“平面向量基本定理”深度教学分析与设计

李璐　陈算荣

摘  要：平面向量基本定理是高中數学重要的定理之一，基于深度学习的理念，在高观点视角下分析平面向量基本定理，并在问题驱动下引导学生自主探究，导向学生的深度学习，以实现深度教学目标，发展学生的数学核心素养.

关键词：平面向量基本定理；教学设计；深度学习

一、问题提出

题目 （2020年高考数学江苏卷·13）在[△ABC]中，[AB=4]，[AC=3]，[∠BAC=90°]，点D在边BC上，延长AD到点P，使得[AP=9]，若[PA=mPB+32-mPC]（m为常数），则CD的长度是        .

此题是填空题的倒数第二题. 解答此题需要学生具备向量的基础知识，在数形结合思想的指导下借助基本活动经验抽象出数学模型，在数学运算素养的支持下开展探究. 在该题中，可以建立平面直角坐标系，结合函数与方程思想计算出CD的长度，这是学生容易想到的方法，但是计算量较大. 如果有效利用平面向量基本定理，找出“三点共线”向量表达式的特征，再利用“表示唯一性”这一特点进行计算，便能够快速得出AP与PD之间的比例关系，从而降低计算量. 在考试中发现问题，在问题中改进教学. 这道试题映射出了在平面向量基本定理这一课时中，教师不仅要重视知识点的讲解，还要教会学生如何关联已有知识进行数学思考，即教方法、教思想，最终指向深度学习. 基于深度学习的数学课堂是提升学生数学核心素养的有效阵地，也是对教知识、教方法、教思想的教学理念的较好诠释.

深度学习是在学生理解的基础上解决具有挑战性的问题和发展高阶思维的学习方式. 相对于以教师为主导的传统教学模式，基于深度学习理念的课堂教学更能彰显学生的主体性，能有效发展学生的数学核心素养，促进学生对知识本质的理解. 向量是抽象的数学概念，很多学生对于该知识的理解浮于表面，停留在机械计算. 例如，学生能进行向量的坐标运算，但是却不知道向量为什么能用坐标表示. 平面向量基本定理作为高中数学教材中为数不多的“基本定理”之一，是沟通向量与坐标表示的桥梁，是代数化解决向量问题的理论基础，对于学生整体掌握向量的知识体系是至关重要的.

通过对“平面向量基本定理”的相关文献进行分析，发现当前很多教学设计存在以下几点问题：（1）缺乏对向量共线定理和平面向量基本定理之间联系的揭示；（2）教学活动及例题和习题的设置比较单一，缺乏对学生思维的深度挖掘；（3）固化“一个定理，三点注意，定理应用”的教学模式，简化定理的探究过程，忽略定理的本质，使得学生对定理的理解浮于表面，知其然而不知其所以然.

基于以上问题分析，结合深度学习理念，探索深度教学设计. 下文的设计经过多次实践反思后打磨而成，力求构建具有探究性、理解性和批判性的数学课堂，在高观点视角下分析平面向量基本定理，在问题驱动下引导学生自主探究，帮助学生理解定理的实质，真正体验深度学习，感受由平面向量基本定理所体现的数学之美.

二、教学内容分析

1. 教材分析

“平面向量基本定理”是《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）必修课程“几何与代数”主题“平面向量及其应用”中的内容，要求学生理解平面向量基本定理及其意义，掌握平面向量基本定理的应用. 结合高等数学来看，平面向量基本定理是线性代数中向量线性表示的特殊情况. 结合人教A版《普通高中教科书·数学》（以下统称“教材”）进行分析，该节课位于教材必修第二册“平面向量及其应用”一章的第三小节，在内容上起到了承上启下的作用，既与向量的运算密不可分，又为向量的坐标表示奠定了基础.

2. 深度教学目标

确立深度教学目标是导向学生深度学习的前提. 根据布鲁姆教育目标分类学，机械记忆和浅层理解属于浅层学习，而应用、分析、评价和创造可以归为深度学习的范畴，能触发学生高水平的认知，调动学生的高阶思维.

依据《标准》及具体内容的分析，“平面向量基本定理”的教学目标设置如下：（1）能够用数学语言表述平面向量基本定理，理解平面向量基本定理及其意义（理解层次）；（2）结合平面向量的概念和运算探究平面向量基本定理，分析定理的实质和意义（分析层次）；（3）能应用定理解决相关数学问题，能依据具体问题灵活利用“基底不唯一性”“表示唯一性”等性质（应用层次）；（4）积极参与质疑、思考和交流活动，在探究活动中体会反证法的证明过程，深化数形结合、转化与化归的基本思想，体会探究数学定理的基本方法（评价层次）.

教学重点：平面向量基本定理的形成过程，以及平面向量基本定理的应用.

教学难点：平面向量基本定理的探究.

三、教学过程设计

1. 创设问题情境，引发深度思考

问题1：如图1，在直线l上取向量[OA]，那么直线l上的任一向量可以如何表示？

【设计意图】根据向量共线定理，可知对于直线上任一向量a，都存在唯一的实数m，使得a[=mOA]. 这实际上揭示了任意非零向量都可以构成一维向量空间的基，进一步引导学生关注任一向量与实数之间的对应关系，引出一维向量的坐标表示. 由此让学生体会向量共线定理的魅力，建立向量与实数之间的联系，为引出平面向量基本定理及后续探究活动做铺垫.

问题2：数学中，人们总是追求用最少的量来表示一类问题. 那么，平面内的任一向量可以如何表示？

【设计意图】由一维问题类比提出二维问题，引发学生进阶思考. 这个问题作为悬念设置，不要求学生立刻作答，而是引出新的课题和研究任务.

承接这一问题，教师提出：在物理矢量的学习中，是否有过将一个矢量用其他两个矢量表示的经历？自然引出下面的情境.

2. 巧设物理情境，抽象分解模型

问题3：如图2，某渡口处，江水以速度v1向东流，小船在静水中的速度为v2. 若使得小船垂直过江，该如何确定小船的航向？

【设计意图】该问题从矢量分解出发，促进学生进行知识迁移，让学生初步体会向量分解的过程. 学生不难得到通过平行四边形法则可以将一个向量分解成两个方向不同的分向量，从而表示成两个分向量代数和的形式.

问题4：问题3的解答的实质是什么？

问题5：根据平行四边形法则，向量可以分解成多组大小、方向不同的两个分向量，并表示为分向量的和. 若给定两个分向量，平面内任一向量可以如何表示呢？

【设计意图】从问题3到问题4是引导学生透过具体的物理实例看问题的本质，即一个平面向量可以唯一分解到给定的两个方向上，使学生形成初步感知. 问题5可以帮助学生建立完整认知，即至少需要给定两个向量才能表示平面内任一向量.

教师进一步提问：给定的两个向量需要满足什么条件？

【设计意图】问题4启发学生明白平面内任一向量可以用给定的两个不共线的向量表示，并且在不给定方向的情况下，可以分解到两个不同的方向上，这个过程体现了学生认知的进阶性.

3. 助推知识建构，发展高阶思维

探究活动1：如图3，在同一平面内，如何将给定的向量a用两个不共线的向量e1，e2线性表示.

【设计意图】有了前面对平面向量分解的进阶认知基础，创设这一具体的操作活动，帮助学生内化这一认知，得到向量a可以表示成[λ1]e1+[λ2]e2的形式，并且发现这样的分解是唯一的.

向量a是平面内的给定向量，而平面内的任一向量都可以通过改变向量a的大小和方向获得. 因此，我们想要探究任一向量的情况，不妨分解成以下两个探究活动.

探究活动2：不改变向量a的方向，改变向量a的大小，所得到的向量可以由不共线向量e1，e2线性表示吗？

【设计意图】分别从数和形的角度着手. 从形的角度分析，可以将所得向量按平行四边形法则分解；从数的角度分析，所得向量可以表示为ma，若[a=λ1e1+][λ2e2，] 则[ma=mλ1e1+mλ2e2]. 这一活动有助于学生进行知识关联，构建知识网络，这也是深度学习的重要体现之一.

探究活动3：如果不改变向量a的大小，只改变向量a的方向，所得到的向量可以由不共线向量e1，e2线性表示吗？

【设计意图】探究活动3有助于学生深度体验无论向量的方向如何改变，都可以按e1，e2的方向分解，从而表示成[λ1e1+λ2e2]的形式，并可以运用信息技术展现动态变化过程.

探究活动4：e1，e2是同一平面内两个不共线向量，对于平面内任一向量a，能找到几组[λ1，λ2，] 使得[a=λ1e1+][λ2e2]？

问题6：结合上述探究活动，分别用文字语言和符号语言说一说你得到了什么结论.

【设计意图】探究活动4从几何直观出发引导学生体会向量与实数对之间的关系，并运用反证法证明，促使学生深刻理解“表示唯一性”的含义. 问题6旨在让学生对所学内容进行抽象概括，有利于化被动接受为主动学习，培养学生的数学抽象素养.

归纳总结：请同学们进一步完善自己的结论. 阿基米德说过，只要給我一个支点，我就能撬起地球. 同一平面内两个不共线向量就是该平面内所有向量的“支点”，我们将其称为基底（base），同时将该定理称为平面向量基本定理.

4. 设计变式练习，深化知识理解

例  如图4，在[△ABC]中，点D为AB的中点，[CD=][12AB]，用向量方法证明[△ABC]是直角三角形.

变式1：用[CA]，[CB]表示[CD].

变式2：若[AP=tAB]（t ∈ R），用[CA]，[CB]表示[CP].

【设计意图】例题的设置有利于促进学生的认知从“知之”到“用之”，实现知识结构与知识应用的统一，避免“惰性学习”，激发“有活力的知识”. 该例题在一个问题模型的基础上设计变式练习，囊括了用基底表示任一向量和怎样选择合适的基底等多个知识点，帮助学生从整体上把握知识，学以致用，深化学生对知识的理解.

5. 融入高观点思维，引领深度反思

问题7：如图5，平面向量基本定理与向量共线定理有什么区别和联系吗？

【设计意图】深度教学基于教师对教学内容的深度理解，高观点下看平面向量基本定理，实际上是向量线性表示在二维空间的特殊情况，揭示该内容背后的本质，对于三维空间乃至n维空间向量的学习都起到了指引作用. 通过思维导图引导学生感受两个定理之间的区别与联系，建立向量与实数之间的联系，为平面向量的坐标表示的学习做铺垫，并为空间向量的学习打下基础.

问题8：这节课你收获了哪些知识与技能？令你印象最深刻的探究活动是哪一个？你有什么启示？你还有哪些困惑？

【设计意图】在课堂小结部分尽量引导学生从知识与技能、过程与方法和情感上分别谈一谈自己的体会，并引导学生思考平面向量基本定理的价值. 教师在学生反馈的基础上进一步归纳、提升，将本节课的内容归纳为“一、二、三”（一个定理，两个数学方法，三个数学思想），即认识了平面向量基本定理，通过类比矢量的分解学习向量的分解，并且初步了解了反证法，在解决问题的过程中用到了数形结合思想，以及转化与化归思想. 平面向量基本定理使得平面内所有向量都可以由一个基底唯一表示，体现了数学的简洁美.

四、结束语

深度教学是促进核心素养在课堂上落地的有效途径，那么如何在教学中体现“深度”？深度教学要求教师超越机械性、表层性和记忆性的知识讲解，挖掘本质性、关联性和应用性的深度思考，实现知识结构与知识应用的统一，促进基础知识和基本技能的教学与数学核心素养培育的融合. 深度学习理念应贯穿于教学过程的始终，通过对《标准》、教材及学情的深度分析，建构深度教学目标，在教学活动设计和实施的过程中，紧扣深度教学目标，借助探究活动聚焦学生数学核心素养的培育，创设深层追问推进学生高阶思维的发展，以深度教学导向学生的深度学习.

在“平面向量基本定理”的教学设计中，以一维问题引出二维问题，揭示向量坐标表示的本质，总结类似问题的研究路径，提出富有挑战性的数学任务. 通过巧设物理情境，引导学生初步感知平面向量的分解，并用探究活动引导学生步步深入，真正体验定理的生成过程，经历问题解决的思维过程，从而得到平面内任一向量都可以由一个基底唯一表示的结论. 这个过程促进了学生的深度认知，激发了学生的主观能动性，从而驱动了学生的深度学习，培育了学生的逻辑推理和直观想象等素养. 在认识平面向量基本定理之后，用例题进一步深化学生对知识的理解，并以直线、平面、空间为问题轴，用思维导图的形式启发学生类比学习，鼓励学生自主探究，帮助学生形成整体认知.

参考文献：

［1］朱先东. 指向深度学习的数学整体性教学设计［J］. 数学教育学报，2019，28（5）：33-36.

［2］章建跃. 利用几何图形建立直观  通过代数运算刻画规律：“平面向量及其应用”内容分析与教学思考［J］. 数学通报，2020，59（12）：4-13，29.

［3］谢发超. 导向深度学习的数学教学目标设计：以“函数的单调性”为例［J］. 中小学教师培训，2019（1）：41-45.

基金项目：扬州大学2021年度研究生教育教学改革与实践课题——新情境下教育硕士实践创新能力提升行动研究（JGLX2021_008）.

作者简介：李璐（1999— ），女，硕士研究生，主要从事数学教育研究；

陈算荣（1972— ），女，副教授，博士，主要从事数学教育、课程与教学、教师教育研究，系本文通讯作者.