条条江河归大海:一道“配方法”习题与一题多解

2023-04-12 07:02文/陈
初中生世界 2023年11期
关键词:因式矩形乘法

文/陈 贇

复习整式乘法与因式分解之后,我们设计了一道关于“配方法”的阅读理解问题,但很多同学并没有运用“配方法”解答,不同的解法也十分精彩,现整理出来,供同学们分享。

【阅读理解】我们知道,利用完全平方公式可以将二次三项式a2±2ab+b2分解成(a±b)2。而对a2+2a-3 这样的二次三项式,则不能直接利用完全平方公式分解,但可以先用“配方法”配出一个完全平方式,再用平方差公式分解。过程如下:

请用“配方法”解决下列问题:

(1)分解因式:a2-6a+5;

(2)已知ab=,a+2b=3,求a2-2ab+4b2的值;

(3)若将4x2+12x+m分解因式所得结果中有一个因式为x+2,试求常数m的值。

【设计意图】第(1)、第(2)问不算太难。根据阅读材料,我们利用完全平方公式能够顺利解决。对于第(3)问,先将多项式4x2+12x+m局部配方,可得[(2x)2+2×2x×3+32]-9+m=(2x+3)2-9+m。然后因为4x2+12x+m分解因式所得结果中有一个因式为x+2,即利用平方差公式对代数式(2x+3)2-9+m变形,会产生因式2x+4,这样就可逆向推导出(2x+3)2-9+m=(2x+3+1)(2x+3-1)。等式两边比较,得出-9+m=-1 的结论,可得m=8。下面列举其他几种精彩解法。

解法1:根据多项式乘法法则(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd,以及多项式乘法和因式分解之间的互逆关系,将多项式4x2+12x+m因式分解,得

解法2:对多项式4x2+12x+m局部变形,得4x2+12x+m=4x(x+2)+4x+m,分析得出4x+m这个多项式中含有x+2 这个因式,即4x+m=4(x+2),进而求得m=8。

解法3:画出图1,大矩形的面积是4x2+12x+m,被分成4 个面积是x2的正方形和4 个面积是2x的矩形,以及A和B的两个矩形。矩形A的一边长为x,面积为12x-8x=4x,算出其另一边长是4,因此矩形B的面积是2×4=8,即m=8。

图1

解法4:4x2+12x+m分解因式所得结果中有一个因式为x+2,说明方程4x2+12x+m=0有一根为x=-2。将x=-2代入方程4x2+12x+m=0,可得16-24+m=0,求得m=8。

【简要评析】解法1 充分体现了“回到定义去思考”的解题思想,即基于整式乘法与因式分解的互逆关系,设出另一个因式,求出待定的系数。解法2体现出对分组分解法的较好理解,即先在一部分和式中找到已知因式,得到剩下的和式中也有已知因式。解法3 充分利用二次代数式的几何意义,借助矩形的拼接,以形助数直观获解。解法4从方程的视角看多项式,基于方程的根与多项式的因式的关系,灵活运用方程的根的概念,采用试根法解决问题,体现了“高观点”的解题思想。

最后,提供一道练习题给同学们巩固一下。

阅读下列材料,然后解答问题。

【问题】分解因式:x3+4x2-5。

【解答】把x=1 代入多项式x3+4x2-5,发现此多项式的值为0,由此确定多项式x3+4x2-5中有因式x-1,于是可设x3+4x2-5=(x-1)(x2+mx+n),分别求出m、n的值,再代入x3+4x2-5=(x-1)(x2+mx+n),就容易分解多项式x3+4x2-5,这种分解因式的方法叫作“试根法”。

(1)求上述式子中m、n的值;

(2)请你用“试根法”分解因式:x3+x2-9x-9。

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