整体建构 简教优学

顾慧

［摘 要］数学课程具有整体性，在具体化的教学实施过程中凸显整体性、关联性、结构性是数学课堂改革的重要方向。“认识射线、直线和角”这一课包含了直线、射线、角及相关内容的教学，文章以此课为例，阐述如何基于单节课又跳出单节课，实现教学的整体建构，并以此来帮助学生完善认知结构、提升学习能力、发展核心素养。

［关键词］整体建构；核心素养；数学课程标准

［中图分类号］ G623.5［文献标识码］ A［文章编号］ 1007-9068（2023）08-0018-03

【教学分析】

数学课程具有很强的整体性，但为了教学的实施，一般会将其分解为一个又一个具体的内容，这样的分解虽然有利于教学，但也容易割裂知识关联，遮蔽知识系统。因此，每一节课的教学首先要整体建构知识，帮助学生建立整体性认知。

“认识射线、直线和角”是苏教版教材四年级的内容，单就这课题名称就很值得玩味。通常，“射线”“直线”与“线段”是一组有关联的概念（简称“三线”），“角”跟“射线”有联系（从一点引出两条射线组成角）。显然，在“认识射线、直线和角”这一课中，“射线”“直线”“角”并不是具有并列关系的一组概念，要理顺它们之间的关系，有必要回顾之前编排的内容以及本节课编排的内容。

此前，学生在二年级时已经学习了“线段”，初步认识了角（一个顶点、两条边）。本课教学任务之一就是在认识线段的基础上继续认识直线和射线，教学任务之二就是在认识了射线后，再从射线的角度来定义角。除此之外，本节课还要教学“两点之间的连线中，线段最短”，后续还要教学两条直线之间的位置关系“平行（线）”和“垂直（垂线）”等。

把这些内容整合起来，就能建构出这样的逻辑体系：经过今天的“二次学习”，建立起“三线”（线段、射线、直线）的完整认识；再以线段、射线、直线为基础，打开更加广阔的数学世界，即线段“打开”的是“两点之间的距离”，射线“打开”的是角的意义再构，直线“打开”的是“两条直线的位置关系”（不属于本节课内容）。

基于上述逻辑关联，本课教学的基本思路：从“有限”扩展到“无限”，建立“三线”的整体认知，继而通过“三线”打开与它们相关联的世界，以凸显整体建构、简教优学的结构化教学理念。

【教学过程】

一、回顾线段

师（双手捏紧毛线两端并绷直）：这是一根毛线，咱们来玩个“我做你画”的游戏。

学生作品： [ ]

师：仔细观察这两幅作品，有什么相同点和不同点？

生1：都是直直的线，不同的是第一幅作品的两端多了两条小竖线。

师：第一幅作品其实就是一条线段。还记得线段的特征吗？

生2：线段直直的，长度有限，有2个端点。

师：线上有那么多点，为何偏偏将这两个点画成小竖线？

生3：因为这两个点很特别，它们在线的两端，这样画才能看起来更明显。

师：是啊，把拉直的毛线画成线段，就从生活走到了数学的世界。

师（用激光笔照射墙壁）：这是一支激光笔。看明白的同学请画一画。

生4作品：

生4：激光笔发出的光束是一瞬间发射出去的，我画的虚线是表示那个点的运动轨迹。（指着最后一个点）这个点是表示它最终停留的位置。

师：“最终停留的位置”，试着换个词，也就是什么点？

生5：终点。

师：妙！点动成线，化不可见为可见！

生6作品：[ ]

师：请解释一下。

生6：激光路线是直的，激光笔的头和墙上的点，就是两个端点。

【说明】知识建构的关键是在原有的“知识树”上生长出新的“枝叶”。本环节通过阐释线段特征及端点的重要性来强化学生对“有限长”的理解，为学生后面认识“无限长”做好铺垫。“会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言描述现实世界”是对数学核心素养的概括性表达，游戏“我做你画”的目的就是希望学生用数学的眼光看教师手中的毛线，无关颜色、无关粗细；用数学的思维来思考，得出这根绷直的毛线最本质的特征；用数学的语言来表达生活中的线，因为简单的线段图示即可展现毛线的直与有限长。

二、认识射线

师：下面进行第三次“我做你画”游戏。（激光笔的光射向窗外，对着无建筑物阻挡的地方）看明白的同学请画一画。

师：有人没动笔，是遇到什么困难了吗？

生1：我觉得它应该射到一个很远的地方，但我不知道在哪。

生2：我觉得后面如果没有东西挡着，光就会一直射，可以无限延长。

师：不知道尽头在哪里，有一种无限的感觉。无限与哪个词是相对的？

生3：与“有限”是相对的。

师：那“无限长”怎么画呢？

生4作品：[ ]

生4：刚才是射到墙壁上，有终点，现在射到很远很远的地方，我后面就用了小点点表示它会一直射。

生5作品：

生5：左边这个点表示光从笔尖开始发射，也就是起点，如果右边也画端点的话，就是有限长，但是激光笔射出去的光没有终点，所以我没有画。

师：真正的无限长，我们画得出来吗？

生6：画不出来，纸就这么点大。

师：真正的无限长是画不出来的，但数学家能用这种巧妙方式把无限长表达出来。这是一种伟大发明，这是一种数学创造！既然不畫某一端的端点就可以表示往该方向无限延长，那这幅作品是不是也可以呢？

生（齐）：可以。

师：这样的线叫作射线。将线段的一端无限延长，便得到了一条射线，这就叫“一生二”。与线段相比，射线直直的，只有一个端点，无限长。

【说明】这一环节对学生来说很有挑战性，不仅因为激光看不见、摸不着，还因为不知如何表达无限长。但是，受前面用线段表达有限长的方法的启发，学生还是能够迸发灵感的火花。这一过程不仅体现了知识间的关联性和递进感，更上升到数学发明、数学文化的高度，突出了由此及彼、“由一生二”的人类智慧。

三、认识直线

师：过去我们只认识一种线——线段，通过将线段的一端无限延长，我们又创造出了第二种线——射线。这样一个发明创造的过程，有没有让你们产生什么联想？在小组内交流你们的想法。

生1：射线→直线。

师：怎么变？

生1：我把射线这端的端点也去掉，这样这一边也能无限延长了。

师：此时，还有起点和终点吗？

生2：没有了。

师：射线可变，线段呢？谁来试试。

生3：可以把线段的这两端都无限延长。

师：将射线的一端无限延长，或是将线段的两端都无限延长，都能得到一条直线。刚才那叫“一生二”的话，这叫什么？

生4：二生三。

师：仔细观察，直线有什么特征？

生5：直线是直直的，但它没有端点，两边都可以无限延长。

师：三线相比，有什么共同之处？又有什么不同之处？（学生回答略）

【说明】翻看《义务教育数学课程标准（2022年版）》，不难发现，同样是线段、射线、直线，小学与初中学习的侧重点却不一样。小学重感悟，初中重应用；小学重表达，初中重拓展；小学重形象，初中重抽象……但它们又是前后紧密关联的，没有小学阶段对形象的感悟，初中的应用与拓展就会无力；没有小学阶段抽象能力与符号意识的培养，发展空间观念、提升思维水平，初中就不能以点带面、举一反三。因此，本环节的教学要尽可能以直观来通达抽象。

四、建构整体

师（出示图1）：仔细观察，你能分辨出哪些是线段、射线和直线吗？

生1：①号是线段，③号是射线，⑤号是直线。

师：为什么②、④號不是三线中的任何一种？

生2：因为它们是弯的，线段、射线和直线都是直直的。

师（画一条直线）：这是一条直线。（在直线上标注点A，如图2）你发现了什么？

生3：我发现了两条射线，点A往左是一条，往右也是一条。

师（标注点B，如图3）：有新发现吗？

生4：我看到了一条线段，点A、点B是两个端点。射线也变多了，点B往左、往右各有一条。

师：将线段的一端无限延长，得到一条射线，反过来，在射线上再添一个点，能截取出一段线段。

生5：线段是直线或者射线的一部分。

【说明】《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，为实现核心素养导向的教学目标，不仅要整体把握教学内容之间的关联，还要把握教学内容主线与相应核心素养发展之间的关联。在本课中，线段、射线和直线的关系是重中之重，在游戏的互动中，学生对三线之间的结构与关联了解得更为透彻，学习就超越知识内容深入到思维结构的层面了。

五、扩展价值

师（出示图4）：用数学的眼光看，这里有我们认识的线吗？

生1：有，中间是一条线段。

师：这三条线，哪一条最短？

生2：中间那条最短。

师：为什么？

生2：如果拉直了上下两条线，它们肯定比中间的那条要长。

师：有道理，化曲为直是很重要的数学思想。也就是说，两点之间线段最短。在数学上，我们把两点间这条线段的长度叫作这两点之间的距离。

师（动态演示从一点引出两条射线）：你有什么发现？

生3：从一点引出两条射线就得到一个角。

师（动态演示从一点引出一条射线，再旋转）：此刻，你又发现了什么？

生4：一条射线经过旋转，与旋转前的射线组成了一个角。

出示：一条射线围绕端点旋转，与旋转前的射线组成一个角。

师：过去我们认识的角只是它静态的模样。今天我们认识射线之后，又从动态的视角重新认识角。数学学习总是从简单走向丰富，我们通过线段，解决了两点之间的距离问题；通过射线，重新认识了角。直线又会为我们打开什么样的世界？以后大家将继续学习。这就叫“三生无限”。

【说明】本环节聚焦“三线”的运用，既包含解决生活问题时的实际应用，也包含对后续学习几何图形的作用。线段、射线和直线作为几何知识体系的基石，学生在运用时能更加深刻地懂得研究“三线”的价值所在。概念的学习，最初都是由生活走向数学，将概念理解透彻之后，可借助数学眼光、数学思维来打开更为广阔的世界。

此外，《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，核心素养具有整体性、一致性和阶段性，在不同阶段具有不同表现。对核心素养的整体性认识不能虚化，而应结合教学重难点细化具体且丰富的内容，并在教学中有目的地一步步对照落实。教师作为学习活动的组织者、引导者与合作者，需要站在一定高度纵观整个知识脉络，厘清其中的关联，对内容整体建构。只有真正思考起来，行动起来，课堂才会有质的改变。彼时，学生也将越学越懂数学，越学越爱数学。

（责编 金 铃）