小小“点”，大作用

文／游淑溶

尺规作图是初中阶段重要的几何作图方法。面对平行四边形作图题，当你手中只有一把无刻度的直尺时，你是否感到手足无措呢？不要急，这时候我们可以借助平行四边形的对称中心这个小小“点”，让它来发挥大作用。

一、小小“点”牵手角平分线

例1如图1，已知∠AOB，OA=OB，点E 在OB 边上，四边形AEBF 是平行四边形，在图中画出∠AOB 的平分线。（只用无刻度的直尺作图，请保留画图痕迹，不写作法。）

图1

【分析】我们平时用圆规和直尺很容易作出已知角的平分线，但这道题要求用无刻度的直尺作角的平分线，也就是说只能借助直尺连线，该如何画呢？从题目中的已知条件OA=OB，我们发现，两条有一公共端点的线段（不在同一直线上）长度相等，说明存在等腰三角形，其实就是作等腰三角形顶角∠AOB 的平分线。因为没有圆规和量角器，所以不能直接作角平分线，只能从其他方面出发。我们知道等腰三角形的顶角的角平分线、底边上的中线及底边上的高线是互相重合的，那么我们就可以从底边AB 出发。而四边形AEBF 是平行四边形，我们不难看出AB 是▱AEBF的一条对角线，也就知道了AB 的“双重”身份，即AB 既是等腰三角形的底边，又是平行四边形的对角线。这样我们就很容易想到平行四边形的对称中心这个特殊的点了。我们把它看成等腰三角形的底边AB上的中点，再用无刻度的直尺连接点O和小小“点”即可。

解：如图2，连接AB、EF，交于点P，射线OP即为所求。

图2

二、小小“点”圆梦相等线段

例2已知BD为▱ABCD的对角线，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图。（保留画图痕迹。）

（1）如图3，点P为AB上任意一点，在CD上找一点Q，使CQ=AP。

图3

（2）如图4，点P为BD上任意一点，在BD上找一点Q，使DQ=BP。

图4

【分析】（1）我们知道平行四边形是中心对称图形，点A与点C、点B与点D关于小小“点”（对称中心）对称，线段AB与CD也关于它中心对称。明白了这一点，我们不难发现，这题就是找点P关于小小“点”的中心对称点。（2）在平行四边形的对角线上如何作相等的线段？其实我们可以借助第（1）问的方法，由于点P在对角线上，点A、点P所在直线与边BC有交点（设为点M），所以我们找出点M关于小小“点”O的对称点N，线段CN与BD的交点就是我们要找的点。

解：（1）如图5，点Q为所作。

图5

（2）如图6，点Q为所作。

图6

在解决与平行四边形有关的作图题时，我们可以尝试从平行四边形的对称中心入手，发挥这个小小“点”的作用，轻松解决平行四边形中用无刻度的直尺作图的问题。