基于核心公式诱导思维的理论力学知识网络图构建与应用

罗国宇

（贵州师范大学 机械与电气工程学院，贵阳 550025）

理论力学是一门理工科本科生的专业基础课程，也是此类专业学生接触到的第一门系统性的力学课程。航空、机械和土木等专业的理论力学课程基本教学内容分为静力学、运动学及动力学三大板块，现行的大多数理论力学教材也基本上按照这三大板块来进行编排。这种体系主要来源于苏联，虽然完整、经典，然而至今五十多年，其形式、内容、方法几乎没变[1]。而且该体系包含了13 个知识要点，内容庞杂且分散，偏重于理论分析，各个知识点之间缺乏有机的联系，容易形成知识的“孤岛”。在这样的知识体系下，如果采用传统的教学方法按照知识点进行孤立的讲解，容易使学生觉得课程内容太多、太难且太枯燥，从而产生厌学情绪，使得教学效果大打折扣。另外，对于学过普通物理力学的学生而言，初学理论力学时，许多内容都是在普通物理力学中学习过的，极易产生轻视心理，实际上对于许多概念的理解似是而非，很难建立起理论力学知识体系的完整图像。

针对以上问题，国内学者对于理论力学教学进行了诸多的改革研究和实践。周昕等[2]提出，在理论力学教学过程中要做到既避免与普通物理力学的简单重复，又要抓住理论力学的核心部分，做好普通物理力学与理论力学的教学衔接，教授理论力学应该建立在更为严格的逻辑基础之上，更偏重于数学推导，用统一的视点系统地综合各传统力学分支。张速等[3]针对学生在学习理论力学过程中知识点不易掌握的特点，将科学方法论中的比较-分类、归纳-演绎、分析-综合三种逻辑方法引入到理论力学的课程教学实践中。叶红玲等[4]通过构建“1+4+N”的课堂教学体系，梳理课程知识点，将教与学相统一。陈妍如等[5]将思维导图引入理论力学教学，针对理论力学教学的特点，分别举例阐述了在课前预习、课堂学习和总复习三个阶段使用思维导图的模式。以上教学探索在提高理论力学教学的有效性方面提供了很多有益的经验。

在消化吸收以上研究成果的基础上，本文提出基于核心公式诱导思维构建理论力学知识网络图的方法，并给出一个可供参考的构建实例及将其应用于教学实践的思路。该方法以理论力学核心公式为线索，采用诱导思维的逻辑将繁杂的理论力学知识点进行有机串联，最终利用思维导图工具构建理论力学课程完整的知识网络图，从而实现将理论力学课程的知识体系浓缩到一张纸上的目的。基于该方法构建的理论力学知识网络图可直接应用于教学，也可根据实际情况进行进一步补充、调整或裁剪以作为教学应用和研究的参考。

一 基于核心公式诱导思维构建理论力学知识网络图

根据作者多年教授理论力学课程所积累的教学经验及对该课程内容的理解，通过对课程内容进行全面的分析和梳理，以理论力学核心公式为线索，采用诱导思维的逻辑将繁杂的知识点进行有机串联，最终利用思维导图工具构建理论力学的知识网络图。选择思维导图作为构建理论力学知识网络的工具和表现形式，可以实现形象思维与抽象思维的巧妙结合，是培养学生数理逻辑思维能力的有效途径。作为将发散思维具体化的一种方法，思维导图由于具有树状、多层级的发散结构，非常适合用于将理论力学零散的知识点构建成可视化的知识网络，可以有效帮助学习者找到新旧知识间的联系，更好地完成新知识的内化，从而提高学习者分析问题和解决问题的能力。

下面以具体的实例来说明基于核心公式诱导思维的逻辑构建理论力学知识网络思维导图的过程。实例描绘的理论力学知识体系主要参考哈尔滨工业大学理论力学教研室编写的《理论力学（I）》[6]，该教材于1961 年发布初版，先后再版7次，逐步形成了自身风格和特点，是我国发行量和影响最大的理论力学教材[7]。实例中所涉及的理论力学概念、术语和符号均与该教材保持一致，因此文中不再进行特别的定义和说明。对于实例中出现的公式也不进行严格的推导，而只是从诱导思维的角度给出公式与公式之间联系的简单说明。实例中所有的思维导图均使用开源软件Freeplane 1.9.5 版本制作完成。

（一）理论力学知识网络图主框架的构建

理论力学知识网络图主框架从总体上描述了理论力学所包含的三个部分内容：静力学、运动学和动力学，以及这三个部分之间的内在联系。从图形上看，其主要功能在于给出知识网络图树状结构的“树干”，并清晰地描绘出从“树根”到各分支之间的联系。考虑到学习理论力学的学生一般都具有高中物理和大学物理的力学基础，因此选择使用他们最为熟悉的质点牛顿第二定律作为知识网络图树状结构的根节点，并由此诱导“生长”出树状结构的“树干”节点，如图1 所示。下面简述一下运用诱导思维的方法生成理论力学知识网络图主框架的具体过程。

图1 理论力学知识网络图主框架

最后，在初步建立静力学和运动学基本概念的基础上，进一步提出问题：既然静力学只研究物体的受力，运动学只从几何的角度来研究物体的运动而不研究引起运动的物理原因，那么物体运动的原因究竟是什么？在此问题的诱导下，再回到根节点，进而指出：牛顿第二定律公式中的等号把静力学和运动学联系起来，给出了物体的运动与作用力之间的关系，这就是动力学的研究内容。由根节点分别向下向上，可以进一步诱导“生长”出动力学的三个普遍定理节点：描述质点系质心的运动状态及其变化规律的动量定理节点（图1③号节点）、描述质点系相对于定点或质心的运动状态及其变化规律的动量矩定理节点（图1④号节点），以及从能量的观点来分析质点系动力学问题的动能定理节点（图1⑤号节点），这个诱导“生长”的具体过程将在后面的动力学分支的构建部分进行详细描述。

至此，我们运用诱导思维的方法完成了理论力学知识网络思维导图主体框架的构建。这个过程也可以看成是以核心公式为线索，通过诱导思维完成知识网络树从根节点到分支节点的“生长”。如果继续按照这种思路让图1 中的每个分支节点都进一步充分“生长”，即可得到我们最终需要的理论力学知识网络图，如图2 所示，或者说得到一棵能够完全覆盖理论力学课程所有知识点的茂密的“知识树”。这棵“树”以核心公式为线索，在所有分支节点之间建立起有机联系。

（二）静力学部分的构建

在如图1 所示主框架的基础上，将静力学节点（①号节点）进一步展开即可得到静力学部分的知识网络树状结构（如图2 所示）。静力学包含三个下级分支：受力分析、力系简化和力系平衡。下面将各个分支的进一步细化、“生长”过程简述如下。

受力分析是静力学研究的基础，该分支按照画受力图的一般步骤细分为三个下级分支：取研究对象为分离体、画主动力、去除约束画约束力。其中前两个分支太简单就不再展开。去除约束画约束力是画受力图教学中的重点和难点，因此将该分支进一步按照常见约束类型展开为六个分支：光滑接触约束、柔索约束、滚动支座、光滑铰链、球铰链、止推轴承。接下来需要重点解决如何画约束力的问题。其中光滑接触约束、柔索约束和滚动支座这三类约束的约束力方向是可直接确定的，因此不再细分。光滑铰链约束可进一步细分为三个分支：如果存在二力平衡或三力平衡汇交的情况，可确定约束力的方向；如果不存在这两种情况则归类为其他，这时需要把约束力分解为两个正交分量。球铰链和止推轴承是三维空间约束，其约束力的方向一般不能直接确定，因此需要分解为三个正交分量。

力系简化的依据是力的平移定理。应用力的平移定理将任意力系中的力矢量平移到任意选定的O点，得到一个等效汇交力系和一个等效力偶系，构成了力系简化分支的两个下级分支。对于得到的等效汇交力系，可直接进行矢量求和从而得到主矢。对于得到的等效力偶系，也可直接进行矢量求和从而得到主矩。为了简洁，图中没有区分平面任意力系和空间任意力系，可以把平面任意力系视为空间任意力系的特例。如有需要，该分支还可根据主矢和主矩的不同组合情形进一步细化给出任意力系简化结果的描述，限于篇幅这里就不再给出。

力系平衡问题是静力学研究的重要内容，其目的是通过求解静力平衡方程得到作用于物体上的未知力。根据任意力系平衡的必要和充分条件，可将该分支细分为两个下级分支即主矢等于零和主矩等于零。再分别写出这两个矢量方程在直角坐标系下的三个标量方程，可进一步生成六个下级分支。

（三）运动学部分的构建

在如图1 所示主框架的基础上，将运动学节点（②号节点）进一步展开即可得到运动学部分的知识网络树状结构（如图2 所示）。运动学按研究对象由简单到复杂分为四个下级分支：点的运动、刚体简单运动、点的合成运动和刚体平面运动。下面将各个分支的进一步细化、“生长”过程简述如下。

点的运动按照矢量法的求导关系分为位置矢径、速度和加速度三个分支，其中速度和加速度分支进一步按照直角坐标法和自然法各自分为两个下级分支。该部分内容相对比较简单，而且学生也有一定的基础，在讲授时应侧重于通过公式推导给出自然轴系下速度和加速度的表达式，并讲清楚切向加速度和向心加速度的物理概念。

刚体简单运动是研究刚体平面运动的基础，可按照工程中常见的类型分为平移运动和定轴转动两个分支。其中刚体的平移运动可以归结为研究刚体内任一点的运动，也就是说可以采用上一个分支（点的运动）中的方法来进行研究，因此不再进一步展开。刚体的定轴转动按照物理量所对应的研究对象进一步分为整体描述和局部描述两个下级分支。其中整体描述分支按照矢量求导关系进一步分为旋转角度、旋转角速度和旋转角加速度三个下级分支，分别给出整体描述刚体定轴转动的三个物理量矢量的定义和公式。局部描述分支也按照矢量求导关系进一步分为点的弧坐标、点的速度和点的加速度三个下级分支，分别给出刚体上任意点的运动学描述。该部分需要重点讲清楚如何以矢积来表示点的速度，以及通过相应的公式推导给出以矢积表示的点的加速度公式。

点的合成运动主要分析物体相对于不同参考系的运动之间的关系，是运动学部分的重点和难点。在讲清楚点的合成运动基本概念：一点（动点）、两系（定参考系和动参考系）和三运动（绝对运动、相对运动、牵连运动）的基础上，根据动点在定参考系和动参考系中的位置矢径的关系，可推导出点的速度合成定理和点的加速度合成定理，从而得到点的合成运动的两个主要分支。

刚体平面运动的内容可由点的合成运动定理推导出来。首先讲清楚刚体平面运动的基本概念及结论：平面运动可取任意基点而分解为随基点的平移和绕基点的转动。在此基础上，通过选择B 点为动点，A 点为基点，定义一个固连于基点的平移坐标系作为动参考系，即可根据点的速度合成定理推导出求平面图形内各点速度的基点法，进一步还可推导出求平面图形内各点速度的瞬心法；同样，也可根据点的加速度合成定理推导出求平面图形内各点加速度的基点法。

（四）动力学部分的构建

在如图1 所示的主框架中，根节点的牛顿第二定律和由其得到的质点动量定理（③号节点）、质点动量矩定理（④号节点）、质点动能定理（⑤号节点）共同构成动力学部分的主要内容。将③、④、⑤号节点进一步展开即可得到动力学部分的知识网络树状结构（如图2 所示）。下面将从根节点生成③、④、⑤号节点以及各个节点进一步细化、“生长”的过程简述如下。

质点系动量定理（③号节点）可由根节点的质点牛顿第二定律推导出来。对于质点系中的第i 个质点，其牛顿第二定律公式可变形为：

由质点系动量定理和质点系动量矩定理还可得到刚体平面运动微分方程。首先，把质点系的动量表示为质量与质心速度的乘积，代入到质点系动量定理中即可得到质心运动定理；其次，由质点系动量矩定理可推导出质点系相对于质心的动量矩定理，进而得到平面运动刚体相对于质心的动量矩定理。质心运动定理和平面运动刚体相对于质心的动量矩定理就构成了刚体平面运动微分方程。另外，由质点系动量矩定理还可推导出刚体定轴转动微分方程。

由质点系动量定理和质点系动量矩定理还可得到达朗贝尔原理。首先，将质点系动量定理方程的右边移到左边，易得到以外力系主矢和惯性力系主矢表示的形式上的力平衡方程，进而还可得到以质心加速度表示的任意质点系（或刚体）惯性力系主矢的计算公式。其次，将质点系动量矩定理方程的右边移到左边，易得到以外力系主矩和惯性力系主矩表示的形式上的力矩平衡方程，进而还可得到四种刚体运动的惯性力系主矩的计算公式。以上两个方面合起来，即构成了达朗贝尔原理所表述的核心内容。

二 理论力学知识网络图在教学中的应用

把上述得到的理论力学知识网络图主框架和静力学部分、运动学部分及动力学部分知识网络图全部组合在一起就得到了图2 所示的理论力学知识网络总图。该图完整地展现了从根节点的牛顿第二定律出发，基于核心公式诱导思维的方法所构建的理论力学知识网络树状结构的全貌，并清晰地描述了各个知识点的来龙去脉和相互关系。受限于时间和篇幅，图2 所示的理论力学知识网络总图仍不成熟，不一定能全面覆盖理论力学的所有知识点，因此仅作为一个可供参考的实例。在实际应用中，可根据需要对图2 中的各分支节点进行必要的补充、调整和进一步细化，从而得到更加完善的理论力学知识网络图。得益于思维导图软件的灵活性，在实际应用中还可根据需要任意折叠或展开树状结构中的特定分支，从而得到具有不同分辨颗粒度的理论力学知识网络图。理论力学知识网络图可以灵活应用于预习、课堂教学、课堂回顾、课堂小结和总复习等各个教学环节，其具体实施可以借用华罗庚先生的读书方法论归纳为两个过程——“把厚书读薄、把薄书读厚”。

图2 理论力学知识网络总图

（一）把厚书读薄

“把厚书读薄”主要是指把理论力学知识网络图应用于预习和课堂教学的过程。以课堂教学为例，教师可参考本文基于核心公式诱导思维构建理论力学知识网络图的思路，在讲授过程中以板书的形式在黑板上一步步画出本堂课程内容的知识网络图，借助思维导图形象直观的树状层级发散结构，结合诱导思维教学法，通过合理设问引导学生找到新旧知识间的联系，以完成新知识的内化。

在课堂教学中结合知识网络图采用诱导思维教学法，可以改变“教师满堂灌、学生被动听”的传统的“注入式”教学模式，强调以理论力学核心公式为线索，通过合理设问，诱导发散思维，启发并引导学生主动思考，让学生在有限的课堂教学时间内做到触类旁通、举一反三，提高教学效率。诱导思维教学法的关键在于进行授课前要做好细致的教学设计，而教学设计的重点又要聚焦于新知识点导入的逻辑设计，即根据知识网络图上的每个节点精心设计合理的问题来引导学生主动思考由该节点引出的分支节点上的新知识，然后再结合概念讲解和公式推导完成新知识的讲授。

以动量矩定理的诱导思维教学为例，其导入过程可按以下思路来进行设计。首先，通过回顾静力学部分关于计算力对点之矩的公式，进行引导性提问：如果把公式中的单纯地看成一个数学上的矢量而不考虑它的物理意义，那么是否对任意矢量都可以进行这种求矢量对点之矩的运算？如果把矢量替换成矢量会得到什么结果？由此便很自然地导入了动量矩的概念和定义，学生也很容易理解。在此基础上，再次进行诱导性提问：动量定理公式的两边其实都是一个矢量，如果对这两个矢量同时做求对点之矩的运算，方程是否仍然成立？由此便可很自然地推导出动量矩定理的公式。

考虑到理论力学课程更加注重数理逻辑推演的特殊性，在采用上述方法进行教学实践的过程中应高度重视板书的作用，并做好板书的设计。设计良好的板书可以更好地从视觉上吸引学生的注意力，引导学生跟随教师的思路，从无到有地构建本堂课程内容的知识体系，从而让学生获得更直观、更深刻的对知识的理解。反观近两年线上授课的情况，由于没有板书，教师一般只能对着PPT 进行讲授，从学生的反馈来看，教学效果差强人意。在进行板书设计时，最好能有两块黑板，教师可在左边的黑板上画知识网络图，在右边的黑板上进行相关公式的详细推导。右边的黑板写满了可以随时擦掉，左边的黑板一直保留。这样一堂课下来，所讲授的内容基本上浓缩于左边的一块黑板上；当整个课程结束后，把每次板书的知识网络图组合在一起，甚至可以将整门课程的内容都浓缩于一张纸上，从而达到“把厚书读薄”的目的。

（二）把薄书读厚

“把薄书读厚”主要是指把理论力学知识网络图应用于课堂回顾、小结和总复习的过程。以课堂回顾和课堂小结为例，在上新课之前，教师可以以提问的方式引导学生一起在黑板上快速画出上次课堂所讲授内容的知识网络图。在画出知识网络图的每个节点时，还要进一步以提问的方式引导学生思考并回答这个节点中的核心公式是怎么得到的？涉及哪些重要的概念？其中每一个符号的物理意义是什么？公式中的每个物理量如何进行计算？当学生正确回答出这些问题时，也就意味着他们已经能够通过知识网络图发散思维，联想到图中所涉及的所有知识点的细节，进一步加深了对所学知识的理解。如果在总复习时也使用同样的方法去引导学生思考，通过知识网络总图发散思维，联想并还原整门课程内容的所有细节，从而达到“把薄书读厚”的目的。

三 结束语

运用基于核心公式诱导思维的方法构建的理论力学知识网络图将理论力学知识点以核心公式为线索进行有机联系，形成完整、直观的理论力学知识体系图像，可以有效避免产生知识“孤岛”，有助于学习者快速获得对于理论力学知识的系统性理解。通过把整本教材的内容浓缩于一张纸的图像，还可以有效解决学生拿着厚厚的教材无从下手的困惑，能够真正做到“把厚书读薄”，有效减轻学生的学习压力。将该知识网络图应用于课堂教学，可改变传统的“注入式”教学模式为教师启发引导、学生主动思考的“诱导式”教学模式，可以更好地激发学生的学习主动性，培养学生的数理逻辑思维能力。将该知识网络图应用于理论力学各模块的小结或者整个课程的总复习，可以帮助学生进行快速回顾并联想、还原出各个知识点的联系与细节，从而达到“把薄书读厚”的目的。该知识网络图还可进一步应用于理论力学教材的编写，帮助教材编写者打破长期以来的理论力学教材框架，按照更加符合思维逻辑的方式对理论力学知识体系进行重新构建，以编写出更加通俗易懂，便于使用的优秀的理论力学新教材。