指向初中生模型观念培养的教学实践与反思

朱宸材　茅莉萍　徐芷筠

【摘 要】数学建模是数学与现实世界联系的基本途徑，模型观念的培养则是数学建模在初中阶段的具体目标。本文通过对模型观念的描述，得出初中阶段模型观念的四个主要表现和模型观念培养中存在的三大主要问题，接着从三个“理解”的视角构建初中生模型观念培养的路径与方法，最后通过教学设计完整呈现从具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立一次函数、一元一次方程、一元一次不等式的数学模型，研究数学问题中的数与形的关系和变化规律的过程，为有效培养初中生的模型观念做出有益的尝试与实践。

【关键词】模型观念；数学建模；核心素养

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《标准》）对模型观念有如下说明：“模型观念主要是指对运用数学模型解决实际问题有清晰的认识。知道数学建模是数学与现实联系的基本途径；初步感知数学建模的基本过程，从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。”［1］10具体而言，初中阶段模型观念的主要表现包含以下四个方面：（1）在方程（不等式）、函数等概念的形成过程中感悟模型思想；（2）能够选择适当的方程、不等式或者函数模型解决简单的实际问题；（3）经历现实情境中提出问题，选择合适的模型尝试解决问题的过程，感悟数学建模的思想方法；（4）在跨学科综合实践中运用数学知识与方法，构建模型解决跨学科类问题。［2］

对比模型观念的主要表现，笔者发现现今学生模型观念的培养存在如下问题：（1）知识之间缺乏内在关联，知识形成、发展过程中的逻辑关系缺失，没有形成完整的知识链条和结构体系，缺乏对数学知识结构体系的整体把握，难以促使学生模型观念的真正形成和发展［3］；（2）缺乏对模型观念产生原理的分析与理解，缺乏对学习活动的整体规划与统筹设计，缺乏对学生认知的学情调查和研究分析，导致学生难以形成稳定的模型观念，教与学的过程浮于表面；（3）脱离生活经验，忽视研究知识的路径与方法经验的积累，模型观念的培养缺乏清晰的落地举措和实施路径。本文正是基于《标准》，试图解决上述问题而进行的研究尝试。

一、理解数学，剖析实际问题是基础

初中阶段，模型观念所面对的实际问题可分为三类——现实原型、实际模型、数学形式。［4］真实的实际问题属于现实原型；将现实原型进行修改和简化，形成比较精确和简洁的表达，称为实际模型；将实际模型进一步简化、架设，用数学符号表达实际模型中的变量和关系，则形成数学形式。模型观念的培养应立足“四基”，指向学科核心素养。教师要在理解数学的基础上揭示教学内容的本质，挖掘其内在的数学思想方法，明确教学内容在整个单元及数学体系中所处的地位和作用，在培养模型观念的同时实现学科育人的目标。

1.教学内容与知识结构图

函数、方程和不等式是人们刻画现实世界的重要数学模型。通过函数视角再次审视一元一次方程、一元一次不等式，有利于学生形成三个“一次”的整体观念，加强关联知识间更深入的比较研究，加强对原有知识（一元一次方程、一元一次不等式）的理解，并且能从函数的角度将三者进行统一，将知识进行横向与纵向的有效贯通，建立循环关联。另外，从方程到不等式再到函数，经历了数学化的过程，这也是初中阶段形成和发展模型观念的有效路径。三个“一次”的探究对发展学生模型思想和数学建模能力具有重要的意义，也为后续高中阶段的二次函数、解一元二次不等式的学习做了铺垫和准备。一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的知识结构如图1所示。

2.教学流程解析

从代数的知识框架解析：从宏观视角看，是从生活原型抽象出实际模型的三种形式（函数模型、方程模型、不等式模型）；从中观视角看，学生已经学到一次函数的最后一节内容，了解一次函数的学习路径；微观角度则是研究一次函数、一元一次方程与一元一次不等式的关系，让学生对初中代数内容产生整体的认知［5］。情境引入则可从学生物理课所用的弹簧入手，分别构建函数模型、方程模型及不等式模型来解决问题，同时从数的角度初步感受一次函数转化为一元一次方程及一元一次不等式的条件。

根据以上思路展开问题设计，下文“教学过程”中问题1—3的设计是进一步让学生从数的角度体会当一个变量的取值确定时一次函数可以转化为一元一次方程，当一个变量的取值范围确定时，一次函数转化为一元一次不等式；问题4—6的设计则是让学生从形的角度利用一次函数图象去解决一元一次方程和一元一次不等式的问题，通过问题串的方式感悟数形结合的思想方法；例题与变式设计是为了让学生能利用本节课所学知识在给定的数学背景下提出问题并解决问题；归纳小结是让学生对本节课的数学思想方法有进一步理解，同时对所学知识进行发展性的思考；课后作业是让学生学会用数学的眼光观察生活，抓住模型研究的实质。

二、理解学生，建立认知基础是关键

模型观念的培养方式大致分为两类：一类是在教学中经历完整的数学建模过程，重点培养学生整体建模的能力，评价学生在全过程参与中的水平和等级，进行行为特征和水平等级的分类；另一类是根据学生的学情特点，设置片段式的教学任务，考查学生在各个环节中的表现。前者反映了数学建模的整体性，但操作难度较大；后者更适合日常的教学，教师可以根据学生的学情特点，制订行之有效的培养方案，以点带面地达到培养目标。

1.学情分析是模型观念培养的前提

（1）学生的认知基础

通过之前学习，学生从数的角度认识了一次函数和一元一次方程、一元一次不等式的关系，也从形的角度理解了一次函数和用数轴表示不等式解集的方法。本课将从形的角度再次引导学生体会一次函数图象和一元一次方程、一元一次不等式的关系，进而通过函数的观点来认识方程和不等式的内在关联，通过函数的对应关系来建立数学模型，并进行研究与应用。

（2）学生的认知特点

初二学生的思维特点已经开始从直观思维逐渐向抽象思维过渡，具备了一定的逻辑推理能力和概括归纳能力，在学习中更愿意尝试动手实验，产生了利用所学知识解决实际问题的意愿。因此，教师要在课堂中指导学生进行“动手做，动脑想，多合作，大胆猜，会验证”的合作探究，帮助学生掌握探究学习的方法。因此，本课从问题情境出发，通过问答和交流的形式引导学生探究发现一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的内在关联，从形的角度出发建立数学模型解决对应问题，培养学生的模型观念和创新意识［5］。

2.凝练教学过程是学生模型观念培养的关键

（1）以观察活动为抓手——让学生初步形成模型观念

通过观察弹簧的伸展变化来激发学生的想象力，实验操作挂重物的过程又加强了学生的感性认识，学生通过观察、想象、实验、计数、分析、作图、归纳等过程，建立一次函数的数学模型，通过合作探究将函数模型逐渐过渡到一元一次方程和一元一次不等式的模型上，初步形成了本课涉及的三种基本模型，也将新知识纳入已有的认知结构中。

（2）以思想方法为引领——让学生领悟建模的精髓

数形结合思想是本节课的重要思想方法，但如果仅仅停留在形的角度研究问题显然是不够的。可以尝试运用图像法解方程和不等式，更重要的一点是本节课应站在更高的视角下，用函数观点统领方程、不等式的研究过程，通过函数思想形成模型观念。在教学中，应当把侧重点放到模型观念的培养上，数与形的研究作为辅助，通过问题串的设计和数学活动的开展，让学生领悟数学建模的方法和精髓，提升数学核心素养。［3］

（3）以探索交流为形式——让学生主动参与建模过程

探索是无声的思维，交流是有声的思考。新课改倡导学生在思考中合作，在合作中交流，在交流中体验，在体验中感悟。良好的氛围可以促使学生积极参与课堂，只有主动参与其中，才能真正感受数学建模过程的真谛。数学建模活动可以将现实问题可视化，任务驱动具体化，探究活动有效化，归纳反思结构化，使学生不仅在大脑中体会数学建模的全过程，更能身临其境地完整经历数学建模的活动过程，从而有效提高学生的数学建模能力。

三、理解教学，课堂教学的有效實施是核心

1.课时教学目标

（1）通过探究弹簧秤称物过程中弹簧的变化，体会一次函数、一元一次方程与一元一次不等式的内在联系。

（2）了解一次函数、一元一次方程与一元一次不等式在解决问题过程中的作用和联系。

（3）经历实际问题的探究过程，初步形成模型观念，发展逻辑推理的数学核心素养。

2.教学的重点和难点

（1）教学重点：通过弹簧秤的实例，初步体会一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的内在联系。

（2）教学难点：了解一元一次不等式与一元一次方程、一次函数在解决问题过程中的作用和联系。

3.教学过程

（1）生活情境，激发兴趣

【导入】教师提出现代社会通常用电子秤来称量物体的质量，电子秤上的读数会随着物体质量的变化而变化，再往前有杆秤，一边是秤砣，另一边是盛物体的秤盘，利用的是杠杆原理，教师随后提问还有什么秤。学生提到弹簧秤，即弹簧的一端固定，另一端挂物体，物体的质量和弹簧伸长的长度是有关系的。于是，教师顺理成章地与学生共同研究弹簧秤的工作原理。

【实验操作】教师在弹簧秤上先挂50g的砝码，测量弹簧长度并记录（5cm），再依次增加砝码质量（每次增加50g的砝码）并记录弹簧的长度，得到相应的数据后，引导学生进行归纳，得出规律（胡克定律：在弹性限度内，物体的形变与引起形变的外力成正比）。

【设计意图】从日常生活中的弹簧秤出发，引导学生对生活中的实际问题保持数学观察与数学思考。

（2）知识整合，温故知新

教师引导学生用学过的数学知识描述上述变化过程：每挂50g的物体，弹簧伸长1cm，如果把物体的质量设为x g，把弹簧的长度设为y cm，则得到函数表达式y=1/50x+4。

教师引导学生作图，绘制表示弹簧长度和物体质量之间变化关系的图象：y随x的增大而增大，是一条经过（0，4）点的直线（如图2）。

从图2可以看出，随着物体质量的不断增大，弹簧的长度是不断增长的。弹簧秤其实不是直接测量物体的质量，而是测量弹簧的长度，这就是弹簧秤的原理。

提问：你能不能通过测量弹簧的长度来确定所挂物体的质量？

【设计意图】通过对弹簧秤原理的研究，引导学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，从现实问题中理解函数是描述变量关系的模型；通过“弹簧挂物”中测量弹簧长度求物体质量的过程，引导学生从实际操作中理解方程是描述相等关系的模型，以及一元一次方程和一次函数之间的区别和联系。

（3）学生活动，深入研究

学生活动：每人分别取未知质量的砝码装进小袋子，挂在弹簧秤上，请其他同学读出弹簧的长度后，求物体的质量（袋子质量可忽略不计）。（教师以问题串的形式展开活动）

问题1：弹簧长度是10cm时，物体质量是多少？

问题2：请观察，如何由一次函数得到一元一次方程？

问题3：在一次函数的图象上，你能求出当弹簧长度为12cm时，弹簧所挂物体的质量吗？在y=1/50x+4的函数图象中，如何找到一元一次方程1/50x+4=12的解？

问题4：你能利用一次函数的图象求出相应的一元一次方程的解吗？

问题5：弹簧的长度是有限的，弹簧秤必须在弹簧的弹性限度内才能有效使用。这根弹簧最多能伸长到16cm，请问它最多能挂多少克的物体？你能用什么方法来解决这个问题？

归纳小结：为了研究弹簧秤的原理，我们得到了一次函数、一元一次方程和一元一次不等式，这就是我们今天学习的内容——一次函数、一元一次方程、一元一次不等式。

问题6：同学们，今天一起来研究这三者之间有什么关系。先来回想下，我们是怎样得到这三个式子的？

学生通过小组研讨，经历数学活动后得到结论：从相等关系和不等关系中得出一元一次方程和一元一次不等式。当长度范围小于等于16时，y≤16，有1/50x+4≤16，即在变化过程中，确定了一次函数两个变量中某一个变量的范围时，就有了一元一次不等式，求解不等式，解集是另一个变量的范围。

问题7：x取何值时，函数y=2x+4的值是正数？

问题8：在一次函数的图象上，当x取何值时，1/50x+4≤16？哪些点的纵坐标小于等于16，你能把它们描出来吗？它们的横坐标取值是多少？不等式的解集是多少？当x取何值时，1/50x+4≤8？

归纳小结：由已知的变量取值范围，通过函数图象求出另一个变量的取值范围，即为不等式的解。从数的角度看，一次函数确定一个变量的范围，可以转化成不等式，进而求另一个变量的范围。从形的角度看，可以利用一次函数图象求得一元一次不等式的解。所以一次函数和一元一次不等式不仅有数的转换，也有形的联系。

【设计意图】通过对弹簧秤量程的研究，从实际问题中理解不等式是描述不等关系的模型，以及一元一次不等式和一次函数之间的区别和联系。教师引领学生亲身体验，充分活动，学以致用，感受三个“一次”在刻画不同现实模型时的区别和联系，引领学生从数和形两方面对三个“一次”之间的联系进行讨论、研究，使学生深入了解三个“一次”在解决问题中的作用和联系。

（4）应用练习，能力提升

例题：请你画出y=2x+4的图象，并根据图象求2x+4=0，2x+4＞0，2x+4＜6的解。

变式1：y=kx+b（k≠0）的图象如图3所示，经过（-2，0）和（0，3），请你解方程kx+b=0和不等式kx+b＞0。

变式2：图4是一次函数y₁=k₁x+b₁和y₂=k₂x+b₂的图象，其中y₁=k₁x+b₁过点（-2，0）和点（0，4），y₂=k₂x+b₂过点（3，0）和点（0，4），解不等式k₁x+b₁＞k₂x+b₂。

【设计意图】在例题与变式中，有用方程来解决函数问题的，也有利用函数图象来解决方程、不等式的问题，引导学生感受函数图象的直观形象，便于学生从形的特征解决方程、不等式的问题，帮助学生在形与数之间建立对应与联系。

（5）课后探索，学有所用

课后作业：请你利用弹簧自制一个弹簧秤，明确量程，在制作过程中，利用一次函数、一元一次方程、一元一次不等式解决问题。

【设计意图】课后的探索活动让学生把课堂所得的数学知识应用到现实生活中，经历“生活—数学建模—生活”的学习流程，培养学生的数学建模思想，提高学生的数学学习能力和应用能力，引导他们在具体问题中应用数学基础知识、基本方法和基本思想，积累基本活动经验。

（6）归纳总结，知识建构

反思提升：学完这节课，你能说出一次函数、一元一次方程与一元一次不等式之间的联系吗？今后的学习中，你还想研究什么？（如其他函数、方程、不等式以及它们之间的关系）

【设计意图】围绕主干一次函数来找到三个“一次”之间的关系，可以让学生进一步理解函数、方程、不等式之间的联系和区别，也为后面三个“二次”的学习提供经验和方法。

4.小結

本节课是苏科版数学八年级上册“一次函数”单元的最后一节课，学生学习了一次函数的概念、图象性质及其在实际生产生活中的应用，具备了研究一次函数在数学知识体系内部的关联的知识基础。对比同类单元（八年级下册“反比例函数”、九年级下册“二次函数”“锐角三角函数”组成了初中阶段的函数类单元）可以发现，这是同类单元的起始单元。教师在解读教材时，不仅要注重本课的知识要点，还要挖掘、研究这些知识要点所经历的研究过程和所采用的研究方法，为学生后续进行同类单元的研究、探索提供必要的数学活动经验。基于同质单元的维度分析，函数单元的教学设计路径与有关方程、不等式单元的设计一样：从生活实例得到方程、不等式、函数；研究等式、不等式、函数的性质；用函数、方程、不等式等模型解决问题，重点关注学生模型观念的培养。本节课与九年级下册“二次函数与一元二次方程”、高中的“二次函数与一元二次方程、不等式”同属重点关注学生的几何直观、模型观念等数学核心素养的课。通过对比和分析得到结论，本节课是“一次函数”单元的最后一节课，是同类单元（初中函数大单元）的起始单元课，是同质单元的中间链接课（前有一元一次方程、一元一次不等式，后有一元二次方程、二次函数）。这样特殊的地位，使其知识上和其他单元有关联，方法上能向其他单元迁移，素养上和其他单元相呼应。值得一提的是，本课对于模型观念培养的探索，整个过程可以看成是在教学过程中提供一种思维的突破方式，教师不仅需要引导学生积极敏锐地去发现问题条件与所求问题之间的关联，还要鼓励学生在已知的数学信息中找寻模型，并对不同解答进行探究、归纳、总结，最终形成对应的模型解题方法。由此可见，在平时的教学中，教师要有意识地给学生留足思考的时间与空间，促使学生积极思考。

在数学教学中，从具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立表示数学问题的模型和数量关系，再将现实问题简化、架设、概括后抽象出实际模型的过程，培养了学生将现实问题数学化的能力，最终让学生学会用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界［1］5-6。

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］鲍建生，章建跃.数学核心素养在初中阶段的主要表现之七：模型观念［J］.中国数学教育（初中版），2022（12）：3-8.

［3］朱宸材.点评：以核心素养为指向，充分发挥知识载体作用［J］.中学数学教学参考，2018（9）：18-20.

［4］孙凯.从问题类属谈初中生数学建模能力培养［J］.数学通报，2020（12）：30-33.

［5］孙凯.苏科版初中数学教材中的数学建模内容分析［J］.中小学课堂教学研究，2022（8）：21-23，44.

（责任编辑：潘安）