设计《钉子板上的多边形》教学 启发学生探究

◇崔慧慧（江苏：盐城市盐渎实验学校）

教学内容：

苏教版小学数学第九册第八单元“探索规律”《钉子板上的多边形》一课。

教学目标：

学生在进行多种思考及实践活动中，逐层探究钉子板内有1根、2根、3根乃至更多根钉子的多边形大小和多边形的边上钉子数之间的关系，激发学生进一步探索的兴趣；进一步巩固用字母表示数量关系；经历猜想、验证的探索过程，感悟发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的魅力。

教学准备：

钉子板、课件、研究单、格点图。

教学过程：

一、联系旧知，揭示课题

师：小学四年我们学了许多知识，一二年级的我们曾经借助钉子板，认识过平面图形。（拿出钉子板）老师在这个钉子板上围了一些图形，通常被称为多边形。我相信这些多边形大家一定不会感到陌生。仔细观察，横向和纵向相邻的两个点之间都是1厘米长，你们知道这五个多边形，它们的面积分别是多少平方厘米吗？

生1：我看的正方形，其边长是1厘米，按定义，面积为1平方厘米。

生2：我算的是平行四边形，它的底部是3厘米，高度是1厘米，面积是3乘1，等于3平方厘米。

生3：我用三角形的底边1厘米乘高度4厘米再除以2，得2平方厘米。

生4：第四个多边形是长方形加三角形，2加0.5，面积是2.5平方厘米。

生5：最后一个图形的面积可以数出来，两个整格2平方厘米，加上两个半格1平方厘米，一共3平方厘米。

师：这些图形的面积和边的长短显然有关系。那么，你们觉得这些图形的面积与边上的钉子数有关吗？

生1：我觉得有。

生2：我觉得没有。

师：到底有没有关系，只有通过研究，我们才会有所发现。

……

二、分层探索，发现规律

（一）引导尝试，初步感知

师：我们先从简单的图形开始研究。

师：根据要求，完成活动一。我觉得面积有多大对大家来说没有问题。那么，边上的钉子数是什么意思呢？例如，这个三角形（点指三角形），边上的钉子数有1，2，3，4，4根。不要重复数，也不能有遗漏。这根钉子不在边上（点指旁边的钉子），你能把它包括进去吗？这根钉子呢（点指内部的钉子）？在吗？也不在。

拿出活动研究单，活动开始。

（板书：面积数、边上的钉子数）

师：哪位同学汇报一下你数的情况？

生：①号图形，面积为2平方厘米，边上有4根钉子；②号图形……

师：请仔细看表中的数据，你有什么想说的？（手势：上下、左右引导学生观察）并且大胆提出你的推测。

（板书：观察、推测）

生：我发现面积较大的多边形，边上的钉子数也多。

师：你是上下观察的。

生：我发现，它们的面积数都是边上钉子数的一半，比如，第一个多边形，面积是2平方厘米，边上的钉子数是4，2是4的一半。

师：你是把表中数据横着看的，谁是谁的一半，能再说一遍吗？

生：多边形面积数是边上钉子数的一半。

（补充板书：面积数＝边上钉子数÷2）

师：你们想不想验证一下？请你们继续参与活动一，老师为大家在纸上准备了钉子板，任意画一个图形。自己数一数，算一算。

该多边形面积是（ ），其边上有（ ）根钉子。

师：你们画的多边形面积数是边上钉子数的一半吗？

生1：是的。

生2：不是。

师：不是的同学先等一等，一样的同学，老师请你做一件事，把你画的图形围在大钉子板上，贴在黑板上，并介绍这个多边形面积数是多少，边上的钉子数多少。

师：这些多边形的面积数都相当于边上的钉子数除以2，它们似乎存在着共同的特点。谁能发现？眼睛不能仅仅局限于边上的钉子。

生：我发现这些多边形，里边的钉子都只有一个。

（课件闪烁强调一根钉子）

师：我们回头再看，刚才不一样的同学检查一下你们画的图形，这些图形里边，分别有多少钉子呢？

生：2根。

生：3根。

……

师：看来，钉子板上图形的面积不仅与边上的钉子数有关系，而且与该多边形内部的钉子数同样密切相关。（板书：内部的钉子数）

师：经过验证，刚才的规律只适用于内部有一根钉子的情况，不能适用所有的图形。（板书1）

师：如果我们用更简洁的方式表示刚才的发现，你打算怎么办？是的，像以往一样，用字母来表示。图形的面积数一般用S表示，多边形边上的钉子数可以用n表示，刚才的规律，可以用什么样的式子表示？

生：s=n÷2。

师：这个发现只适用于里边有一根钉子的情况。

……

（二）继续研究，拓展认识

师：刚才有同学说，当里边的钉子数不是1的时候，就不是这样的关系。那又是什么样的关系呢？你们有信心继续和老师一起来探究吗？

师：如果多边形内部出现两根钉子，（板书2）其面积数和边上的钉子数有何关系？拿出研究单进行第二次活动。

师：多边形内部的钉子数量为2根，如果你刚才画出的多边形里边恰好有2根钉子，可以直接研究。

老师巡回指导，每两人合作围一个，交流数据填表。

师：看表上的这些数据，可以看出它们之间有什么关联吗？大家组里商量，看看到底有什么发现。

师：哪些同学可以带上你们团队的研究成果先报告？

生：我发现这个多边形的边上有8根钉子，加上内部的2根钉子，一共10根，10除以2等于5，这个多边形的面积数也是5。

生：我发现的规律和刚才差不多，依然用边上钉子的数量除以2，但是每一次还要再加1。

师：他的发现正确吗？你们就利用这四组数据初步验证一下。第一组数据，8除以2再加1，面积数为5；第二组数据，10除以2再加1，面积数为6；第三组数据9除以2再加1，面积数为5.5；第四组数据6除以2再加1，面积数为4。

……

（组织回顾刚才的“发现”，板书：s=n÷2＋1。）

师：这个结论正确吗？你们想不想再次验证一下？

（板书：验证）

在格点图上画出一个内部有2根钉子的多边形，先用公式n÷2＋1计算，再根据多边形形状，数或算出这个图形的面积，并比较两次的结果。

总结：如果多边形的内部有2根钉子，其面积数等于边上的钉子数除以2，再加1。

（三）引导猜想，概括规律

师：接下来应该研究内部有几根钉子的多边形呢？

生：3根、4根。

师：如果多边形内部有3根钉子、4根钉子或者更多根钉子，其面积数和边上钉子数之间又会有什么样的联系呢？请看活动要求，在组长的指挥下统一行动。

师：研究内部是3根钉子的小组挥挥手，你们的结论是什么？

生：S=n÷2+2。

师：研究内部是4根钉子的小组推荐一位代表说一说。

生：S=n÷2+3。

师：让我们上下观察这样的式子，写得完吗？那能不能只用一个式子就可以把所有的情况都表示出来呢？仔细观察，你有什么想说的？多边形内部的钉子数可用字母a来表示，你打算用什么样的式子来表示今天的发现。

生：S=n÷2+a－1。

师：那这个式子是不是适用所有呢？进一步验证内部没有钉子，即a为0的情况。此公式可用于钉子板上围成的所有多边形。

师：100多年前，奥地利数学家皮克也同样经历了我们今天的研究过程，有了同样的发现，所以这个规律又叫作皮克定理。感兴趣的同学可以阅读著名的数学家、教育家闵酮鹤的著作《格点和面积》。

三、总结感悟，数学之美

大家今天开心吗？有收获吗？是啊，科学探索的道路充满艰辛，也充满乐趣。老师相信通过大家的努力，一定会发现数学内在的规律美。最后老师想说：今天与你们一起上课，感觉真好！

（本文原标题为：启发探索活动，体验思维乐趣——《钉子板上的多边形》教学设计）