践行“自学·议论·引导”理念,赋能初中数学教学

[摘  要] “自学·议论·引导”教学理念，历经四十载的实践与研究，在初中数学教学中获得了丰硕的成果. 随着新课改的推进与“双减政策”的落地，该理念对如今的数学课堂教学更具指导意义. 文章以“同底数幂的乘法”教学为例，具体从“三学”的角度来阐述学材再建构，自然切入主题;学程重生成，巧妙揭示新知;学法三结合，建构巩固新知;课堂总提炼，提升思维能力.

[关键词] “自学·议论·引导”;学材;学程;学法;课堂教学

作者简介：卢波意（1983—），本科学历，中学一级教师，从事初中数学学科教学与研究工作，曾获无锡市青年数学教师基本功大赛三等奖.

李庾南老师提出的学法三结合、学材再建构与学程重生成（简称“三学”）是“自学·议论·引导”教学的核心[1]，尤其是在“双减”的背景下，对师生的教与学提出了更高的要求. 想要师生在有限的时间内最大限度地达到效益最大化，必然离不开各种先进的教学理念与手段的辅助. 事实证明，“三学”法的应用，是赋能数学课堂教学，培养学生数学能力的催化剂.

“同底数幂的乘法”作为幂运算的基础，不仅是后继学习的基石，还是物理、化学等学科的基本运算方法. 因此，本章节的教学，对学生的发展具有重要意义. 基于以上认识，笔者在“自学·议论·引导”理念的指导下，践行“三学”思想，呈现以下形态的教学过程.

<D：＼Jzianhi＼龙源＼4.13＼数学教学通讯·初中版202303＼aa-1.jpg> 学材再建构，自然切入主题

“三学”中的学材再建构是指在教学过程中，教师结合学情，将教学内容进行重组、整合，如将一些学法相近或内容互通、互逆的一些知识整合在一起，实施单元教学[2]. 这种教学方式，不仅是将知识的结论呈现给学生，更注重知识的形成过程. 学材再建构也可以理解为将一些零碎的知识点有机地联系到一起，让学生能更加清晰地明确知识间的联系，帮助学生建构完整的认知体系. 实践证明，这种教学方式对促进学生思维的成长具有直接影响.

本节课中，不少教师会选择将“同底数幂的乘法”与“幂的乘方和积的乘方”等内容整合到一起实施教学. 一般安排为：课时一，从乘方的意义与乘法运算律的应用出发，获得同底数幂的乘法，再从乘方的意义和同底数幂的乘法中，获得幂的乘方和积的乘方;课时二和课时三，一般安排学生进行运算性质相关的练习. 这种单元化的教学设计，能让学生对三条性质的内在联系形成较为深刻的印象，同时也能充分感知知识的发展过程.

实践中，笔者也应用了以上整合方式对这部分内容进行教学，收效尚可. 为了践行“双减政策”，在原有基础上获得更进一步的突破，以提高教学效益，笔者又进行了新的学材整合的尝试，具体如下：

第一课时，师生一起探讨同底数幂乘法的相关知识;第二课时，要求学生结合以上研究方法和经验，探索“幂的乘方与积的乘方”的内容;第三课时，安排运算性质的相关练习.

为了将教材有机地融合到实际教学中，笔者经过反复揣摩、分析与思考，设计了如下教学过程，以带领学生自然而然地进入“同底数幂的乘法”的研究中去.

情境创设：为了提高生活质量，相关部门准备将街心花园一块长、宽分别为p，b米的长方形花圃往两边分别加宽a，c米.

问题1：若想求出扩大后的花园面积，你能想到几种方法？

问题2：观察不同的表示方法，说说它们之间的联系.

问题3：怎样从数学的角度来辨析不同表示方法之间的关系？

设计意图  教材中提到与“街心花园”相关的内容，教师结合这个点，提出三个问题，成功地吸引了学生的注意力，让学生对知识产生了探究欲，并初步感知整式运算学习的现实意义. 此情境，不仅揭示了整式乘法与因式分解之间的互逆运算，而且“积化和”也是后继将会涉及的整式乘法，而“和化积”则为因式分解.

此过程中，利用教材所呈现的内容，经过重组，顺利引出本堂课的教学主题，学生通过对这三个问题的分析，自然而然地过渡到“同底数幂的乘法”的研究中去.

问题4：若加宽后的长方形的长、宽分别是33，32，能否用式子来表示加宽后的长方形的面积？

学生列式为33×32.

问题5：这个式子属于什么运算（乘法）？式子中的乘数具备什么特征（幂）？两个幂之间有什么联系？

教师若基于初始的三个问题，直接提出“我们在之前已经研究了整式的加减法，今天我们一起来学习整式的乘法以及与之关系密切的因式分解，并一起来探讨同底数幂的乘法”或向学生直接呈现33×32这个式子，而后切入本节课的研究主题，这种教学方式显然有点生硬.

为了让学生从心理上更加流畅地接受本节课的教学内容，教师可在原有问题的基础上进行改编，让学生对知识产生亲切感. 如将长方形的边长p与a+b+c改成32与33，引导学生感知“长方形的面积可以从一个同底数幂的乘法式子”中获得.

当学生对本节课的教学主题有了一定的了解与认识后，教师也无须着急带领学生对式子进行运算，可以从进一步了解同底数幂的运算具备怎样的特点的角度去分析，引导学生从以下三个问题着手探究：①这个式子是什么运算？②式子中的乘数是什么形式？③式子中乘数之间两个幂具备怎样的关系？

随着问题的探究，学生逐步弄清該式为一种乘法运算，是幂的乘法运算，是同底数幂的乘法运算，由此抽象出此类运算的特征，提炼出运算名称——同底数幂的乘法.

学程重生成，巧妙揭示新知

“自学·议论·引导”教学法指导下的“三学”课堂，主张开放、互动的形态. 其实，课堂教学本就是一个动态的过程，随着教学的推进，常会出现预设之外的情况，此时也是课堂动态生成的契机. 因此，教师应注重课堂教学的动态，注重知识的生成，以彰显数学教学的生机与活力.

教学过程中，学生常会呈现出一些新颖的想法或有建设性的问题，教师应抓住这些预设外的想法与问题作为教学的契机，沿着学生的思维进入深层次的探究. 本节课中，为了带领学生顺利获得同底数幂乘法的一般形式，教师可作如下处理：

问题1：请大家列举一些与“同底数幂乘法”有关的例子.

若学生的列举过于单一，毫无创意可言，教师还可适当地加以追问并进行启发.

问题2：刚刚大家所列举的一些同底数幂乘法的例子，我观察了一下，都是底数为整数的情况，有没有同学能列举出底数非整数的例子？

在学生回答的基础上，教师还可顺着学生的思维，继续提出：

问题3：从以上例子来看，大家列举的底数均为正数，有没有哪位同学能列举底数为非正数的例子呢？

问题4：同底数幂相乘的式子，底数一定是我们列举的那些数吗？是否存在其他情况呢？底数可以是哪些数？若想推广底数的一般形式，该如何表示（引出字母a表示底数）？大家能列举一些底数为a的例子吗？

问题5：同底数幂相乘的指数一定是2，3，4，…吗？指数可以是什么范围的数（正整数范围）？若要将指数推广到一般，该如何表示？

当学生使用同一个字母来表示两个指数时，教师可引导学生探索指数是否一定相等，以及两个指数能否使用不同的字母表示的问题.

问题6：底数与指数均推广到一般状态后，同底数幂相乘的情况又可以怎么表示呢？

设计意图  从乘法、幂的乘法与同底数幂的乘法三个层次出发，引出底数分别为整数、分数、正负数的情况. 鉴于学生对“用字母表示数”的广泛意义存在一定的认识，此时再将底数从“特殊推广到一般”就显得更加合乎情理了.

对于学生而言，用字母表示指数幂比较陌生，因此会感到这部分知识较抽象、难理解. 若教师引导学生类比底数，找出指数具备怎样的特征，则能让教学变得更加流畅，学生很快就能获得借用字母表示数的能力，顺利解决将指数推广到一般的问题，从而得到同底数幂乘法的一般形式，即am·an. 值得注意的是，探究过程中不可忽略底数a，以及指数m，n的实际意义.

练习设计：计算32×33，a2·a3，3m×3n（m，n为正整数），要求说出每一步的计算依据.

设计意图  当学生获得同底数幂乘法的一般形式后，会对其应用产生更加深刻的理解，此练习设计则从学生已有的认知结构出发，鼓励学生自主探索几个典型式子的运算. 学生说出每一步运算依据的同时，就是深化理解知识的过程.

从幂的定义出发，32就是两个3相乘;33就是三个3相乘，32×33是五个3相乘. 将底数3转化为字母a，计算a2·a3，参照以上计算过程，则为五个a相乘.

随着前三个练习的完成，教师可引导学生将运算结果与式子中的底数和指数进行比较，感知它们之间存在怎样的联系，并利用这种联系充分发挥想象，猜想出am·an的结论.

问题7：猜想am·an的结论，并加以证明.

问题8：随着两个同底数幂相乘的研究，大家是否存在什么疑问或想法？

学生交流想法，并自主获得其性质为am·an·…·ap=am+n+…+p（m，n，p为正整数）.

设计意图  学生在积极参与中，不仅体会到乘方的实际意义、逆运算以及乘法结合律，还在探究过程中获得了成就感，当教师提出“加以证明”的要求时，不仅为学生指明了探索的方向，还有效培养了学生用文字语言与符号语言进行知识互译的能力. 问题8的提出，让学生从两个同底数幂相乘的角度出发，进一步推广到同底数幂乘法运算性质.

学法三结合，建构巩固新知

學法三结合需要将学生的个人学习、小组合作与班级交流有机地融合在一起，应用到教学中. 学生通过自主观察、实验、归纳，能将知识内化到自身的认知结构中，但每个学生都存在个体差异，在知识整理与消化的过程中存在显著的差别，这就需要教师为学生提供合作交流的机会，让每个学生都提出自己的想法，并在组员的相互交流中取长补短、总结经验，深刻理解知识.

练习训练：观察下列式子，说说哪些式子可以用同底数幂相乘运算性质进行运算.

（1）x6+x6;（2）x·x6;

（3）22×36;（4）xn·xn+1.

问题1：（2）（4）两个式子为同底数幂的乘法运算，它们的底数分别是什么？指数是什么？大家能直接说出这两个算式的结论吗？获得这个结论的依据是什么？

问题2：要求每个学生自主出一道类似（2）（4）两个式子的题目，小组内解答，并将解题中存在的问题罗列出来.

问题3：同底数幂乘法的运算，需要注意些什么问题？

设计意图  让学生在练习训练中理解同底数幂乘法的运算，弄清该运算的性质与特点. 教师几个问题的提出，不仅帮助学生回顾了同底数幂乘法的特点，还让学生开动脑筋自主出题，在合作交流中完成了计算. 这种带着问题的练习训练，有效地揭示了底数为任意数，指数为正整数，底数与指数可以用字母或多项式表示等性质.

学生回答底数、指数分别是什么，结论是如何得到的过程，就是深化理解这种运算性质的过程. 在适当时机，教师还可以引导学生做一些补充填空的练习，如710=72×7 （  ），a7=a·a （  ）·a （  ），以此来训练学生的逆向思维.

课堂总结提炼，提升思维能力

课堂小结是一节课的点睛之笔，是帮助学生理清知识结构的主要环节. 在课堂尾声，教师引导学生回顾一堂课的学习过程与方法，可对所学内容产生一个全局性的认识，积累学习经验，为后继学习提供研究方法[3]. 本节课中，教师可以带领学生从所学知识、方法等方面出发，总结如下：

学生通过总结，能更加清晰地认识本节课的教学内容，为今后的学习积累了研究经验.

总之，“自学·议论·引导”是一种集“教法”与“学法”于一体的理念，教师可结合学情与教学内容的特点，因势利导地将这种教学方法贯穿课堂教学的各个环节，让学生在丰富的教学活动中感知教材的再建构、学程的生成以及学法三结合的优势，为思维能力的提升奠定基础.

参考文献：

[1]冯卫东. “自学·议论·引导”教学法的基本原理与操作要义[J]. 课程·教材·教法，2011（05）：43-48.

[2]李庾南，陈育彬. 构建促进学力发展的数学课堂[J]. 课程·教材·教法，2008（08）：46-48.

[3]李庾南. 自学·议论·引导教学法[M].北京：人民教育出版社，2013.