含参函数不等式问题的解法破解与思考

湖北省武穴市实验高级中学(435400) 李秀元

含参函数不等式问题,由于能综合考查学生利用导数解决问题的能力,而受到命题者的青睐. 这类问题大致可分为两种解题思路,一是构建含参函数,通过求导,基于对参数的讨论,研究函数的单调性,确定函数的最值,然后解不等式得到参数的取值范围,主要考查导数的几何意义和分类讨论思想;二是基于自变量的取值范围,进行参数与变量的分离,通过研究无参函数的图象,确定其取值范围,最终获得问题的解,主要考查逻辑推理和数形结合思想. 无论是哪种思路,对学生而言,难度似乎都不小,前者往往受讨论的复杂程度影响,后者则在参变分离后,会面对一个形式可能更复杂的函数,形成新的解题难度. 本文另辟蹊径,以不等式为突破口,通过转变不等式的结构,利用常见函数的图象结构特点,借助几何直观来反映不等式的大小关系,巧求参数的取值范围.

一、从一道函数不等式试题的解法谈起

引例已知函数f(x)=(x−a+1)ex(x>0),若不等式f(x)+a>0 恒成立,求整数a的最大值.

分析面对函数不等式恒成立问题,我们首先想到的是求函数的最值,这是解题通法.由于函数中含有参数,因此构建新函数后需要分类讨论,这样就得到第一种解题方法: 构建函数,分类讨论,通过解最值不等式,得到参数的取值范围;恒成立问题求解有很多技巧,站在技法角度,我们又想进行参数和变量分离.能不能分离,分离后的函数是否简单,是否好求最值,这些都是我们关注的重点.基于变量的取值范围,本题能实现参变分离,但在求无参数函数的最值时,需要借助零点存在性定理,用隐零点[1]来表示函数的最值. 如果涉及到求整数最值的话,隐零点的取值范围尤为关键.这样得到本题的第二种解法: 参变分离,隐零点帮忙,它可以一步到位地确定参数的最值;如果跳出常规技法,本着回归基本函数图象的原则,从不等式入手,进行结构变形,充分利用参数的几何意义,将不等式转化为直线与曲线的位置关系,得到本题的第三种解法: 变形不等式,几何直观,将本题变成导数几何意义的常规问题.

一题三解,角度各异. 方法1 用分类讨论的方式确定函数的单调性,虽然讨论还算简单,但分类讨论始终是学生的一个解题障碍,不知如何分类,不知如何讨论,况且第二层次还需再次构建基于参数的函数,以确定零点范围;方法2 对参数与变量进行分离, 能不能顺利分离是首先考虑的问题,分离后面对复杂函数,为了判断导函数取值,需要对导函数的部分二次求导,要敢于下手;解法3 从不等式入手,转变结构形式,借助于直线与函数图象的位置关系来建立判定条件,巧妙破解参数求值时的困难,降低了求解复杂程度和计算难度,这种应用几何直观求解参数的方法,是值得大力提倡的.

二、应用几何直观,巧解参数范围

类型一直线与一般曲线的位置关系

例1已知函数f(x) =alnx(a> 0),e 为自然对数的底数.

(1)若过点A(2,f(2))的切线斜率为2,求实数a的值;

(2)当x>0 时,求证;

分析按照导数综合题的一般特点,各个小题间往往是递进关系(除第(1)小问单独考查导数几何意义外),即后面的小题可以借助前面小题的结论来求解. 第(2) 小题即证,通过构建函数,确定g(x)的最小值, 很容易获得证明. 第(3)小题, 不等式可化为. 由于x∈(1,e), 故恒成立. 构建函数,求导后便出现第(2)小题的结论形式,这是函数题的普遍和常规做法. 如果不进行参变分离,直接利用基本函数的图象,求解更直观.

解(1)(2)从略;以下讨论(3)的解答.

图1

方法 2对不等式的两边分别构建函数,因为y=lnx的图象过点(1,0),且是上凸函数,而为过点(1,0)斜率为的直线. 要使对x∈(1,e) 恒成立, 如图1 所示, 只需比较右端点两函数值的大小即可, 即,所以a≥e −1.

两种方法对比，显然利用直线与一般曲线的位置关系，来界定条件更为简洁，不仅可以避免参变分离后面对更复杂函数的胆怯，而且求解更简单更直观.

例2已知函数f(x) =x+alnx, 其中a为常数, 且a≤−1.

(1)当a=−1 时,求f(x)在[e,e2]上的值域;

(2)若f(x) ≤e −1 对任意x∈[e,e2]恒成立,求实数a的取值范围.

分析对于第(2)小题,一般通过讨论函数f(x)的单调性,确定其在[e,e2]上的最大值,然后解不等式,得到参数取值范围,这个过程有点复杂. 如果转变不等式的结构,由基本初等函数的图象,可迅速直观地得到问题的解.

解(1)略. (2)f(x) ≤e −1 即为x+alnx≤e −1,变形得alnx≤−x+(e −1).

因为a≤−1, 所以y=alnx为下凹减函数, 而y=−x+(e −1) (x∈[e,e2])为一条线段,要使alnx≤−x+(e−1)对任意的x∈[e,e2]恒成立, 如图2 所示, 只需要由两函数端点值的大小来决定,即解得.

图2

例3若不等式xlnx+x(1 −k)+2k> 0 对任意的x∈(2,+∞)恒成立,则整数k的最大值为( )

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

分析作为选择压轴题, 无论是借助自变量特殊值求出参数的大致范围后预判结果, 或者直接求函数f(x) =xlnx+x(1 −k) + 2k(x> 2) 的最小值, 还是参变分离, 求不含参数的函数的最小值,本题都不太容易处理. 我们还是想尝试变换不等式的结构,利用常见函数的图象结构特征求解.

解不等式xlnx+x(1−k)+2k>0 变形得xlnx+x>k(x−2). 令y=xlnx+x,显然y=xlnx+x是(2,+∞)内的下凹增函数,y>2 ln 2+2>0,而y=k(x−2)表示过点(2,0)斜率为k的直线.

要使不等式对x∈ (2,+∞) 恒成立, 则曲线y=xlnx+x(x> 2) 必在直线(射线)y=k(x−2) 的上方,且两者无交点,即k应小于过点(2,0)曲线y=xlnx+x(x>2)的切线斜率,如图3 所示.

图3

设切点为(x0,x0lnx0+x0), 则切线方程为y−(x0lnx0+x0) = (lnx0+2)(x−x0). 由于切线过点(2, 0), 故−(x0lnx0+x0) =(lnx0+ 2)(2 −x0), 解 得2 lnx0=x0−4. 所以切线的斜率为lnx0+ 2, 也可表示为.确定出x0的取值范围, 就可以确定切线斜率的取值范围, 而x0是方程2 lnx=x−4 的根.

令h(x)=2 lnx−x+4 (x>2),则,所以h(x)为(2,+∞)内的减函数. 因为h(8)=2 ln 8−4>0,h(9) = 4 ln 3 −5 < 0,根据零点存在性定理,得8

例4设函数f(x)=ex−ax2−ex,若在(0,+∞)上有且仅有一个正整数x0,使得f(x0) < 0,则a的取值范围是____.

分析由f(x)<0,得ex 0,不等式两边同时除以x,得. 此时,虽然比基本初等函数复杂,但其图象是比较容易确定的,y=ax+e 则表示斜率为a、纵截距为e 的直线系,不等式大小在图形上的直观性显而易见.

解由f(x) < 0, 得ex 0, 所以.

图4

由图可知, 当x= 1 时,, 故只需比较x=2时两函数值的大小,就能确定参数的取值范围.由, 得,所以a的取值范围是.

小结将不等式等价变形,产生一次式,分别对新不等式左右两边构建函数,参数直接决定函数图象的走势. 当一次函数的图象是确定的,或者是恒过定点的直线系,借助一般函数与一次函数图象的位置关系(直线与曲线可能相切,也可能相交),用几何直观来寻找满足题意的直接条件,进而快速求得参数的取值范围.

类型二结构相反的两函数图象位置关系

例5已知函数f(x) = ex−ln(x+m), 若不等式f(x)>0 恒成立,求整数m的最大值.

分析函数f(x) = ex−ln(x+m)是由结构相反的两部分组成,因此不等式可以利用两曲线的位置关系体现出来.

解不 等 式f(x) > 0 恒 成 立,即ex> ln(x+m)恒成立. 由于函数y= ex为下凹函数,函数y= ln(x+m)为上凸函数, 且函数y= ln(x+m) 的图象是由函数y= lnx的图象左右平移得到,而函数y= ex和y= lnx的图象关于直线y=x对称. 当y= lnx的图象向右平移,即m≤0 时,两者距离会越来越远, 不等式恒成立; 而当y= lnx向左平移时(此时m> 0),两图象会逐渐逼近,设第一次接触点为(x0,y0),若点(x0,y0)能成为两曲线的公切点,则问题得以解决,否则需要寻找切点不同的公切线进行过渡,如图5 所示.

图5

例6已知函数f(x) = 2a(x−1)ex−x2(其中a∈R,e为自然对数的底数).

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)当x>0 时,f(x+1)>lnx−x2−x−3,求a的取值范围.

分析不等式f(x+ 1) > lnx−x2−x−3 可化为2axex+1>lnx+x−2,因为x>0,所以参变分离可以实现.但分离后得到结构庞大的函数,求导后更复杂. 我们还是利用不等式变形后的图象结构来解决问题.

解不等式f(x+1)>lnx−x2−x−3 可化为2axex+1>lnx+x−2. 记F(x)=2axex+1,G(x)=lnx+x−2,x>0.当a<0 时,F(x)是减函数,G(x)是增函数,F(x)必与G(x)相交,不等式不恒成立;当a> 0 时,F(x)和G(x)都是增函数, 且F(x)是下凹函数, 图象恒过原点,G(x)是上凸函数,此时它们的图象如图6 所示.

图6

图7

小结不等式经变形后,得到两个非一次式,如果各自对应的函数单调,且图象走势相反,可试图寻找两曲线的公切线[2],或过定点各自的切线,则不等式所反映的大小关系,可以用切线和曲线的位置关系显现出来.

三、解题反思

1. 直观想象作为新课标六大核心素养之一,是需要慢慢培养的

在含参函数不等式问题的求解上,我们进行了积极的尝试. 当不等式变形后,所得两函数图象特点明显(如一个函数图象为直线,一个为一般曲线),或者走向相反(两函数图象分居在一条直线两边)时,直观性在求解中就体现出来了.《普通高中数学课程标准(2017 版)》要求,“通过高中数学课程的学习”,“提升(学生)数形结合的能力,发展几何直观和空间想象能力;增强运用几何直观和空间想象思考问题的意识;形成数学直观,在具体的情境中感悟事物的本质”[3]. 为了落实这一核心素养的养成,一方面,通过新知的教学活动,借助不同的载体,引导学生进行联想,初步形成从代数结构感悟几何图形的数学直观观念;另一方面,在数学应用(解题及解题训练)中不断强化直观化的应用意识,逐步形成创新独到的解题习惯和解题风格. 以上例题的解题分析,我们跳出常规思考方向,正是训练学生形成数学直观,增强运用直观解题意识的具体体现,这项工作应该是长期的.

2. 直观化解题方法并不是万能的

转变不等式结构,用直观化解题,这仅仅是一种尝试,因为并不是所有的不等式都能转化成基本初等函数的形式,而且即使能转化,如果两者结构特点相似,即图象走向相同,这种转换方法也是无效的,如

变式1已知函数f(x)=(x−a)2lnx,a∈R.

(1)若a=3e,求f(x)的单调区间;

(2)当x∈(1,e]时,不等式恒成立,求a的取值范围.(附:)

图8

3. 改变不等式结构,破除解题思维定式

虽然利用几何直观求参数的方法并不是万能的,但缺乏对不等式结构变形及几何直观意识,在解不等式恒成立问题时,容易形成思维定势,把简单问题复杂化,如

变式2已知函数,其中a>0.

(1)若x= 1 是函数h(x) =f(x)+x+lnx的极值点,求实数a的值;

(2)若对任意的x∈[1,e] (e 为自然对数的底数),都有f(x)−1 ≥e 成立,求实数a的取值范围.

对于问题(2), 将不等式f(x) −1 ≥ e 化简, 即得a2≥−x2+(e+1)x对x∈[1,e]恒成立,而y=−x2+(e+1)x在[1,e]上的最大值在时取得,值为,从而. 这样做简单明了,避免了根据a的取值范围,讨论函数f(x)在[1,e]上的单调性,确定函数的最小值,通过解不等式获得问题解这一常规而复杂的流程.

四、小结

“直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段,是探索和形成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础”[3]. 依托不等式,联想初等函数,变形其结构形式,用函数图象的直观来解释不等式的含义,使得函数不等式问题的求解方法得以补充与升华. 同时,借助图形位置关系得到代数式的大小,变形不等式成新的结构,产生新的数学问题,这也是数学命题的一种构造方式.