初中数学教学中认知地图的意义理解与构造尝试

刘红

［摘  要］ 在初中数学教学中，纯粹经验性的教学研究是不够的，其只能够让教师在经验上有所收获，但是要想形成真正的突破并不容易，原因是只有经验而没有理论. 站在学生的角度看，对认知最重要的把握就是建立一个认知地图，可以说认知地图越完整、越清晰，学生的学习过程就越顺利. 认知地图是通过地图的方式来描述学生的认知过程. 借鉴道路、标志、节点、区域和边界等要素来描述学生的认知，为学生的学习过程寻找道路、标志、节点、区域和边界，可以发现学生在学习的过程中遵循怎样的路径、有可能出现哪些重要的标志，同时也能够判断出学生学习的重要节点，还能够对学生的学习范围、思维范围作出一定的界定. 教师掌握了认知地图这一理论工具，就可以借助其强大的阐释性，对学生的学习过程有更为精确的把握；还可以借助其预见性，对学生的学习过程进行预设，从而提前采取有针对性的教学措施. 面向未来的初中数学教学，要充分利用好认知地图这样的工具，这样才能让立德树人以及核心素养发展目标的落地变得更加有保障.

［关键词］ 初中数学；认知地图；意义理解；构造尝试

在初中数学教学中，通过对学生学习过程的研究来提高教学效率，是很多教师的自然选择. 在这一选择之下，通过对比研究可以发现，绝大多数教师的研究都是经验取向的，也就是总在自己的经验基础上，对学生的学习过程进行分析，然后形成相应的教学举措. 应当说这样的努力是具有一定成效的，对绝大多数一线教师而言，也是难能可贵的教学研究取向. 如果注意观察，我们可以发现身边确实存在着这样的优秀教师，而这样的专业发展路径，也符合“经验加反思”的基本思路，因此具有一定的理论自洽性. 与此同时，我们应当注意到，纯粹经验性的教学研究是不够的，其只能够让教师在经验上有所收获，但是要想形成真正的突破却并不容易，原因是只有经验而没有理论，那么教学研究只能借助经验的车轮缓慢前进.

那么，这里所说的理论是什么呢？要知道对于一线教师而言，提及理论往往并不是一件很受欢迎的事，二十多年的课程改革让不少教师厌恶了理论的空转——不能对实际教学产生直接且有益的指导作用. 应当说这也是一个事实，如果反思这一事实就可以发现，这些理论之所以难接地气，很大程度上是因为这些理论与学生的学习过程之间，难以形成直接的匹配关系，说得直白一点就是解释性不强，其直接结果就是指导性不强. 很显然，一线教师并没有太多的时间与精力，去建立起这种相对抽象的理论与实际教学之间的关系. 那么有没有一种理论，能够直接解释教学并指导教学呢？笔者以为还是有的，认知地图就是属于这种理论.

在阐述认知地图之前，有必要先强调一下认知的意义. 具备一定理论知识的初中数学教师都知道，认知对于一线教师而言是一个重要的概念，可以认为学生的学习过程就是认知发展的过程. 从专业的角度来看，认知是指人们获得知识或应用知识的过程，认知心理学当中最基本的表达之一，就是信息加工理论. 人们认为学习的过程就是在感觉知觉的作用之下，通过信息的输入与加工，进而实现新的信息输出的过程. 当然除了信息加工理论，认知心理学当中还有其他一些流派，这些流派无一例外地都强调对信息的获取与加工，只不过侧重点有所不同而已. 而站在学生的角度看，对认知最重要的把握就是建立一个认知地图，可以说认知地图越完整越清晰，学生的学习过程就越顺利. 数学知识是抽象的，我国的初中数学教材具有一定的难度，这意味着学生在学习的时候会遇到更多的挑战. 因此，教师要从经验的角度做出努力，借助认知地图这样的工具，让日常的初中数学教学取得事半功倍的效果.

初中数学教学中认知地图的意义理解

初中数学教学过程是教师对初中生进行相应难度的数学知识教学的过程. 我国的初中数学知识之所以具有一定的难度，其实就是因为数学概念与规律之间的联系体现得比较充分. 对初中生而言，无论是对概念和规律的学习还是对它们之间联系的建立，都需要付出一定的努力，因此也就有了所谓的难题. 解决这些难题最好的办法不是重复训练，而是在把握学生认知规律的基础上，采取有针对性的教学. 显然，要想准确把握学生在数学学习过程中表现出来的认知规律，教师首先必须对学生的数学学习过程有一个清晰的认识. 由于学生的数学学习过程是内隐的，因此通过直接的观察难以得出结论. 这个时候就有了两个选择：一是基于学生的学习结果进行反推，这实际上就是经验取向；二是对学生的学习过程建立模型，这实际上就是理论取向. 相比较而言，如果能够根据学生的学习建立起准确的模型，那么教学效益就会更高. 在笔者看来，认知地图就是这种模型.

所谓认知地图，就是通过地图的方式来描述学生的认知过程. 地图实物通常包括道路、标志、节点、区域和边界等要素，借鉴这些要素来描述学生的认知，为学生的学习过程寻找道路、标志、节点、区域和边界，就可以发现学生在学习的过程中遵循怎样的路径、有可能出现哪些重要的标志，同时也能够判断出学生学习过程中的重要节点，还能够对学生的学习范围、思维范围作出一定的界定. 显然，教师借助认知地圖的概念，可以对学生的学习过程进行更为准确的描述.

可能有教师会提出：认知地图这么抽象的概念，要想运用到实际教学当中并不容易. 确实从概念的角度来看，认知地图对于很多初中数学教师来说并不熟悉. 但是实际上在教师的经验系统当中，有很多努力与认知地图实际上是高度重合的，如果能够将经验系统中的相关认识，用认知地图的相关理论来描述，就会发现认知地图实际上是一个我们再熟悉不过的概念. 比如对于当下热门的学案，就有研究者指出，学案如能贴合学生学习心理与认知发展规律，可引领学生“按图索骥”完成学习任务，因而可以成为学生学习的一个认知地图［1］. 从这个角度看，教师只要在日常教学当中积累了关于学生学习的相关经验，借助类似于学案这样的有形工具来促进学生的数学学习，那理解认知地图就没有太多的困难.

一旦教师掌握了认知地图这一理论工具，那么就可以借助其强大的阐释性，对学生的学习过程有更为精确的把握；同时可以借助认知地图的预见性，对学生的学习过程进行预设，从而提前采取有针对性的教学措施. 如果初中数学教学能够进入这样的状态，那么认知地图的意义就充分体现出来了.

初中数学教学中认知地图的构造尝试

对于初中数学教师而言，认识到认知地图的价值只是运用其指导教学的第一步，更重要的一步是在日常的教学当中能够将其作为一个工具. 当然建立一个工具，并且能够熟练使用也不容易，根据笔者的经验，如果能够对照日常的教学尝试去构造认知地图这个工具，那么教师就会在这过程中对认知地图越来越熟悉，应用也会越来越熟练，最终做到得心应手. 有研究表明，认知地图的建构有两个重要环节：一是教师的教学设计环节，二是具体的教学实践环节. 而且研究表明，只有当学生具有了认知地图建构能力，他们才能在具体的数学学习过程中拥有清晰的学习对象，拥有清晰的思维过程，才能有效实现核心素养的提升［2］.

“平面直角坐标系”是初中数学知识体系中的一个基本概念，因为其具有基础性，所以教师在教学中必须高度重视，要想方设法帮助学生建立起关于平面直角坐标系的清晰表象，还要让学生在学习的过程中获得相应的方法性认识，以提升自身的数学学习品质和数学学科核心素养. 那么从认知地图构造的角度看，平面直角坐标系这一内容的教学应当如何设计呢？

首先，要充分激活学生的生活经验.

初中生的数学学习需要表象的支撑，绝大多数情况之下，表象都来自生活经验（有时也来自学生的想象）. 平面直角坐标系这一概念，对于初中生来说，很难基于字面的意思去完成想象——笔者进行过多次调查研究，都发现初中生在面对平面直角坐标系这一概念的时候，最多只能在大脑中出现平面和直角的表象，无法让两者之间形成联系，更加不知道坐标系是何物. 面对这样的实际情况，教师就必须激活学生的生活经验.

最常见的经验就是生活中出现的“第几排，第几列”这种确定位置的情况，这个时候教师应当让学生自己举例，无论是教室中的座位还是电影院中的座位，例子越多，那么学生分析的对象就越多，在后一个环节完成数学抽象的时候，思维加工就越充分，所形成的表象也就越清晰.

其次，要引导学生进行适度的数学抽象.

数学抽象是学生学习数学知识的重要过程，也是一个重要的数学工具. 数学抽象的对象是形象的事物，数学抽象的结果是用数与形来描述形象的例子. 剥离生活实例中的非数学因素，只留下与数学相关的因素，就是数学抽象的过程. 比如在上述例子当中，让学生描述自己在教室的哪个位置，学生通常就会说是“第几组的第几个”. 这个时候教师就要引导学生认识到，“第几组的第几个”，实际上就是从“排”与“列”的角度去确定位置，而从数学的角度来看，“排”与“列”其实就是相互垂直的两条线（这个时候有少数学生会想到枪械的瞄准仪也是通过相互垂直的两条线的交点来确定位置的，这一生活经验也可以加以利用）. 事实上，有了这样的引导，学生的大脑当中就出现了相互垂直的两条线的表象，而这正是平面直角坐标系的雏形.

最后，要引导学生学会用恰当的数学语言来描述抽象结果.

有了上述雏形之后，教师的另一个教学任务就是完善这个雏形，使之变成平面直角坐标系. 这里可以借助对上述位置的具体分析来完成，限于篇幅，不再赘述.

在这里有必要从认知地图的角度来解析这样的教学设计，也就是要回答一个问题：为什么说这样的教学设计能够让学生获得一个清晰的学习过程？换一个问法就是：为什么说这样的教学设计能够让学生拥有一个清晰的认知地图？

上文已经提及认知地图具有道路、标志、节点、区域和边界等要素，上述教学设计对这些要素的关注是清晰的：让学生举出生活中“确定位置”的例子，实际上就规定了学生的学习范围，亦即明确了学生学习的边界；从生活实例的举出，到对生活实例的分析与综合，再到对生活实例进行抽象，然后是用数学语言来描述数学抽象的结果——这是一个清晰的学习过程，也是从形象思维到抽象思维的学习过程. 这样的过程不仅符合初中生的认知规律，更重要的是让学生体验了一个通过自身思维加工所输入或激活的信息，最终得到数学概念的学习过程. 当这一过程被学生强化之后，就有可能成为数学概念建构或规律建立的方法性认识，这对于促进学生理解数学思想方法、提升自身学习品质有着重要的作用. 因此，教师可以认为通过上述教学设计，学生能够经历一个合理的学习过程——后来的教学实践也证明了这一点，这就说明认知地图是行之有效的.

初中数学教学中认知地图的实践前景

当前，包括数学学科在内的初中数学教学正经历着不小的变化，立德树人目标的实现、核心素养概念的提出、新的《义务教育数学课程标准》的颁布，都意味着初中数学教学必须以新的面貌，来与这些新的情况进行匹配. 这既需要借助教师的教学经验，又需要相应的理论指导.

如同上文所指出的那样，这里所说的理论不是飘在空中的理论，而是接地气的理论，是能够具体指导实际教学的理论. 认知地图这一理论，与我国师范教育实际上是一脉相承的——我国师范教育中的心理学主要就是指认知心理学；同时也是与教师的经验相匹配的，教师经验中的很多收获与认识，都可以用认知地图来描述. 因此，认知地图在初中数学教学当中有着强大的生命力.

这种生命力体现在新时代背景下的初中数学教学中，就是对学生学习过程的精确描述，对学生学习过程中可能遇到的困难进行准确的判断. 这样就可以让教师提前做好相关的教学准备，从而提高课堂教学的效率. 总而言之，在初中数学教学中帮助学生建构认知地图，无论是从传统的知识学习与运用的角度来看，还是从核心素养培育的角度来看，都有着十分重要的理论意义［2］. 面向未来的初中数学教学，教师要充分利用好认知地图，这样就能让立德树人以及核心素养发展目标的落地变得更加有保障.

参考文献：

［1］ 章飞，顾继玲. 指向认知地图形成的初中数学学案设计［J］. 教学与管理， 2019（10）：62-64.

［2］ 丁麗云. 初中数学教学中认知地图的建构意义——核心素养培育的视角之下［J］. 数学教学通讯，2021（29）：47-48.