由两道高考试题谈“先猜后证”的价值

摘  要：“先猜后证”是一种通过特殊化获得一般性结论的推理方法，这是探明结论的有效途径之一. 在解析几何、导数难题的解答中，通过猜想可以明确目标，从而使运算策略与方向的选择更具针对性. 以2022年高考数学全国乙卷中的一道高考试题为例阐释上述思路方法的应用，分析其对解题与教学的意义和价值.

关键词：先猜后证；导数；解析几何

很多学生在2022年高考考后复盘中都提出解析几何和导数的运算较困难. 这些困难具体可以分为两类：一类是学生在解决解析几何或导数问题中的某一步时思路受阻，从而迷失了后续的运算方向和解题方向；另一类则是学生虽然可以继续计算，但是因为运算量过大且运算目标不明确造成未能完整作答. 学生往往会将这两种情况简单地归结为自己代数运算能力不强. 然而事实上，这种运算能力不强并不是我们常说的计算代数式的能力不过关，而是数学运算素养中的“选择运算方法、设计运算程序”的能力相对薄弱，即解题策略和方法在很大程度上决定了计算量的大小. 如果能够先探明结论，找到目标，那么运算策略与方向的选择也更具针对性，进而则可以降低运算量，提高运算速度.

对普遍情况适用的对其中的特殊情况也必然适用，这是逻辑学的基础知识. 因此，通过特殊化获得一般性结论是探明结论的有效途径之一，即我们常说的“先猜后证”. 从满足条件的特殊情形入手，如果能找到这个可能的数学对象，以目标结论为运算方向，再通过逻辑推理给出一般性结论的证明；否则，借助反例证伪即可. 笔者将以2022年高考数学全国乙卷中的解析几何和导数试题为例，阐述“先猜后证”的策略在问题解决中的价值.

一、“先猜后证”在求解解析几何问题中的价值

导数问题中，“先猜后证”的方法多数被应用于解决含参不等式的恒成立问题中，通过取函数定义域中某个特殊值得到一个必要条件，从而缩小参数范围，再论证其充分性，简化问题的求解过程.

事实上，“先猜后证”的方法在解决导数问题时不局限于此. 当没有较好的切入点探求参数取值范围时，可以挖掘题干中的显性条件或隐性条件，在特殊情况下对结论进行探究、猜想，然后进行一般情况下的论证. 例如，该题中“先猜后证”方法的应用，就是结合函数解析式的特征分析得到函数经过原点的性质，在此基础上，结合条件分析函数图象的大致趋势，从而得到参数取值的必要条件，不但确定了分类讨论的标准，而且对每一类情况下函数零点存在性的结论已经有了答案，使运算和论证的方向清晰、明确，从而突破了所谓的运算难点.

三、“先猜后证”策略的价值及其对教学的指导意义

1. 借助“先猜后证”，突破思维和运算难点

从对2022年高考数学全国乙卷两道试题的分析来看，如果直接推证，对学生代数结构识别、构造和变形的能力要求较高，需要学生具有较强的逻辑推理素养，如果没有弄清问题的本质，就会导致学生常说的“算不下去”的情况. 而两道高考试题中“先猜后证”方法的应用都是利用了题干中的显性条件或隐性条件先猜出了问题的结论或者明确了探究的目标，将求解问题转化为证明问题，使计算量和思维量上大幅度降低.“先猜后证”所蕴含的这种“归纳—猜想—证明”的思考方式，使学生可以从一个较宽的入口上手，而不是对导数和解析几何问题望而却步，突破了直接推证过程中的思维难点.

2. 培养学生的探索意识与能力，使学生经历数学研究的完整过程

提出对数学命题结论的猜想，在此基础上再进行推理论证，本身就是数学研究中重要的思维过程. 而通过特殊情况归纳推理或者从目标出发逆向推理得到一般结论，是提出合理猜想的有效途径，也是合情推理的基本思想. 在“先猜后证”的探究过程中，学生大胆猜测、小心论证，逐步掌握基本研究方法，培养学生自主探索的意识和能力，使学生积累数学研究的基本活动经验. 正如波利亚所说，在数学领域中，猜想是合理的，是值得尊敬的.

3. 日常教学中有意识进行“先猜后证”的思维训练

虽然由猜想到證明的合情推理方法对数学问题的研究有重要意义，但是任何一个有价值的猜想都不是无方向的乱猜，需要学生在日常数学学习中经历过上述“由特殊到一般”的研究过程，逐步感悟，加深对该方法的认识. 因此，教师可以在教学活动中设计相应的探究活动，不仅限于导数和解析几何，在数学知识的不同模块都可以让学生通过探究活动积累经验，从而有意识地进行“先猜后证”的思维训练.

参考文献：

［1］尹嵘. 浅析“先猜后证”中合理猜测的入手点：以北京高考题为例［J］. 中小学数学（高中版），2020（9）：55-58.

［2］彭耿铃. 必要探路  先猜后证［J］. 数学通讯，2019（23）：10-11，49.

作者简介：马超周（1993— ），女，中学一级教师，主要从事高中数学教学实践与教育教学理论研究.