重视方法联系，促进能力提升

余美君

［摘  要］ 人教版教材有三次关于“租船问题”的解决问题教学，文章从教学起点、教学侧重点、方法联系三个方面进行对比分析，提出通读教材，把握起点；刨根问底，辩中优化；实践操作，策略反思三个教学建议，使学生进一步体会知识间的紧密联系。

［关键词］ 小学数学；租船问题；优化

一、缘起

笔者在上三年级的“租船问题”时，曾有学生问：“老师，为什么要这样一个一个地把方案列举出来，有没有更简便一点的方法？”在学习四年级的租船问题后，学生更加对三年级所使用的一一列举的方法嗤之以鼻，觉得用“套路”来解决“租船问题”更简单，为什么四年级知识比三年级知识还要简单？在学生看来，列表法需要将各种情况一一列举出来，既麻烦又容易出错，“套路”才是解决这类问题的“神器”。那为什么教材要做这样的内容编排呢？我们得细细品味。

二、追起点之源

实际上，人教版教材一共安排了三次关于“租船问题”的解决问题教学，分别是二年级下册第六单元“有余数的除法”、三年级上册第三单元“测量”及四年级下册第一单元“四则运算”。相比二年级的“租船问题”，三年级与四年级的“租船问题”无论是在计算上，还是在思考过程上都显得更为复杂。下面，笔者从教学起点、教学侧重点、方法联系三个方面进行对比分析。

1. 以进一法为主的“租船问题”

教材把二年级的“租船问题”编排在“有余数的除法”单元内，主要内容是借助学生出游租船的情境，运用有余数除法的知识解决简单的实际问题，并采用进一法得出问题的最终答案。二年级的“租船问题”总共有两个已知的数学信息，分别是：22名学生去划船；每条船最多坐4人。这里船只的形式只有一种，因此教师重在引导学生理解题目信息，理解“最多坐4人”的含义，这对理解“至少”要租几条船具有很大的帮助。

运用有余数除法来解决实际问题并不等同于本单元所学的除法竖式计算，本节课除了要帮助学生理解不同语境中“最多”“至少”的含义外，学生还需要运用不同的表征方式理解“进一”的道理。教师可以引导学生用画图、符号、竖式等方式沟通图式与算式间的联系，结合情境充分理解除法算式中每一个数所表示的含义。

二年级的租船问题，需要的是学生能够打破以往看算式定结果的固有思维，从变化与联系的角度看待人数与船只的数量关系，并能根据算式结果做出合理的思考，这为后续学生三年级学习“租船问题”时所使用的列表法打好计算基础。

2. 以列表法为主的“租船问题”

三年级上册的“租船问题”是该册第三单元“测量”的最后一个例题。虽然教材呈现的是租车问题，但与“租船问题”属于同一类，旨在解决与吨有关的实际问题，介绍运用列表法解决问题，向学生初步渗透优化思想，比较多种方案，得出最佳方案。三年级的“租船问题”总共有三个已知的数学信息，分别是：运完8吨煤；小货车每次载质量2吨；大货车每次载质量3吨。

受二年级“租船问题”知识的负迁移，笔者发现很多三年级学生想到的第一个方法就是假设全部租小货车，或者全部租大货车，再根据算式结果运用进一法得出最终答案。有些学生甚至对两种假设都进行计算，然后进行比较，选取最便宜的方案。出现这种现象主要是学生的头脑中没有想到可以“两种车一起租”，思维策略还停留在二年级阶段。因此，教学中教师要明确“可以用2吨的车，也可以用3吨的车”运煤，可以同时用两种车，也可以只用一种车，而且“每次运煤的车都装满”“恰好运完8吨煤”［１］。在学生“试算”的基础上，让学生体会用列表法一一列举时可以做到不重复、不遗漏，从而积累解决问题的经验和策略。

三年级的“租船问题”，以二年级所学的有余数除法为计算基础，是二年级“租船问题”的提升，区别在于出现了两种不同类型的船，学生需要考虑“两种船一起租”的情况，对学生的思维层次及计算能力有较高要求。要知道哪种方案能恰好运完或最省钱，必然是在将所有可能的方案一一列举出来，然后通过计算方案的最终价格并比较，才能确定最优方案。通过让学生全程参与用列表法一一列举解决问题这一过程，让学生进一步体会在租船时要兼顾两个因素：尽量租单价便宜的，尽量减少空位，这为学生四年级学习“租船问题”给予了策略基础。

3. 以优化、调整为主的“租船问题”

第三次“租船问题”是四年级下册第一单元“四则运算”的最后一个学习内容，教材用租船的情境提供了现实素材，旨在让学生合理、灵活地运用四则运算的意义及顺序解決实际问题。与二年级、三年级的“租船问题”相比，四年级的“租船问题”显得更为复杂，已知的数学信息共有5个，分别是：一共有32人；小船24元；大船30元；大船限乘6人；小船限乘4人。初看之下，四年级的“租船问题”与前两次的学习相比，区别似乎只在于数学信息的增加，但在解决问题的过程中，学生还需要综合考虑大船和小船的单价、多余的人数和空位数、大船和小船的只数、总金额的变化等一系列数量关系。因此，四年级的“租船问题”并不难在计算，而难于解题时的思路和方法。

从教材“分析与解答”部分可知，学生需要经历“租哪种船→租几条大船、几条小船→减少空位→最省钱方案”过程形成优化思维的策略，这也是教师在教学时所遵循的教学过程。正是这样的教学过程，才会引发前文所叙述的疑惑，为什么四年级的“租船问题”显得比三年级的“租船问题”更简单、易懂，学生更容易抓住“套路”解题？

这个疑惑的产生，正是源于并没有将此前所学习的进一法、列表法与优化、调整的方法联系起来。“怎样租船最省钱？”学生曾在三年级遇到过这个问题，但并没有将其放在例题里进行深入探讨。对于租船问题，要知道哪种方案最省钱，应该是将所有可能的方案一一列举出来，进行比较后才能得到最后的结果，这也是四年级学生解决“租船问题”的基本思路。基于此，对四年级的“租船问题”为什么不继续采取列表法来解决呢？有那么多的方案，一一列举出来太麻烦且复杂，有没有更简单的方法呢？在这样的思考下，激发了学生寻找新方法的需求，要想快速地寻找出最省钱的方案，需算出大船、小船的单价，并多选单价低的船。同时在列表法的启发下，学生又产生了新的想法，减少空位或者没有空位的方案会不会更省钱？让学生对上述方案做进一步的调整与比较。相比列表法，学生通过比较单价、尽量坐便宜的船、调整座位可以更快找到最省钱的方案。然而，教师还需要做进一步的引导与解释，为什么减少空位就可以节省租金？通过组织学生观察示意图及算式，学生能想到空位也是要付钱的，如果减少空位或者没有空位就更能达到最省钱的目的［２］。

学生最有效的学习就是在原有经验基础上进行再建造。根据以上整理，可见一种高级的解决问题方法的产生其实也是源于对数学基本方法的改进，而且这个基本方法是解决问题的根本思路。四年级的解决方法看似简单、易操作，但其也是建立在对所有方案进行比较后才得到的结果，只是在一一列举的基础上做了进一步的优化与调整。

三、溯教学之策

1. 通读教材，把握起点

美国认知教育心理学家奥苏贝尔曾经说过，影响学生学习最重要的原因是学生已经知道了什么，教师应当根据学生原有的知识基础进行教学。在教学过程中，学生都是根据他们已有的知识基础、生活经验和对社会的理解等因素来探讨如何解决问题的。教师在开展教学时首要任务便是通读教材，将与“租船问题”相关的内容联系起来，厘清知识脉络，把握问题的核心知识，由此提升课堂教学效率。二年级的“租船问题”以进一法为主，正是三年级“租船问题”所使用列表法的计算基础。而解决三年级“租船问题”所使用的列表法则是优化方法的根本思路，“最省钱”一定是比较过所有的方案的结果，只是在列表的基础上做了优化与调整，用算式进行过程的表达，是解决问题能力提升的体现。

2. 刨根问底，辩中优化

在问题中抽取所需的数学信息，让学生了解条件与问题，对问题形成知识起点。对问题进行深入、全面的分析是最终完成正确解答的关键步骤，通常作为课堂教学的重点。在进行“租船问题”教学时，教师需引导学生全面理解题意，明确关键信息“最多”“至少”“最省钱”，找出解决问题的最优策略。如在进行四年级“租船问题”教学时，学生经历“租哪种船→租几条大船、几条小船→减少空位→最省钱方案”过程后，教师可引领学生说一说自己的解法，这样才能进一步地听懂与学懂他人的解法，并进一步组织学生将四年级“租船问题”所使用的优化、调整法与三年级“租船问题”所使用的列表法做比较，体会该种方法是列表法的一种延伸与优化，最终实现学生自我策略的优化。

3. 实践操作，策略反思

四年级学生的年龄一般在9-10岁，在记忆方面，有意记忆逐步发展并占主导地位，抽象记忆有所发展，但具体形象记忆的作用仍非常明显。在教学过程中，教师可以采取多种实践方法帮助学生理解方案的优化、调整过程。以教学四年级“租船问题”为例，教师可采取小组合作的形式，给每个小组提供学具，以纸船替代题目中的大船、小船，以棋子替代题目中的学生，让学生动手摆一摆、画一画、算一算。接着，教师在课件中将座位的调整过程演示一遍，加深学生的印象。最后，教师组织学生说一说、辩一辩。从实践操作到具象演示，再到“图示”“算式”，化形为数引导学生更直观地分析数量关系，深化解题过程，帮助学生优化解题策略。这样的教学过程不仅能帮助学生更好地掌握相关知识内容，还可以使学生在数学能力上有一定收获。

在解决问题之后，教师需要引导学生进行策略反思，明确“尽量选单价便宜的船，尽量减少空位”的省钱策略，实现“租船问题”的策略建模。从二年级的进一法到三年级的列表法，再到四年级的优化、调整法，从运算意义的建构到借助工具实践操作，再到画图与建模，新方法的产生其实也是源于对基本方法的改进。只有经历这一漫长且曲折的学习过程，学生得到的不仅有数学知识的充盈，还有数学能力的提升。

“租船问题”是一类基于数量关系的较为复杂的问题，但其并不同于傳统的以数量关系为主的解决问题，而是侧重于逐步向“优化思想”的渗透。纵观以上的追源及溯策，针对这类问题的教学，教师应使学生在联系方法的基础上，体会知识与知识间的紧密联系，进一步提高学生的数学能力。

参考文献：

［１］ 梁霭玲. 由“租船问题”引发的思考［Ｊ］. 小学科学（教师版），２０１７（０８）：１５２.

［２］ 刘韩. 这样一定最省钱吗？——《解决问题》案例分析［Ｊ］. 湖北教育（教育教学），２０１６（１０）：６２－６３.