石墨烯增强功能梯度梁自由振动的解析解

张靖华, 司成龙, 马 浩

(兰州理工大学 理学院, 甘肃 兰州 730050)

石墨烯独特的二维结构使其具有许多优良的力学特性[1],成为了非常理想的增强材料.将少量的石墨烯或其衍生物按特定方式加入基体,能大幅提高结构的强度和刚度[2].根据功能梯度材料[3-4]的设计理念,将石墨烯叠成的石墨烯片(graphene plate-lets,GPL)方向随机且均匀地散布在每层基体中,而其含量沿厚度梯度变化,形成新一代复合材料,即功能梯度石墨烯增强复合材料(functionally graded graphene platelets reinforced composites,FG-GPLRC).该材料在航天、建材、电子信息、防腐涂层等领域具有很好的应用前景.FG-GPLRC可以通过改变GPL的分布方式、质量分数和几何参数来获得最优的力学性能,有巨大的工程应用潜力,因而其力学特性研究成为工程应用中亟待解决的关键性问题.

近几年,FG-GPLRC结构的力学特性吸引了许多海内外学者的研究兴趣.在FG-GPLRC梁结构振动特性研究方面,Kitipornchai等[5]分析了多孔纳米梁的自由振动,Feng等[6]采用里兹法研究了GPL增强多层聚合物纳米梁的非线性振动.这些分析都发现,在基体中添加少量的GPL作为增强体可以明显提高梁的固有频率.此外,Chen[7]对FG-GPLRC多孔纳米梁的非线性自由振动进行了研究,利用Timoshenko梁理论和Von-Kármán非线性应变位移关系得到梁自由振动的非线性控制方程,并采用Ritz法和直接迭代法求解得到梁的非线性振动频率.在FG-GPLRC板结构振动方面,Song等[8]对该复合板的自由和强迫振动进行了研究;Reddy等[9]采用有限元法研究了不同边界条件下FG-GPLRC板的自由振动;Gholami和Ansari[10]基于三阶剪切变形理论对FG-GPLRC矩形板的非线性振动进行了研究,并对GPL的分布模式、质量分数、GPL纳米填料的几何形状和FG-GPLRC板的边界约束等各种参数的影响进行了分析.

目前已有对FG-GPLRC梁自由振动的研究基本都是采用各种近似解法获得数值结果,而对该问题的控制方程进行直接解析求解并获得解析表达式方面的研究鲜有报道.本文将基于Euler-Bernoulli梁理论由哈密顿原理推导出FG-GPLRC梁的动力学控制方程,并对自由振动问题进行解析求解获得固有频率、振动模态的解析表达式,同时进行参数研究分析FG-GPLRC梁固有频率的影响机理.

1 数学模型

1.1 FG-GPLRC物性参数

图1 3种不同的GPL分布模式

式中:gGPL表示石墨烯的质量分数;ρM和ρGPL分别表示聚合物基体和石墨烯的密度.

(1)

式中:lGPL、bGPL和hGPL分别表示GPL的长、宽和高.

1.2 FG-GPLRC梁的控制方程

根据Euler-Bernoulli梁理论得到采用轴向位移u(x,t)和横向挠度w(x,t)表示的梁轴向应变εx为

(4)

(5)

根据式(5),并沿厚度积分得到梁横截面的轴力Nx和弯矩Mx分别为

(6)

式中:A表示梁横截面总面积;A11、B11和D11分别表示梁的拉压刚度、拉-弯耦合刚度和弯曲刚度,可通过积分计算得到,即

基于哈密顿原理建立FG-GPLRC梁的动力学控制方程,即

(7)

式中:δ表示变分;T、U和V分别表示系统的动能、应变能和外力势能.

本文研究梁的自由振动,系统外力势能V=0,动能和应变能分别为

考虑线性横向自由振动,忽略面内惯性和转动惯性,将式(8)和式(9)代入式(7)变分可以得到梁自由振动的微分方程为

联立式(10)和式(11),消去轴向位移u可得关于挠度w的微分方程为

(12)

由于本文考虑的3种GPL分布模式均关于几何中面对称分布,所以拉-弯耦合刚度B11为0.因此,梁的振动微分方程可简化为

(13)

1.3 动力学控制方程的解析求解

为了简化方程,并使所求得的解具有一般性,引入如下无量纲量:

式中:AM11和IM1分别表示纯基体梁的刚度系数和截面惯性矩.

通过代入无量纲量,化简可以得到FG-GPLRC梁线性自由振动问题的无量纲控制方程为

(14)

设式(14)具有分离变量形式的解,并考虑固有振动可得:

W(X,τ)=ψ(X)f(τ)=ψ(X)cos(ωτ)

(15)

式中:ψ(X)表示振型函数;ω表示固有振动频率.

再将式(15)代入式(14)并化简可得:

(16)

(17)

式(17)的通解为

(18)

式中:C1、C2、C3和C4表示待定积分常数,可由边界条件确定.

本文求解时考虑梁具有如下3种边界条件:

两端简支(S-S)

ψ(X)=0,ψ″(X)=0 (X=0,1)

(19)

两端夹紧(C-C)

ψ(X)=0,ψ′(X)=0 (X=0,1)

(20)

一端夹紧一端简支(C-S)

(21)

对于两端简支FG-GPLRC梁,将边界条件(19)代入式(18)可解得:

(22)

由于shβ≠0,以上各式联立可解出C4=0,则式(18)简化为

sinβ=0

(23)

再将C1,C3,C4代入式(18),并由正则化方法得到两端简支梁的振动模态函数为

(24)

同理可得两端夹紧边界条件下FG-GPLRC梁的固有频率为

(25)

模态函数为

(26)

式中:

一端夹紧一端简支边界条件下FG-GPLRC梁的固有频率为

(27)

模态函数为

(28)

式中:

当石墨烯的质量分数为0时,FG-GPLRC梁便退化为一般的均匀材料梁,由此可得均匀梁的固有频率ω*,故FG-GPLRC梁的固有频率可由相同边界条件下均匀梁的固有频率表示为

ω=cω*

(29)

2 数值算例分析

解析表达式的数值算例计算中选取纯环氧树脂作为基体材料,其弹性模量为3 GPa,密度为1.2 g/cm3,泊松比为0.34.综合考虑各方面性能,梁的总层数NL为10,厚度h为0.01 m,长厚比为10.石墨烯的弹性模量为1.01 TPa,密度为1.062 g/cm3,泊松比为0.186[11].如无特别指出,石墨烯的质量分数为0.3%,几何尺寸lGPL=2.5 μm,bGPL=1.5 μm,hGPL=1.5 nm.

为证明本文理论推导和求解过程的正确性,由解析表达式(25)和FG-GPLRC梁的固有频率与相同边界条件下均匀梁的固有频率之间的转换关系式(29)同时计算出,当GPL的质量分数为0.5%时前三阶固有频率的数值结果,并将该固有频率与文献[6]中使用里兹法所获得的相应结果同时列入表1对比分析.可以看出,用本文解析求解方法所得结果与文献[6]中数值方法所得结果极其接近,由此说明本文理论推导和解析求解过程正确可靠.

表1 石墨烯增强功能梯度梁的前三阶固有频率比较(C-C,NL=10,l/h=20)

2种边界条件下石墨烯增强功能梯度梁的前四阶振动模态图如图2所示.可以看出,该复合材料梁的振动模态与均匀材料或者一般复合材料梁的模态相似,由此说明梁的振动模态与组成材料的特性无关.

图2 石墨烯增强功能梯度梁的前四阶振动模态

表2列出了在3种GPL分布模式下FG-GPLRC梁的固有频率.可以看出,在同一边界条件下X-GPL分布模式梁的固有频率最高,然后是U-GPL分布,最后是O-GPL分布.由此说明:GPL的分布模式不同时梁的刚度也不同,通过加入适当的不均匀分布GPL可以使功能梯度梁达到最佳的增强效果;当GPL的质量分数不变时可以通过改变GPL的分布模式来改变梁的固有频率,且当GPL以X-GPL模式分布在梁的每层时固有频率的增强效果最明显.

表2 FG-GPLRC梁的前三阶固有频率(gGPL=0.3%,NL=10,l/h=20)

图3绘出了在X-GPL分布模式下GPL质量分数变化时对应的基频,图中横坐标和纵坐标分别表示GPL的宽高比和梁的基频.可以看出:当在聚合物基体中加入极少量GPL时,梁的频率会显著增加;当GPL在基体中所占比例越高时,梁的固有频率也随之增大,这是由于梁的弯曲刚度随之增大.

图3 石墨烯质量分数对S-S梁基频的影响

图4绘出了3种边界条件下梁的基频随石墨烯片宽高比变化的关系曲线.可以看出,两端夹紧边界条件下FG-GPLRC梁的基频最大,其次是一端夹紧一端简支边界条件下FG-GPLRC梁的基频,由此说明约束越强基频越大.但无论在哪种边界条件下,随着石墨烯宽厚比的增大,梁的基频逐渐增大.

图4 不同边界条件下FG-GPLRC梁的基频

为了进一步分析石墨烯片的几何尺寸对振动频率的影响,图5和图6绘出了两端简支梁的基频随GPL几何参数变化的关系曲线.图中,横坐标分别表示GPL的宽厚比和长宽比,纵坐标表示梁的基频,增强方式为X-GPL分布模式,GPL的质量分数为0.3%.在石墨烯总含量和石墨烯宽度不变的情况下,较大的长宽比意味着石墨烯片具有较大的表面积,较大的宽厚比意味着石墨烯中所含的单层石墨烯片较少[11].

图5 石墨烯片的宽厚比对FG-GPLRC梁基频的影响

图6 石墨烯的长宽比对FG-GPLRC梁基频的影响

由图5可以看出,随着GPL宽厚比的增大,梁的基频逐渐增大,由此说明单层石墨烯片含量越少梁的增强效果越明显.但当GPL的宽厚比大于103时,基频的增大幅度变小,梁的增强效果变得不太明显.因此,当宽厚比大于103时,再无法通过增大GPL的宽厚比来有效提高梁的弯曲刚度和基频.

由图6可以看出,随着GPL长宽比的增大,梁的基频逐渐增大,即弯曲刚度增大,由此说明具有较大表面积的石墨烯对于功能梯度梁基频的影响更加明显.但当GPL的长宽比较大时,梁的一阶固有频率变化不再特别明显.由此说明,当石墨烯的尺寸达到一定值时石墨烯的几何尺寸改变对于基频的影响将变得不明显,甚至可以忽略不计.

图7绘出了在3种边界条件下不同GPL分布模式对梁的基频影响关系曲线.图中,横坐标和纵坐标分别表示GPL的宽厚比或长宽比和梁的基频,GPL的长宽比为1,宽厚比为103.可以看出,当GPL的质量分数为0.3%时,3种分布模式的GPL对于梁都有一定的增强效应,都可以提高功能梯度梁的弯曲刚度和固有频率.在X-GPL分布模式下梁的基频最高,其次是U-GPL分布,最后是O-GPL分布.这是因为相对于其他2种分布模式,X-GPL分布模式下梁因其上、下表面具有最高的GPL含量而具有最高的弯曲刚度.由此说明,虽然不同的GPL分布模式对梁都有增强效应,但最有效的办法是在功能梯度梁中加入X-GPL分布模式的石墨烯片.

图7 3种GPL分布模式下FG-GPLRC梁的基频

3 结论

本文对石墨烯增强功能梯度梁的自由振动特性进行了分析,获得梁的固有频率和振动模态的解析表达式.并且通过数值算例分析探讨了GPL分布模式、几何尺寸、质量分数等参数对FG-GPLRC梁自由振动的影响,得出如下主要结论:

1) 石墨烯增强功能梯度梁的振动模态与均匀材料或者一般功能梯度材料梁的振动模态相同.

2) 加入含量极少的GPL可以显著提高FG-GPLRC梁的固有频率,且GPL在基体中的含量越高增强效果越明显.

3) 在GPL质量分数一定的情况下,石墨烯的几何尺寸对梁的刚度和固有频率有较大的影响;随着GPL宽厚比和长宽比的增大,梁的固有频率逐渐增大;当石墨烯的表面积较大且其中所含的单层石墨烯片较少时将表现出更好的增强效果.