内、外圈之间的刚度系数共同决定，由式(11)计算得到

(11)

因此，要计算作用在钢球上的接触力，首先应先计算钢球与套圈之间的弹性变形量δj，即外圈振动前和振动后内、外圈沟曲率中心距离的差值。

内圈和外圈沟曲率中心的位置向量(如图5所示)在外圈无位移之前为

(12)

(13)

其中，

θj=ωct+2π(j-1)/Z,
Ri=0.5(dm+Bdcosα),
Re=0.5(dm-Bdcosα),
Ze-Zi=Bdsinα

(14)

式中：ωc为保持架的旋转角速度；Zi和Ze为内、外圈沟道曲率中心的初始位置；Bd为内、外圈沟曲率中心之间的初始距离，由式(15)计算

Bd=ri+re-Dw-Grcosα

(15)

考虑外圈5个方向的位移(直线位移x，y，z；旋转位移θx，θy)后，内圈和外圈沟曲率中心的位置向量为

OB′=xi+yj+zk+T×Rej,
OA′=OA

(16)

式中，T为变换矩阵，其表达式为

(17)

图5 四点接触球轴承的振动坐标系Fig.5 Vibration coordinate system of four-point contact ball bearing

式中，φ，ψ，χ分别为新坐标系关于原坐标系的旋转角。其中：φ为X轴的旋转角；ψ为Y轴的旋转角；χ为Z轴的旋转角。在本模型中，φ，ψ，χ分别为

φ=θx→0，ψ=θy→0，χ=0

sinθx≈θx，sinθy≈θy，cosθx≈1, cosθy≈1

(18)

将式(18)代入式(17)，变换矩阵T变为

(19)

将式(19)代入式(16)，内圈和外圈沟曲率中心位置向量变为

(20)

AB′=OB′-OA′=

(21)

其中，令

(22)

则向量AB′的方向角为

(23)

式中，φj，ψj，χj分别为向量AB′与X轴、Y轴和Z轴之间的夹角。

由式(22)可知，考虑外圈5个方向的振动位移后，内、外圈沟曲率中心的距离为

(24)

第j个钢球上的弹性变形量即为外圈振动前和振动后内、外圈沟曲率中心距离的差值

(25)

将式(25)代入式(10)，外圈和钢球之间的接触力Fj变为

(26)

对上述方程进行简化，只考虑外圈3个方向的平动，则四点接触球轴承的非线性振动方程为

(27)

式中：m为四点接触球轴承外圈的质量；g为重力加速度。

2 模型验证

图6 求解流程图Fig.6 Solution flow chart

以QJ214四点接触球轴承为研究对象，其主要结构参数如表1所示，设定轴承内圈转速为3 240 r/min，轴承外圈质量为0.515 kg，轴承受到的轴向载荷为3 500 N。先不考虑润滑的影响，通过上述模型计算得到轴承径向方向的振动加速度仿真信号如图7所示，对振动信号进行FFT分析，得到振动信号的频谱图，如图8所示。

表1 轴承结构参数Tab.1 Structure parameters of bearing

图7 理想状况下轴承振动仿真结果Fig.7 Simulation results of bearing vibration under ideal conditions

图8 振动信号的频谱图Fig.8 Spectrum diagram of vibration signal

由图8可知，轴承y方向振动加速度信号的频谱图在347 Hz处出现明显峰值，其他频率成分均为374 Hz的倍频成分。由于径向力的作用，在四点接触球轴承载荷区内，钢球奇偶交替变换，造成轴承外圈以外圈通过频率(ball pass frequency on outer race，BPFO)振动，即钢球通过四点接触球轴承外圈沟道上一点的频率[19-20]。

钢球通过外圈沟道上一点的理论频率为

(28)

由式(28)可知，理论计算值345.6 Hz与仿真计算值347 Hz之间的误差为0.405%，结果基本一致，验证了数值仿真结果的正确性。

3 四点接触球轴承振动特性分析

设轴承在室温下工作时，采用10W-40型号的润滑油，其黏压系数ε为2.21×10-6Pa-1，动力黏度η0为0.063 38 Pa·s。为了对四点接触球轴承的振动进行定量分析，采用振动加速度级L作为指标来描述整个轴承的振动水平[21]

(29)

式中：ai为振动加速度的均方根值；a0为振动标准参考值，其值为9.81×10-3m/s2。

3.1 径向游隙对轴承振动的影响

当四点接触球轴承内圈转速为3 240 r/min，轴向载荷为3 500 N，钢球数量为15个时，径向游隙对轴承振动加速度的影响如图9所示。从图9可以看出，径向游隙对轴承振动加速度的影响比较显著，随着径向游隙的增大，轴承振动加速度的幅值逐渐增大。图10为径向游隙对轴承振动加速度级的影响。由图10可知，当轴承径向游隙从45 μm增大到95 μm时，轴承的振动加速度级增大了14%，且径向游隙值越大，振动加速度级的增幅越大。

图9 轴承径向游隙对轴承振动加速度的影响Fig.9 Effect of bearing radial clearances on vibration acceleration

图10 轴承径向游隙对轴承振动的影响Fig.10 Effect of bearing radial clearances on vibration value

四点接触球轴承在工作时为了避免出现多点接触的情况，往往需要调整轴承的径向游隙来满足轴承工作接触角大于垫片角的要求，因此在保证四点接触球轴承呈两点接触的状态下，应该尽量选较小径向游隙值来降低轴承的振动水平。

3.2 滚动体数量对轴承振动的影响

当四点接触球轴承内圈转速为3 240 r/min，轴向载荷为3 500 N，径向游隙为75 μm时，钢球数量对轴承振动加速度的影响如图11所示。从图11可以看出，随着钢球数量的增加，轴承振动加速度的幅值略有增大。从图12可以看到，滚动体数量与轴承振动加速度级之间近似呈线性关系，当滚动体数量由12个增大到17个时，轴承的振动加速度级只增大了1.62%。

图11 滚动体数量对轴承振动加速度的影响Fig.11 Effect of bearing rolling number on vibration acceleration

图12 滚动体数量对轴承振动的影响Fig.12 Effect of bearing rolling number on vibration value

当钢球数量增多时，单个钢球与套圈的接触载荷减小，弹性接触变形减小，单个钢球引起的振动更小，但是对于整个四点接触球轴承，钢球个数的增加也意味着振动噪声源数量的增加，将会导致轴承振动水平的增大。因此，从四点接触球轴承整体设计的角度出发，减小滚动体数量可以降低轴承的振动，但是降低的程度有限。

3.3 外圈沟曲率半径系数对轴承振动的影响

当四点接触球轴承内圈转速为3 240 r/min，轴向载荷为3 500 N，径向游隙为75 μm，钢球数量为15个，内圈沟曲率系数为0.517时，外圈沟曲率半径系数对轴承振动加速度的影响，如图13所示。从图13可以看出，当外圈沟曲率半径系数变化时，轴承振动加速度的幅值变化比较明显。随着外圈沟曲率半径系数由0.51变化到0.54，轴承的振动加速度级先减小后增大(如图14所示)，呈现出非线性特性，且当外圈沟曲率半径系数为0.52时，轴承的振动处于一个较低水平，与外圈沟曲率半径系数为0.54时相比，轴承的振动加速度级降低了25.08%。因此四点接触球轴承外圈沟曲率半径系数是影响轴承振动的关键结构参数，球轴承沟曲率半径系数的选取一般为0.510～0.535，对于四点接触球轴承，将外圈沟曲率半径系数控制在0.515～0.525更有利于降低轴承的振动。

图13 外圈沟曲率半径系数对轴承振动加速度的影响Fig.13 Effect of outer groove curvature radius cofficients on vibration acceleration

图14 外圈沟曲率半径系数对轴承振动的影响Fig.14 Effect of outer groove curvature radius cofficients on vibration value

3.4 内圈沟曲率系数对轴承振动的影响

当四点接触球轴承内圈转速为3 240 r/min，轴向载荷为3 500 N，径向游隙为75 μm，钢球数量为15个，外圈沟曲率系数为0.529时，内圈沟曲率半径系数对轴承振动加速度的影响，如图15所示。对比图13和图15可以看出，内圈沟曲率半径系数变化对轴承振动加速度幅值变化的影响没有外圈沟曲率半径变化时显著。由图16可知，当内圈沟曲率半径系数从0.505变化到0.535时，轴承的振动加速度级也呈现出先减小后增大的特性，且当内圈沟曲率半径系数大于0.52时，轴承的振动加剧。因此将四点接触球轴承的内圈沟曲率半径系数控制在0.505～0.515更有利于降低轴承的振动。

图15 内圈沟曲率半径系数对轴承振动加速度的影响Fig.15 Effect of inner groove curvature radius cofficients on vibration acceleration

图16 内圈沟曲率系数对轴承振动的影响Fig.16 Effect of inner groove curvature radius cofficients on vibration value

3.5 润滑对轴承振动的影响

当四点接触球轴承内圈转速为3 240 r/min，轴向载荷为3 500 N，径向游隙为75 μm，钢球数量为15个时，考虑润滑与不考虑润滑时轴承的振动加速度变化，如图17所示。不考虑轴承润滑时，忽略了润滑油膜厚度和润滑阻尼，此时轴承振动加速度的波动明显，考虑润滑时，振动加速度的波动得到抑制。因此，润滑剂可以有效缓和冲击，降低轴承的振动。

图17 润滑对轴承振动加速度的影响Fig.17 Effect of lubrication on bearing vibration acceleration

润滑剂阻尼对轴承振动加速度级的影响，如图18所示。由图18可知，随着润滑剂阻尼的增大，轴承的振动随之降低，且振动降低的幅度也在逐渐减小。润滑剂阻尼与润滑剂的黏度呈正相关，润滑剂黏度越大，润滑剂的阻尼也越大。从降低轴承振动的角度，应该选用较大黏度的润滑剂，但是轴承中润滑剂的流体动力损耗Mν也与黏度有关[22]

(30)

式中：fν为与轴承类型和润滑方式有关的系数；ν为润滑剂的运动黏度，运动黏度与动力黏度之间的关系为

ν=η0/ρ

(31)

式中，ρ为润滑剂的密度。

图18 润滑阻尼对轴承振动的影响Fig.18 Effect of lubricant damping on bearing vibration value

由式(30)和式(31)可知，润滑剂黏度越大，润滑剂引起的流体动力损耗也越多，从而会导致轴承的总功率损耗增大，因此选择润滑剂时应该考虑轴承的综合性能指标。

4 试验验证

本文利用轴承动态性能试验台采集四点接触球轴承的径向振动加速度信号，通过与仿真结果进行对比分析来验证数值仿真模型的可靠性。轴承动态性能试验台如图19所示。

图19 轴承动态性能试验台Fig.19 Bearing dynamic performance test bench

4.1 试验方案

试验轴承为QJ214四点接触球轴承，试验过程令内圈旋转，转速为3 240 r/min，润滑油温度为30 ℃。通过液压加载装置，分别给轴承施加1 500 N，3 500 N，5 500 N，7 500 N，9 500 N的轴向载荷，每种工况下轴承的运转时间为30 min。为了减小测量误差，每种工况重复3次试验，并利用振动信号采集仪采集每种工况下的振动加速度信号，采样频率为25.6 kHz，每次采集1 s的数据。

4.2 试验对比

不同轴向载荷下的试验结果如表2所示，将三次试验测量的轴承振动加速度级的平均值与仿真结果进行对比，对比结果如图20所示。由图20可知，随着轴向载荷的增大，轴承的振动水平降低，且仿真值与试验值误差在7%以内，验证了仿真模型的可靠性。

表2 试验结果Tab.2 Test results

图20 试验结果对比Fig.20 Comparison of test results

5 结 论

(1) 合理优化四点接触球轴承的结构参数，能从设计角度降低轴承的振动。如通过减小轴承的径向游隙和滚动体数量可以降低轴承的振动值，对于QJ214轴承，将外圈沟曲率半径系数控制在0.515～0.525，内圈沟曲率半径系数控制在0.505～0.515更有利于降低轴承的振动。

(2) 润滑剂的阻尼越大，轴承的振动越小，选择较大黏度的润滑剂可以进一步降低轴承的振动。

(3) 对四点接触球轴承施加合理的轴向载荷，可以抑制轴承的振动，且在一定范围内轴向载荷越大，轴承的振动越小。