巧设问题 引领探究

2023-05-13 01:54孔小军
数学教学通讯·高中版 2023年4期
关键词:品质过程

孔小军

[摘  要] 数学是一门抽象且复杂的学科. 若想让学生学好数学,教师应认真地研究教材、研究教学、研究学生,从教学实际出发,精心设计问题,让学生在问题的引导下亲身经历知识形成、发现和应用的过程,从而让学生更好地理解数学、应用数学,提高学习品质.

[关键词] 巧设问题;引领探究;过程;品质

高中阶段学生将学习很多概念、公式、定理等基本知识,若对这些基本知识仅限于单一的讲授和机械式记忆,可能很难达到灵活应用、融会贯通的效果. 另外,单一的讲授和机械式记忆无法诱发学生深度思考,将影响学生思维能力的发展和学习能力的提升. 因此,教学中教师必须改变传统的教学策略,想方设法地引领学生思考,拓展学生的思维,让学生熟练地掌握知识、深刻地理解知识. 问题作为思维的起点,是引发学生思考的动力源,是激发学生潜能的助推器. 因此,教师应关注问题的设计,借助有针对性的、启发性的问题让学生的学习能力和思维能力获得有效的发展和提升.

本文以“两角差的余弦公式”的教学为例,从教学实际出发,精心设计问题,在问题的驱动下提升学生的“四基”,发展学生的“四能”,落实学生的数学素养.

教学分析

三角函数涉及的公式众多,教学中若简单地将公式抛给学生让其记忆,也许学生能在本节课的学习中熟记公式,并能运用公式解决问题,但是随着时间的推移,学生很容易遗忘,这样势必影响学生的解题效果. 因此,教学中教师要改变传统的“讲授”,多为学生创造一些独自思考和合作交流的机会,以此让学生在思考和交流中深入理解知识,提高教学的有效性.

“两角差的余弦公式”是“三角恒等变换”这一章的基础和教学出发点,其有着非常重要的意义. 在本节课教学前,学生已经掌握了任意角三角函数的概念,本节课既是任意角三角函数的延伸,又是后续学习两角和、差、倍、半角等公式的基础.

在教学中,教师应带领学生经历发现、探索和证明知识的过程,让学生体验自主探索的乐趣,培养学生自主探究的能力,激发学生提出问题的意识,提升学生的数学素养.

教學过程

1. 创设情境

师:某市小山有一座电视发射塔,现欲求电视发射塔顶端距离地面的高度. 测量数据如下:如图1所示,地面上有一点A,测得A,C两点间的距离约为60米,从A点观测到小山和电视发射塔顶端的角度分别为15°和45°. 思考一下,根据以上数据能否求出地面与电视发射塔顶端的距离BD呢?

问题给出后,学生很快就形成了解答思路,教师点名让学生展示解答过程.

生1:在Rt△ABC中,=cos∠CAB. 因为∠CAB=15°,AC=60,所以AB=60cos15°. 又在Rt△ABD中,=tan∠DAB,所以BD=60cos15°·tan60°=60cos15°.

师:你们也是这样计算的吗?

生2:我也是这样计算的,但是感觉这个结果有问题——结果中出现了cos15°,这个到底是多少呢?

设计意图 以上问题是非常熟悉的,学生能够轻松地给出正确的解答过程并求得BD的长为60cos15°米,这样自然能够引发学生质疑:cos15°是多少呢?从而激发学生的探究欲,提高学生参与课堂的积极性.

2. 探索尝试

师:刚刚生2提出的问题非常好,那么cos15°到底等于多少呢?

问题给出后,教师没有直接给出求解过程和答案,而是鼓励学生尝试应用已有知识和经验进行推导.

生3:cos15°=cos(45°-30°)=-=.

师:对吗?如果按照这个规律计算,那么cos30°等于多少?

生3:cos30°=cos(60°-30°)=-=≠.

师:通过以上分析我们知道,cos(α-β)=cosα-cosβ不成立. 那么大家思考一下,cos(α-β)与sinα,sinβ,cosα,cosβ有没有什么关系呢?

设计意图 受思维定式的影响,推导时学生容易出现cos(α-β)=cosα-cosβ这样的错误. 在教学中,教师没有直接否认学生的结论,而是让学生利用特值法去验证,使学生自主发现cos(α-β)=cosα-cosβ并不成立. 这样让学生通过探究自主纠正错误,可以深化学生对错误的理解,能够有效避免错误的再次发生. 同时,通过有效验证,能让学生体验到数学的严谨性,有效提升学生的学习品质.

3. 探究新知

师:两点间的距离公式大家还记得吗?已知P(x,y),P(x,y),P,P之间的距离是——

生齐声答:.

师:很好,大家结合两点间的距离公式的推导过程,看看能否找到计算cos(α-β)的方法呢.

为了便于学生探究、交流,教师精心设计了问题进行引导:

如图2所示,在平面直角坐标系xOy中作单位圆,以x轴非负半轴为始边分别作角α,β,α-β(α≠β+2kπ,k∈Z),它们的终边分别交单位圆于点P,A,P,它们的坐标如何表示?(学生积极思考、主动交流)

生4:P(cosα,sinα),A(cosβ,sinβ),P(cos(α-β),sin(α-β)).

师:很好,如何将cosα,sinβ,sinα,cosβ,cos(α-β),sin(α-β)联系起来呢?

生5:由已知可得,弧PA等于弧PA,故PA=PA. 由两点间的距离公式可以推导出cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

师:非常好,若α=β+2kπ(k∈Z)时,易证. 故对任意角α,β都有cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

师:现在你会求cos15°了吗?

教师预留时间让学生自主解决教学初始提出的问题,以此进一步深化学生对两角差的余弦公式的理解.

师:观察两角差的余弦公式,说说它有什么结构特点.

设计意图 在探索新知的过程中,教师从学生的已有知识出发,引导学生结合两点间的距离公式自主探寻两角差的余弦公式,这样借助旧知为新知探索架桥铺路,有利于提升学生参与课堂的积极性. 同时,在新知探究的过程中,教师精心设计具有指向性的问题,引导学生运用数形结合思想方法探究问题,培养学生自主探索的能力. 在以上探索的过程中,教师以生为主,让学生通过思考、探究得出结论,使学生在成功的体验中获得数学学习动力.

4. 例题讲解

在教师耐心的启发和指导下,学生通过自身不懈的努力得到了结论. 为了让学生进一步理解和应用两角差的余弦公式,教师精心挑选了练习题:

练习题1:cos50°cos20°+sin50°·sin20°=______.

练习题2:cos(-15°)=______.

练习题3:化简cos(α+45°)cosα+sin(α+45°)sinα.

设计意图 以上三个练习题的难度不大,是两角差的余弦公式的简单应用. 通过具体练习能让学生注意到公式正向、逆向应用,提高其思维的灵活性. 同时让学生注意到,对于两角差的余弦公式,α,β既可以是单角,也可以是复角. 这样通过简单的、多角度的探究能让学生全面深刻地理解公式,优化学生的知识结构,提高学生的数学应用能力.

教師完成前面三个练习题的评讲后,为了进一步提高学生分析和解决问题的能力,教师又设计了一个拓展题,以此帮助学生更好地理解知识,实现知识的内化.

拓展题:已知α,β均为锐角,且sinα=,cosβ=,求α-β的值.

设计意图 这是一道由值求角的拓展题,难度略有提升.这道题通过反向探究可以让学生掌握解决此类题目的方法. 对于此类题目,学生解答时容易忽视角的范围而产生增根,引发错误. 教师可以学生的易错点为出发点,通过具体练习让学生掌握解决此类题目的步骤,以此提高解题准确率.

5. 课堂小结

此环节中教师应为学生提供一个自由交流的学习环境,让学生通过互动交流总结归纳本节课之所获,进而丰富学生的认知体系,帮助学生积累学习经验.

师:请大家谈一谈,本节课你有哪些收获?

教师预留时间让学生反思回顾,之后互动交流.

生6:掌握了两角差的余弦公式.

生7:理解了两角差的余弦公式的推导过程及相关应用.

……

师:很好,看来大家收获很多. 那么具体应用公式解决问题时要注意些什么呢?

生8:要注意角的范围.

设计意图 通过反思回顾,可以加深学生对知识的记忆. 在本环节中,教师将总结归纳的机会留给了学生,并进行了适度的补充,以此让学生更加全面地理解知识,建构完善的认知体系.

教学思考

在教学中,教师应从实际出发,精心设计生活情境,让学生利用已有知识和经验探索未知,并在探索中发现和提出问题,以此激发学生的探究欲以及学习兴趣. 在本节课的教学中,教师重视激发学生的主体作用,为学生创设了一个平等、互动的学习环境,带领学生体验发现、提出、推导、应用新知的过程,培养学生的创新意识. 另外,在教学中,教师结合教学内容精心设计问题,引导学生积极主动地分析问题,探究问题解决的途径和方法,并帮助学生突破教学重难点,让学生体验数学探究的乐趣,激发学生的潜能,提升学生的综合素养.

总之,在新知探究中,教师要创设机会让学生去发现、去探索、去创造,以此让学生掌握研究数学的方法和路径,有效提高学生的数学学习能力.

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