基于仿真实验的板式换热器动态特性模型

赵 晴, 王 威, 王 芃

(1.哈尔滨工业大学 建筑学院, 黑龙江 哈尔滨 150090; 2.寒地城乡人居环境科学与技术工业和信息化部重点实验室, 黑龙江 哈尔滨 150001)

1 概述

板式换热器数学模型的建模方法可分为理论建模、实验建模,两种建模方法可以互为补充[1]。理论建模方法是通过机理分析建立数学模型,首要条件是机理必须已经被人们充分掌握。王书中等人[2]、李珍[3]在考虑了流体沿流动方向的轴向扩散效应、相位滞后效应、流量非一致性的前提下建立了机理模型,利用数值模拟的方法得到了出水温度响应曲线,但局限于对响应曲线的分析,没有得到定量的结果。徐益峰等人[4]、Khan等人[5]从集总参数模型出发,对板式换热器的动态特性进行了理论和实验分析,提出了有纯滞后的传递函数模型,但模型未考虑流量的不均匀分布和物性参数的变化。

实验建模法中数学模型是利用测量数据构建的[6]。周宴平[7]、王美萍[8]采用时域实验建模的方法,从实验数据的分析和计算中得出换热器各环节的传递函数,但受实验条件所限,输入量计算不准确,输出量设为供回水平均温度,因此得到的结果误差比较大。Srihari等人[9-10]利用理论建模和实验建模方法,研究了流道间流动不均对板式换热器瞬态响应的影响。结果表明,在瞬态和稳态条件下瞬态特征,如初始延迟、时间常数、过渡过程时间严重依赖不均匀分布的程度。但出于简化求解的考虑,文献直接选择了带纯滞后的一阶系统传递函数,没有与二阶系统传递函数进行对比。

为准确获得板式换热器(简称换热器,板片材质为不锈钢)进水温度、质量流量阶跃变化对出水温度的影响,本文建立一阶系统、二阶系统传递函数模型。以分布参数模型仿真结果作为真值,分析一阶系统、二阶系统传递函数计算结果的相对误差,寻找具有较高计算准确性且建模、仿真效率更高的传递函数模型。

2 分布参数模型

分布参数模型依据控制容积法将换热器划分为多个微元,对每个微元建立控制方程。分布参数模型虽然建模过程复杂、计算量大,但具有较高精度。

2.1 设定条件

① 忽略换热器向环境散热,忽略流体与密封片、垫圈换热,考虑首端、尾端板片仅与相邻流道内流体换热。

② 忽略板片宽度方向的导热。与对流传热相比,沿板片长度方向导热的阶数要低得多[11],因此也忽略沿板片长度方向的导热。

③ 流体(水)的物性参数按可变参数[12]考虑,避免常物性参数带来的较大仿真误差[13]。

④ 忽略换热器内压降对传热的影响。

⑤ 在能量方程中引入导热扩散项来描述流道中流量的不均匀分布。

⑥ 相同时间、同一流道内各处流体流速、平均传热系数相等。

以单流程逆流换热器作为建模对象(见图1)。将板片、流道连续编号:板片编号为1,3,…,2N+1,流道编号为2,4,…,2N。以第1条流道的流体流动方向为x轴正方向,流道编号递增的方向为y轴正方向。在x轴正方向上,将流道内流体及板片均分成M段微元。对于上下贯穿各板片的冷热流体分配管、汇集管所在行分别记为j=0、j=M+1。N、M均为正整数。图中L为板片长度。

2.2 数学模型

① 数学模型

各流道内流体微元质量控制方程为:

式中ρ——流体密度,kg/m3

v——y轴方向流速,m/s

y——y轴坐标,m

各流道内流体微元能量控制方程为:

式中θ——流体温度,℃

t——时间,s

div——散度算子

u——x轴方向流速,m/s

λ——水的热导率,W/(m·K)

cp——水的比定压热容,J/(kg·K)

grad——梯度

S——流体黏性耗散项

板片微元能量控制方程为:

式中ρw——板片密度,kg/m3

θw——板片温度,℃

h——板片表面传热系数,W/(m2·K)

cw——板片比热容,J/(kg·K)

本文采用有限差分法求解上述微分方程组,将温度关于空间的一阶导数向后差分,二阶导数中心差分,温度关于时间的导数采用隐式差分格式的向后差分。隐式差分格式中截断误差为o(Δt),当时间步长Δt趋近0时,截断误差o(Δt)趋近0,隐式差分方程与微分方程相容[14]。隐式离散格式无条件稳定[15],而相容离散格式的稳定性与收敛性等价[16],因此本文中的隐式差分方程无条件收敛。将微分方程组转化为各迭代时间内的差分方程组,采用高斯-赛德尔方法求解[14]。利用MATLAB软件编程,实现数值模拟功能。

② 初始条件和边界条件

初始条件:各流道流体及板片温度均等于二级侧进水温度。

沿y轴方向,首端、尾端板片外表面为绝热边界条件。一级侧流体边界条件为:x=0处一级侧进水温度恒定,x=L处为绝热边界条件。二级侧流体边界条件:x=0处为绝热边界条件,x=L处二级侧进水温度恒定。

2.3 分布参数模型验证

采用文献[17]中的实验换热器作为模型验证的参照对象。初始时刻一、二级侧进水温度分别为10、9 ℃,质量流量分别为0.038、0.035 kg/s。当一级侧进水温度由10 ℃阶跃至56 ℃时,一二级侧出水温度分布参数模型仿真结果与实验结果随时间的变化见图2。与实验结果相比,一、二级侧出水温度分布参数模型仿真结果的平均相对误差分别为5.3%、4.1%。因此,可认为分布参数模型的仿真结果可信。

图2 一级侧进水温度由10 ℃阶跃至56 ℃时一二级侧出水温度分布参数模型仿真结果与实验结果随时间的变化

2.4 换热器结构参数与流体参数

换热器结构参数见表1。换热器一二级侧均为单流程,每个流程内的流道数均为16个。

表1 换热器结构参数

换热器准则关联式为:

Nu=0.101 4Re0.792 8Prβ

Eu1=1 398Re-0.212 7

Eu2=933Re-0.168 9

式中Nu——流体努塞尔数

Re——流体雷诺数

Pr——流体普朗特数

β——指数,计算一级侧流体时取0.3,计算二级侧流体时取0.4

Eu1、Eu2——一、二级侧流体欧拉数

2.5 微元数与时间步长

根据多组微元数M、时间步长Δt的仿真结果,当微元数M为30、时间步长Δt为0.1 s时的精度和计算时间均在可接受范围。因此,微元数M取30,时间步长Δt取0.1 s。

3 基于传递函数的动态系统实验法建模

3.1 换热器输入与输出关系

图2反映了换热器一级侧进水温度的阶跃变化对一、二级侧出水温度的影响,即以一级侧进水温度为输入量、一级侧出水温度为输出量,以及一级侧进水温度为输入量、二级侧出水温度为输出量的2个SISO系统(将关联了一二级侧多参数的换热器分解为多个单输入单输出的系统,称为SISO系统)。若分别以换热器一二级侧进水温度、质量流量为输入量,一二级侧出水温度为输出量,则可以排列组合出8个SISO系统,分别描述换热器两两物理量间的关系。

经典控制理论是以传递函数为数学模型,研究SISO系统动态特性的理论方法。本文采用传递函数模型来描述换热器的8个SISO系统。传递函数可以通过实验法建模求解,其中阶跃输入得到的响应曲线动态特征明显,是实验法建模的首选输入信号。由阶跃响应曲线(即阶跃输入得到的响应曲线)确定传递函数,先要根据曲线的形状,选定传递函数的基本形式。根据阶跃激励-响应实验结果,可选取一阶或二阶系统传递函数模型,并考虑将容量滞后按纯滞后处理[18]。

3.2 传递函数模型

一阶系统、二阶系统传递函数模型建立方法见文献[18]。

① 一阶系统传递函数模型

具有纯滞后的一阶系统传递函数可表示为[18]:

式中G(s)——传递函数

s——复变量

K——增益

tp——时间常数,s

td——滞后时间,s

② 二阶系统传递函数模型

具有纯滞后的二阶系统传递函数由两个惯性环节与纯滞后环节组成,表达式为[18]:

式中tp1、tp2——二阶系统的特征参数,也是组成二阶系统的各惯性环节的时间常数

当滞后时间为0时,一阶系统、二阶系统传递函数无纯滞后环节。

4 阶跃激励-响应仿真实验

利用换热器分布参数模型开展一二级侧进水温度、质量流量的阶跃激励-响应仿真实验,以获得一二级侧出水温度的阶跃响应曲线。

在输入条件下(一级侧进水温度为110 ℃,质量流量为7.78 kg/s;二级侧进水温度60 ℃,质量流量12.48 kg/s),利用分布参数模型模拟非稳定状态,当一、二级侧出水温度相邻时间的相对误差均小于10-6时,认为模型稳定。以分布参数模型非稳定状态结束时各节点的温度作为阶跃激励-响应实验的初始条件,输入量(一、二级侧进水温度、质量流量)阶跃变化率分别设为±10%、±15%。

可以定性地将响应曲线分为3个阶段:滞后段:输出量未发生明显变化,持续时间称为滞后时间。过渡段:输出量显著变化,达到稳定(响应曲线值与稳态输出值的相对误差绝对值为5%)前的阶段,持续时间称为过渡时间。稳定段:响应曲线值与稳态输出值的相对误差绝对值小于5%。

一级侧进水温度、质量流量阶跃变化率分别为±10%、±15%时,一、二级侧出水温度的阶跃响应曲线分别见图3、4。由于各响应曲线3个阶段的分界点存在微小差异,因此图中两阶段的分界点为各阶跃响应曲线分界点变化范围的中间值,以下相同。

图3 一级侧进水温度阶跃变化率分别为±10%、±15%时一、二级侧出水温度的阶跃响应曲线

由图3可知,在一级侧进水温度的阶跃激励下,二级侧出水温度响应无明显滞后,而一级侧出水温度响应滞后时间约4.06 s。这说明换热器的热惰性主要体现在一级侧出水温度响应的滞后。一级侧出水温度的变化幅度明显小于二级侧出水温度,达到稳定所需时间(滞后时间与过渡时间的和)也更长。对于二级侧进水温度的阶跃激励-响应仿真实验,结论为:二级侧出水温度响应有明显滞后,温度变化幅度更小,达到稳定所需时间更长。

由图4可知,在一级侧质量流量的阶跃激励下,一级侧出水温度响应滞后时间约1.02 s,二级侧出水温度响应滞后时间约0.33 s。一二级侧出水温度响应滞后时间均比较短。二级侧出水温度的响应比一级侧出水温度快,说明二级侧的出水温度对质量流量的变化更敏感。一级侧出水温度的变化幅度小于二级侧出水温度,达到稳定所需时间也更长。对于二级侧质量流量的阶跃激励-响应仿真实验,结论为:二级侧出水温度的响应比一级侧出水温度快,一级侧出水温度的变化幅度小于二级侧出水温度,达到稳定所需的时间更长。

图4 一级侧质量流量阶跃变化率分别为±10%、±15%时一、二级侧出水温度的阶跃响应曲线

5 传递函数模型对比

在基于换热器分布参数模型的仿真实验中,针对每一对输入量和输出量构成的SISO系统,设计4个阶跃激励-响应仿真实验,输入量的阶跃变化率分别为±10%、±15%,记录各次仿真实验结果。根据传递函数模型建立方法,求解各SISO系统传递函数。其中,时间常数、滞后时间、增益取4个仿真实验结果的平均值。

5.1 SISO系统传递函数

① 以进水温度为输入量

以进水温度为输入量的SISO系统传递函数见表2。其中一级侧进水温度-二级侧出水温度、二级侧进水温度-一级侧出水温度在二阶系统建模时,退化为一阶系统。

表2 以进水温度为输入量的SISO系统传递函数

② 以质量流量为输入量

以质量流量为输入量的SISO系统传递函数见表3。其中一级侧质量流量-二级侧出水温度、二级侧质量流量-二级侧出水温度在二阶系统建模时,退化为一阶系统。

表3 以质量流量为输入量的SISO系统传递函数

5.2 传递函数的验证

以一级侧质量流量-一级侧出水温度SISO系统为例,根据表3一阶系统、二阶系统传递函数分别计算一级侧质量流量阶跃变化率为±10%、±15%时一级侧出水温度的响应。以换热器分布参数模型得到的仿真结果为真值,各时刻传递函数计算结果的相对误差曲线见图5、6。

图5 一级侧质量流量-一级侧出水温度SISO系统一阶系统传递函数计算结果的相对误差

图6 一级侧质量流量-一级侧出水温度SISO系统二阶系统传递函数计算结果的相对误差

由图5、6可知,与分布参数模型仿真结果相比,一阶系统、二阶系统传递函数计算结果的相对误差均在±0.3%范围内,且结构简单的一阶系统传递函数计算结果的相对误差与二阶系统传递函数相当。

将既得一阶系统、二阶系统传递函数模型应用于输入量阶跃变化率为-25%的激励-响应实验,以分布参数模型仿真结果为真值,对比传递函数计算结果与分布参数模型仿真结果。输入量阶跃变化率为-25%时,一阶系统、二阶系统传递函数计算结果的最大、平均相对误差绝对值分别见表4、5。

表4 输入量阶跃变化率为-25%时一阶传递函数计算结果的最大、平均相对误差绝对值

表5 输入量阶跃变化率为-25%时二阶传递函数计算结果的最大、平均相对误差绝对值

由表4、5可知,与分布参数模型仿真结果相比,在响应过程的过渡段和稳定段,一阶系统、二阶系统传递函数的计算结果平均相对误差绝对值均小于3%。输入量、输出量相同条件下,一阶系统传递函数计算结果的最大误差绝对值小于等于二阶系统传递函数。因此,在换热器动态特性建模中,宜选择建模、仿真效率更高的一阶系统传递函数。

6 结论

① 与分布参数模型仿真结果相比,一阶系统、二阶系统传递函数计算结果的相对误差均在±0.3%范围内,两种传递函数计算结果的相对误差相当。

② 在换热器动态特性研究中,宜选择一阶系统传递函数。