立足问题本原探思路　重视推理运算育素养

满玉　纪昌武

摘  要：以2022年高考天津卷第19题的解法研究为例，探究在解析几何解答题教学中如何立足问题本原探索解题思路，培育学生的数学运算和逻辑推理素养.

关键词：解析几何；问题本原；数学运算；逻辑推理

一、试题呈现

【评析】此解法与解法2本质上相同，更注重几何图形带来的提示作用. 针对条件[OM=ON，] 能够认识到除了用圆的性质外，还可以利用[MN]的中点与点[O]的连线与[MN]垂直的性质，应用“两条直线垂直，则斜率乘积为-1”来解决问题，从而使计算得到简化. 充分体现了解析几何的基本思想方法：将几何问题代数化，以及数形结合思想和转化思想；对于条件[S△OMN=3，] 则选取了以线段[ON]为三角形的底，则高就是点[M]横坐标的绝对值，体现了思维的简洁性和灵活性. 对比解法2和解法3，两种解法从数学思想方法上是一致的，但解法3思维更加发散，运算更为简洁. 由此可以看出，帮助学生处理好知识与能力、过程与结论、方法与思维的关系，加强理性思维的培养，鼓励学生的创新性思维具有十分重要的意义.

四、教学思考

2022年高考天津卷解析几何解答题，重视基础知识、通性通法的应用，以知识立意为基础，以能力立意为方向，以素养立意为目标，注重对学生综合能力、数学思维能力，以及数学核心素养的全面考查. 对高考题的细研是教学过程中的重要一环，也是培养和落实数学核心素养的有利时机. 基于此题的解法研究，对解析几何的教学有以下几点思考.

1. 探寻思想方法产生的本原，培养数学抽象、直观想象素养

要想整体上把握试题条件和要解决的问题，就要把握所在单元（主题）的内容结构和核心思想，这样才能凸显知识的脉络，抓住数学本质，弄清数学研究问题的思想方法. 从审题中发现问题、提出问题十分重要. 学生要能够根据已知条件，使用数学语言对问题进行适当的描述，必要时可以将条件抽象成图表、图形等形式輔助思考.

从图1 ～ 4可以看出，选择点[M]的坐标为思考问题的出发点和根本点，是顺利展开解题思路的关键，学生只有深入分析才能发现问题，继而引发思考、提出问题、延伸思维. 如何表示上述条件？能得到什么结论？对解决问题有什么作用？解析几何的核心思想方法是什么？在解析几何中出现相切、长度相等的条件，一般要从哪几个角度思考？原因是什么？学生只有对这些问题有了清晰和深刻的认识后，“坐标”的选择才是自然的，水到渠成的. 合理选择参数，将位置关系的几何形式表达为代数形式，将之用坐标表示，完成从形到数的转化，这正是解析几何的核心思想.

对于解析几何问题的求解，参数的选择是学生的难点，往往会因选择不合理造成解题障碍. 究其原因，是因为思维凌乱，没有真正厘清条件，弄清题目的发生、发展过程. 此题中确定的量和关系有直线[l]与椭圆相切的位置关系，椭圆长轴长和短轴长的倍数关系，线段[OM]和[ON]长度相等关系，[△OMN]的面积为定值[3;] 不确定的量有切点[M]的坐标，切线与[y]轴交点[N]的坐标，椭圆的长、短轴的长度等. 综合运用数学自然语言、符号语言、图形语言，准确、清晰、简洁地表达这些量和关系，是沟通形与数的纽带，是架起条件与结论的桥梁. 图1 ～ 图7能促使学生在头脑中形成思维导图，对此题的理解构成一个彼此关联的系统，从而探寻出思想方法产生的本原，优化解题路径，提升数学抽象、直观想象等素养.

2. 引导学生“提出问题—表达论证”，渗透逻辑推理素养

逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学交流活动中基本的思维品质. 对于逻辑推理素养的培养，关键在于引导学生发现问题和提出问题，然后利用所学数学知识进行表述和论证，形成有论据、有条理、合乎逻辑的思维品质. 这样，学生才能抓住问题的根本，才能在众多的解题路径中，判断每条路径的可行性，分析出通性通法，形成富有逻辑的解题方法. 例如，在解法1中，利用切点坐标[Mx0，y0，] 直接设出切线[l]的方程为[x0xa2+y0yb2=1]求解. 而数学是严谨的，在这里先要证明这一结论是成立的才能继续应用，验证过程彰显了思维严密性的特点；在解法2中，合理判断预知所设切线方程与椭圆方程联立后，由于[Δ=0，] 切点[M]的坐标不会过于复杂，求法具有一般性和可行性；在解法3中，线段MN中点[P]坐标的利用，把距离问题转化为两直线垂直的特殊位置关系，以形助数、简化运算、优化思维.

因此，在课堂教学中，教师要引导学生积极参与，循序渐进地进行相应的数学思考，以及数学方法的运用，这样才能让数学素养的培养有本可依. 在解决问题时，才能围绕核心问题提出相应的解决思路，继而在解题过程中不断地深化数学思想，落实数学抽象、逻辑推理、数学运算等素养.

3. 通过运算促进思维发展，提升数学运算素养

圆锥曲线综合问题是考查学生运算能力的有效载体，充分考查了学生灵活应用代数方法解决几何问题的能力.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》在解读“运算能力”时，强调“应当重视学生是否理解了运算的道理，是否能准确地得出运算的结果，而不是单纯地看运算的速度”，可见算理才是运算的核心.

在此题的解法中，侧重考查学生思维的敏捷性和运算的准确性. 解法2中根据条件[OM=ON，] 从本质出发，理解为切点[M]在以[O]为圆心，以[m]为半径的圆上，即满足方程[x2+y2=m2，] 替代两点间距离公式的应用，避免了复杂根式两边平方的化简，为计算带来了便捷. 这个过程不仅体现了对圆的方程、圆的性质的熟练掌握，也蕴含了对数形结合、转化等思想方法的深刻理解.

教学中，教师要引导学生对算理进行深入研究，帮助和指导学生应用已有的知识，感悟其中的算理. 学生只有对算理有了深刻的理解，才能通过运算解决问题，促进数学思维发展，提高数学运算能力，发展数学运算素养.

4. 挖掘试题育人价值，落实数学核心素养

在此题的解法研究中，不仅能感受到试题的知识、能力、素养三重立意导向，还能不断领悟试题的育人价值. 从解题角度而言，解法2不如解法3简洁，但在学生探索解题的过程中，解法2的解题方法和解题思维是非常值得肯定的，具有通性通法的特征. 在教学中遇到类似解法探究活动，如果学生表达出解法2，教师不要急于抛出解法3，要先肯定学生在对问题本质的探究中所把握的核心思想方法，在此基础上鼓励他们继续发散思维，立足本原，大胆探索实践，相信他们还会有更多思维的延伸，这样不断积累解题经验和学习经验，也是对学生理性思维、科学精神的培养.

即便学生的解题思路不易操作，在探讨过程中也要引导学生悟出这一想法值得肯定的一面和解法受阻的原因，辩证地思考问题，全面地看待问题，而不是简单地否定，甚至可以让学生亲自计算一下，让他们自己发现计算难于坚持的原因，这对磨炼学生的毅力、提升学生的自信无疑有着不可估量的作用，这是任何语言都难以企及的. 高中生要在体验挫折和失败的过程中形成百折不挠的良好心理素质，以及敢于创新的意志品质. 这既是高考的要求也是今后人生发展的需要，从而真正落实数学核心素养的目标和立德树人的根本任务.

总之，2022年高考天津卷解析几何解答题稳中求新，既注重通性通法的考查，又蕴含丰富的思想方法，具有发展学生核心素养、育人导向功能. 为我们今后的数学教学和数学研究带来了积极的启发和思考.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］高忠冉. 突破运算瓶颈，落实核心素养：对一道解析几何模考题解法探究的思考［J］. 中学数学研究，2018（12）：6-9.

作者简介：满玉（1972— ），女，中学高级教师，主要从事数学教学研究；

纪昌武（1969— ），男，中学正高级教师，天津市特级教师，主要从事高中数学教育教学研究.