“归纳推理”在数学教学实践中的应用研究

2023-04-14 22:32马秋琦
数学教学通讯·小学版 2023年3期
关键词:归纳推理推理目标

[摘  要] 归纳推理作為逻辑推理的重要组成部分,在小学数学的教学设计、教学活动实施以及解题活动中都有重要意义。文章从归纳推理的理论基础出发,着重梳理了归纳推理在小学数学教学中的实施目标,并提出在教学中的具体实施措施。

[关键词] 归纳推理;推理;目标

数学逻辑推理能力被新课标作为六大核心素养之一,不论在教学设计、教学活动实施还是解题中都有重要意义。归纳推理能力对小学生解决数学问题有着重要的作用。笔者着眼于小学数学课堂教学,基于大量的教学实践来探讨归纳推理能力的内涵与实际应用价值。

一、理论基础

逻辑推理从结构出发,可以分为演绎推理、归纳推理和溯因推理三种。其中,演绎推理是指从已知的定理、定义或确定的规则出发,从逻辑推理的程序进行计算与证明的过程,包括从一般到特殊与从特殊到一般两类,又被称为唯一能获得确定结论的推理方式。归纳推理主要是指在实践中寻找问题间存在的规律,并通过猜想获得一般模式,从而提出一般性结论的过程[1]。

为了让人们能区分出这三类推理方法,皮尔逊借助法则、实例与结论三个要素,对每种类型的推理分别进行了描述。法则是指一种情况发生,另一种情况必然会出现的命题;实例指在一定条件下,观察事物的特点与联系;结论与实例类似,但又包含法则。

不同类型的推理,其着重点有着一定的区别。法则为演绎推理的核心,而实例为归纳推理的基础,溯因推理则借助相应的法则与结论来解释实例。康纳尔(Conner)等人又进一步将该理论与图尔明的一般论证结合在一起,更加明晰了各种类型推理的关系,充分展示了法则、实例与结论在各个推理类型中的角色。

二、实施措施

(一)过程要素分析

归纳推理的过程要素主要有:①研究数学对象的性质特征与对象之间的关系;②认识数学对象之间的异同点;③建立概念、运算法则,发现研究对象的性质与规律等;④用精准的文字、语言符号清晰地表达归纳过程。

(二)实施目标梳理

任何能力的培养都需遵循由浅入深、循序渐进的过程,想要培养学生的归纳推理能力,必须从学生的实际出发,符合学生的认知发展规律。实践证明,归纳推理的实施一般遵循以下四个阶段:

1. 前归纳阶段

此阶段主要是培养学生的观察习惯,让学生在观察与分析中积累一定的数学经验,适用于一年级学生的教学。其过程为:学生经历数学活动,从中积累一定的经验,对研究对象产生直观或感性认识;当学生再次遇到类似的问题情境时,就会激活认知,形成自己的判断。

案例1  “加法交换律”的教学

学生从自己的认知经验出发,能计算类似于“7+5=12、5+7=12”之类的题。虽然学生还不了解“加法交换律”,但在反复的练习训练中,仍然能形成“两个加数的位置发生交换,所获得的结论还是一样”的隐性认知经验。这个简单的模式识别式的推理,就属于潜意识中的归纳推理前归纳阶段。

前归纳阶段应结合学生的认知特征,以具体的生活实物、数量与图形为载体,让学生在直观感知中获得相应的认知,从而达成以下几个目标:①初步学会观察方法,形成良好的观察习惯;②学会简单的比较与分析,发现所观察对象的异同点,学会简单的分类,切身感知规律的含义;③积累相应的比较、分析、分类的经验。

2. 初级阶段

该阶段主要培养学生分类与探寻规律的能力,主要适用于二三年级学生的教学。学生在前归纳阶段的基础上,进行简单、系统的归纳推理。然后结合数的认识、几何图形的学习,在操作、观察中对研究对象进行比较、分析,从而发现事物之间的异同点。从内容上来看,主要侧重于图形与数量性质等方面的探究,利用枚举法推理出相应的结论,并能用恰当的语言符号来表达。

案例2  “有余数的除法”的教学

教学时,教师要引导学生在分发物品的活动中,发现“有余数”的现象,从而建立“余数”与“有余数除法”的概念。教学活动中,教师可鼓励学生摆一摆,学会对除法算式分类:有余数和没有余数两大类,通过归纳发现4根小棒可以摆出一个正方形,而无法摆成正方形的小棒分别有1、2、3根,据此发现“余数<除数”的规律。

初级阶段应达到的目标为:①根据标准进行合理分类;②对规律形成基本认识,能提出简单的猜想,并能用语言符号进行表示;③积累互动经验,为完善推理奠定基础。

3. 完善阶段

归纳推理的完善阶段即检验评估与反例验证阶段,与四五年级学生的认知相匹配。此阶段的学生已经有了一定的推理经验,教师利用数形结合思维,能进一步强化学生对数学现象的观察、分类、分析与比较等能力,让学生对自身所猜想的结论进行客观的评估,且能用反例法来论证错误结论。

学生在此阶段既关注研究对象的数量或图形的性质等,又对数量或图形之间的关系有了进一步的探索。而教师应引导学生在感知数学对象的表面特征上,通过思维加工其本质、内在特征等,并能用枚举法获得相应的结论,用精准的语言或符号进行表达。

案例3  “三角形三边关系”的教学

教学时,教师提供一些长短不一的小棒,让学生任选3根摆成三角形的形状,并对摆放过程进行思考与分析,在比较中形成初步猜想。在此基础上,鼓励学生任意画三角形,让学生在“量、算”的过程中验证自己的猜想,并自主获得以下结论:任意三角形的任意两边长度之和,必须大于第三条边。

教师可带领学生一起探究:三角形的两边之和为什么不能等于或小于第三条边呢?鼓励学生应用反例进行验证,以完善自己的认知。

归纳推理的完善阶段需要达到以下目标:①加强学生应用枚举归纳法获得猜想,尤其要学会应用这种方法促进运算法则与各种规律的建构;②错误猜想的应用,让学生感知枚举归纳法所获得的猜想或结论具有或然性,验证猜想是必不可少的环节,并学会运用反例法来推翻错误的猜想。

4. 前演绎阶段

此阶段是學生明白“是什么”“为什么”的环节,适用于六年级学生的教学。在该阶段,教师应引导学生应用数形结合思想,深入观察、比较、分类、分析活动过程,形成相应的猜想或结论,并确定猜想的合理性与相应的数学意义,也就是做到知其然且知其所以然。

案例4  “长方体的体积”的计算公式

活动1:教师组织学生进行小组合作学习,每个小组用若干个1cm3的正方体自主摆出各种各样的长方体,并绘制表格,记录相应的数据。

活动2:要求学生用小正方体摆放出指定尺寸的长方体。

根据两次探究活动所形成的数据进行归纳推理,鼓励学生自主分析出长方体体积计算公式。分析过程中,学生应用了枚举归纳法,自主获得了该公式“是什么”。对于小学高年级的学生而言,知道“是什么”还远远不够,只有发现长方体长、宽、高之间的内在联系与计算公式的“为什么”才算完成教学任务。

鉴于此,教师可适当地增加演绎推理的教学,引导学生用科学归纳法理解1cm3为单位体积,将一个大长方体分割成一个个1cm3的小正方体,则为该长方体的体积。如此可强化学生对长方体体积的认识,让学生从真正意义上理解该公式的内涵。

归纳推理的前演绎阶段应达到的目标为:能用枚举归纳法,促进运算规律与发展的形成,适当增加演绎成分;引入科学归纳法,让学生通过个例的分析,发现问题的因果联系,自主解释结论或猜想的过程,达到科学归纳的层次。枚举归纳法要获得“是什么”,科学归纳推理要达到“为什么”的层次。

纵观以上四个阶段,它们遵循由浅入深、循序渐进、逐渐深入的过程,而且四者是相辅相成、不可分割的,它们是互相推进的关系。结合学生智力与认知发展规律,在此阶段实施归纳推理目标,应有明显的层次性与阶梯性,为学生形成完整的归纳推理能力奠定基础。

三、实施策略

(一)明确推理目标,获得猜想方向

数学学科具有一定的复杂性与抽象性,对学生的想象力与逻辑推理能力要求较高。教学时,教师应引导学生明确推理目标,让学生能从自己的直觉出发,结合自身的认知经验,进行大胆猜想、推测与归纳。因此,目标是教学活动的“灯塔”,学生在目标的指引下,会迈出敢想、会想的第一步;同时,教师还要根据学生思维的实际情况,引导学生从问题的各个维度去猜想,获得更多、更完善的结论。

案例5  “积的变化规律”的教学

计算下列各式,并分析比较各式积的变化规律。

20×3=60;

20×(3×2)=(  );

20×(3×10)=(  );

(20×4)×3=(  )。

教师如果直接提出:“通过以上计算,你发现了什么?”学生一般都会通过观察,提出结论:乘数×2,积也×2;乘数×10,积也×10等。这个结论没什么问题,但拘泥在具体数值上,学生就达不到对一般积的变化规律的认识。

因此,教师在学生观察之前,应提出一个明确的归纳推理方向。比如:“大家观察以上算式,说说两个乘数分别发生了怎样的变化?当一个乘数不变时,另一个乘数与几相乘积会发生怎样的改变?”

这样,学生自然而然地朝教师所提供的方向去猜想,所获得的结论就带有明确的目标性。当然,教师在预设目标时,并没有硬性的规定,而是一种引导,让学生感知规律的存在。值得注意的是,教师不能将自己的思路强加给学生,而要从启发的角度,引导学生进行全方位的思考。

(二)引导自主归纳,感知推理过程

史宁中教授认为归纳推理是一种智慧,这种智慧并非表现在经验结果上,它体现在思考与经验过程中[2]。归纳其实是学习者的直觉与逻辑思维交织互动的一个过程,因此有着一定的规律性。学生只有掌握了归纳推理的一般思维步骤,才能明晰自己接下来应该思考什么。

归纳推理的思维过程,主要遵循以下几个步骤:①综合分析素材;②明确归纳方向,总结出被研究素材的共性特征;③猜想共性因素与规律;④证明猜想。

案例6  “钉子板上的多边形”的教学

教师可引导学生先探究多边形中间有1颗钉子的情况,发现“面积都是多边形边上钉子数量的一半”的结论。如果离开这个前提,那么这个规律就不复存在。在此基础上,再引导学生探索多边形中间有2颗钉子的情况。

如图1,数一数多边形的钉子数量,计算面积,并对数据进行综合分析。随着问题的逐个突破,再引导学生探索、猜想多边形内部存在3、4、5……颗钉子的多边形面积与围成该多边形所需钉子数量的关系,让学生通过画一画、算一算,验证自己的猜想。

学生的思维随着问题的逐渐深入而发散,最后一段猜想关系的内容已经上升到演绎推理的范畴,对学生的思维要求更高。该活动过程不仅凸显了数学的本质,还让学生亲历了归纳推理的全过程。

(三)增强反思意识,积累推理经验

弗赖登塔尔认为:反思是学生思维活动的动力与核心。于学生而言,每个知识的学习都是一种经历,只有将这一个个经历上升为自己的经验时,才彰显出学习的价值与意义[3]。反思就是从一次次经历中总结经验的过程。问题的解决并不代表思维活动就此终止,很多时候是深入认识的起点。从感性认识上升到理性认知过程,反思充当了桥梁的作用,而缺乏反思的学习是不完整的学习过程。

培养学生的反思意识,促进反思习惯的形成,不仅能丰富教学活动过程,还能让学生在反思中积累推理经验和获得相应的思想方法。但反思习惯的形成离不开教师长期的引导与渗透,只有不断地给学生提供反思机会,才能让学生沉淀出相应的经验与方法。

总之,归纳推理贯穿于整个小学阶段,教师应明确每个阶段学生所适用的归纳推理目标,让学生在循序渐进中获得良好的学习方法与技巧,形成可持续性发展的学习能力,为学生数学核心素养的形成奠定基础。

参考文献:

[1] 吴维维,邵光华. 逻辑推理核心素养在小学数学课堂如何落地[J]. 课程·教材·教法,2019,39(03):88-95.

[2] 史宁中. 试论数学推理过程的逻辑性——兼论什么是有逻辑的推理[J]. 数学教育学报,2016,25(04):1-16+46.

[3] 弗赖登塔尔. 作为教育任务的数学[M]. 陈昌平等译. 上海:上海教育出版社,1995.

作者简介:马秋琦(1996—),本科学历,中小学二级教师,从事小学数学教学工作。

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