灰色-马尔科夫改进的土地利用变化模型研究

吕利娜 王璐瑶 崔慧珍 李方舟 叶欣

摘要 土地利用演變具有复杂性、非线性特征，其模拟预测的精度受到空间转换规则及数量预测约束的影响。针对经典数量预测马尔科夫模型存在忽视社会发展阶段性速率不同及灰色模型对随机波动性大的数据拟合效果较弱等不足，构建了基于灰色-马尔科夫改进的土地利用变化预测模型，以双鸭山市为案例区进行实例验证，结果显示，考虑社会因素影响的灰色-马尔科夫改进模型，能够反映社会发展等因素对土地变化的综合作用，预测趋势更加符合不同发展阶段用地规律，同时解决了社会经济类指标在土地利用变化模拟中难以空间化表达的问题；改进的灰色-马尔科夫模型能够发挥马尔科夫链处理数据波动的优点，降低传统灰色模型将土地随机变动数据视为干扰数据剔除进而产生的误差，有效提高数量预测模型的精度。进一步通过模拟验证表明，相比于传统马尔科夫模型，灰色-马尔科夫改进模型2020年模拟结果FoM精度提高了20.07%，证实通过数量预测方面的改进对于提升模拟精度有较为明显的正向推动。

关键词 灰色预测模型；马尔科夫模型；土地利用变化；模型改进

中图分类号 P208  文献标识码 A  文章编号 0517-6611（2023）12-0001-08

doi：10.3969/j.issn.0517-6611.2023.12.001

Study of an Improved Land Use Change Model Based on Grey-Markov

Lü Li-na1， WANG Lu-yao1， CUI Hui-zhen2 et al

（1.School of Mining Engineering， Heilongjiang University of Science and Technology， Harbin，Heilongjiang 150022;2.School of Geoscience and Surveying Engineering， China University of Mining and Technology（Beijing）， Beijing 100083）

Abstract The evolution of land use has complex and nonlinear characteristics， and the accuracy of its simulation and prediction is influenced by spatial transformation rules and quantitative prediction constraints.In response to the shortcomings of the classical quantity prediction Markov model， such as neglecting the different stages of social development and the weak fitting effect of the grey model on data with high random volatility， a land use change prediction model based on the improved grey-Markov model was constructed. Taking Shuangyashan City as a case study area for example verification， the results showed that the improved grey-Markov model considering social factors could reflect the comprehensive effect of social development and other factors on land change， and the predicted trend was more in line with the land use laws of different development stages. At the same time， it solved the problem of difficult spatial expression of social and economic indicators in land use change simulation.The improved grey-Markov model could leverage the advantages of Markov chain in handling data fluctuations， reduced the errors caused by traditional grey models treating land random change data as interference data， and effectively improved the accuracy of quantity prediction models.Further simulation verification showed that compared to traditional Markov models， the improved grey-Markov model improved the FoM accuracy of the simulation results by 20.07% in 2020， confirming that improvements in quantity prediction had a significant positive impact on improving simulation accuracy.

Key words Grey forecasting model;Markov model;Land use change;Model refinement

基金项目 黑龙江省哲学社会科学研究规划项目（19JYC126）。

作者简介 吕利娜（1985—），女，河南洛阳人，讲师，博士，从事地理信息系统应用与土地信息技术研究。*通信作者，讲师，博士，从事地理信息系统应用研究。

收稿日期 2023-01-28

人类在利用土地资源发展经济社会的同时，也改变了土地利用的格局，在一定程度上对生态环境产生了影响，全球生态环境、资源短缺等问题层出不穷［1］。通过构建模型来分析土地利用变化及其影响因素，对城市发展现状综合评价并进行未来变化趋势预测，可合理优化和利用有限的土地资源，保障良好的生态环境，促进社会的可持续发展［2］。

计算机技术及地理信息技术的成熟发展，为土地利用/土地覆盖变化（LUCC）研究提供了更多的资料和技术支持。土地利用/土地覆盖模拟作为LUCC研究的主要方向之一，得到了极大的关注。随着研究的深入，涌现出了众多优秀的模拟模型，如元胞自动机（cellular automata，CA）模型、系统动力学（system dynamics，SD）模型、多智能体（multi-Agent system，MAS）模型、小尺度土地利用变化及其空间效应（conversion of land use and its effects at small region extent，CLUE-S）模型［3-7］。这些模型在引入社会、自然等因素的基础上，预测土地利用/土地覆盖变化未来空间分布［8-10］。然而，因土地影响因素的复杂性及模型的局限性，现有模型大多数在空间和数量层面上都是独立的模拟预测，空间转换规则及数量约束对模型的整体精度均有直接影响。目前的研究多关注于空间数据表达、空间转换模型挖掘和规则设定、驱动因素的筛选等，对数量约束的研究相对较少，其中Markov数量预测模型备受众多学者青睐。但是，Markov模型理想化认为社会是阶段性匀速发展的，即过去的土地利用变化模式、概率与未来趋势大体一致，而土地作为人类进行自然生产和社会经济再生产的载体，必然会受到城市发展过程中人类生产、生活及经济发展状态的影响及自然生态系统结构的约束，故直接采用Markov模型作为土地利用变化模型中的数量预测模型，一定程度上忽略了科技、信息化发展等因素对社会发展速度的影响。综上所述，为使土地利用变化模拟预测结果贴近社会发展趋势，该研究构建了灰色-马尔科夫改进预测模型。该模型在考虑社会经济对土地利用影响的基础上，综合灰色模型处理不确定性系统数据及马尔可夫链处理数据波动的优势，获取能够反映整体变动趋势和随机变动的预测序列，以期提高土地利用变化数量模拟预测精度；最后，该研究以黑龙江省双鸭山市为例，结合城市特色，选取自然、社会、经济、交通、矿点分布等因素对其进行案例精度验证。

1 资料与方法

1.1 研究区概况

双鸭山市位于黑龙江省东北部，与俄罗斯乌苏里江隔江相望，毗邻佳木斯、七台河等城市。双鸭山地势呈现为由完达山山脉向东北逐渐降低；市域土地中以山地和平原为主。作为黑龙江省重要的煤炭资源型城市，双鸭山市含有集贤煤田、双鸭山煤田、宝密煤田、挠力河煤田、宝清煤田，五大煤田首尾相接，煤炭储量丰富。2013年，双鸭山市被列为第3批资源枯竭型城市，并响应国家政策，积极进行资源型城市转型。全市共辖4区4县，其中4区分别是宝山、岭东、尖山和四方台，4县分别是饶河、宝清、集贤和友谊县。该研究所涉及的研究区域为双鸭山市4辖区，如图1所示。

1.2 数据来源

1.2.1 土地利用数据。

该研究采用的土地利用数据为欧空局气候变化启动计划（climate change initiative，CCI）发布最新的土地覆盖分类（ESA-land cover classification system，ESA-LCCS）数据集，涵盖2000—2020年，ESA-LCCS包括22种主要的土地覆盖类型，其空间分辨率为300  m［11］。该研究结合研究区实际情况，利用ArcGIS 10.6将其进行裁剪、坐标系转换等预处理，并重分类为耕地、林地、草地、水域、建设用地、未利用地6类。双鸭山市行政界线来源于国家基础地理信息中心。

1.2.2 社会经济数据。

依据数据代表性与可得性原则，选取双鸭山市2000—2020年总人口数据、农业人口、非农业人口、人口自然增长率、经济密度等数据作为社会影响因素数据（表1），来源为2001—2021年双鸭山市社会经济统计年鉴及黑龙江省统计年鉴，部分缺失数据通过其他年份数据插值获得。

1.2.3 空间驱动因子数据。

通过参考相关文献［12-13］，结合研究区的实际情况，以及数据的可得性、一致性与空间差异性、显著相关性等原则，选取自然、区位2个方面的空间影响因素，共6个驱动因子（表2、图2）。

地形地貌对土地利用的分布有决定性的作用，将高程、坡度作为驱动因子；高程数据来源于地理空间数据云（http：//www.gscloud.cn/），空間分辨率为30 m；坡度因子根据高程数据处理得到。土地利用分布与其周围的城市环境密切相关，因此选择距道路距离、距河流距离、距矿点距离、距城镇距离作为距离驱动因子；相关矢量数据是通过影像目视解译获得，借助ArcMap 10.6中欧氏距离工具对各个驱动因子的矢量数据进行处理，生成栅格数据。

1.3 灰色-马尔科夫改进模型

1.3.1 多因素灰色模型。

灰色系统介于白色和黑色之间，即系统内部分信息已知，部分信息未知，各因素间的关系不确定［14］。影响土地利用变化的既包含人为可控因素，也有大量不可忽视的未知因素，数据特征符合灰色预测模型。因此，可以利用灰色预测鉴别土地系统因素之间发展趋势的相异程度，寻找系统变动的规律，建立相应的微分方程模型，生成有较强规律性的数据序列，从而预测土地的未来发展趋势。具体模型如下［15］：

设原始数列为X（0）=［x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（M）］，式中，X（0）表示基期年某一類型土地利用数量，M表示预测年份。

（1）对X（0）进行一次累加得到数据序列X（1），即：

X（1）=［x（1）（1），x（1）（2），…，x（1）（M）］

其中，x（1）（k）=km=1x（0）（m），k=1，2，…，M。

（2）GM（1，1）的微分方程为：

dX（1）dt+aX（1）=u

式中，a与u为灰参数。

（3）求解灰参数：

Y=［x（0）（2），x（0）（3），…，x（0）（M）］T

X=

-12［x（1）（1）+x（1）（2）］1

-12［x（1）（2）+x（1）（3）］1

-12［x（1）（M-1）+x（1）（M）］1

运用最小二乘法求解，有

=（XTX）-1XTY

（4）求解时间函数：

（1）（k+1）=x（0）（1）-uae-ak+ua （k=1，2，…，M）

（5）原始数据序列x（0）的还原值（0）为：

（0）k+1=（1）k+1-（1）k

（6）求残差e（0）和相对误差q：

e（0）（k）=x（0）（k）-（0）（k）

q（k）=e（0）（k）x（0）（k）×100%

模型预测精度等级［16］参照表3。

为了能够将影响土地利用变化的众多因素综合融入预测中，同时在不使模型复杂的前提下，研究在将所选取的社会经济因素进行主成分分析后，提取前k个成分与灰色预测模型所获取的时间序列进行多元线性回归，形成多因素灰色预测模型。该多因素灰色预测模型具体数学形式如下：

y=β0+β1x1+…+βkxk+δ

式中，y为多因素灰色预测值；xi为影响因素主成分；βi为回归系数；

δ为随机误差项。利用最小二乘法求得回归系数的估计值。

1.3.2 灰色-马尔科夫预测模型。

马尔科夫模型是1960年由俄国马尔科夫提出实现的。该模型认为一个n阶马尔科夫链由n个状态的集合和一组转移概率所确定。若随机过程满足马尔科夫性，则称为马尔科夫过程［17］；在该过程中，任意时刻数据都只能处于一个状态，如果在t时刻过程处于Et状态，则在t+1时刻，它将以Pij的概率处于状态Et+1，与t时刻之前所处的状态无关。近年来，随着研究的深入，该模型常应用于土地利用模拟预测过程。

运用马尔科夫预测的关键在于确定系统状态之间相互转化的转移概率，其表达式如下：

P11…P1n

Pn1…Pnn

式中，Pij表示某一时段内系统状态的转换概率，且满足0≤Pij≤1，ni=1Pij=1（i，j=1，2，…，n），n代表状态数。转换概率Pij反映了各类因素对其的影响程度，因而马尔科夫适用于随机波动性较大的数据预测。利用此概率建立模型，获取t+1时刻的状态为：

Et+1=Pij×Et

式中，Et+1、Et为系统在t+1时刻、t时刻的状态，Pij为转换概率。

灰色预测模型主要反映预测数据的整体趋势，忽略了数据的随机波动性，马尔科夫性质恰好弥补了该模型的不足，二者组合能够降低预测误差，提高模型精度。马尔科夫修正是指运用马尔科夫链相关理论，获取转移矩阵与转换概率，预测误差数据所处状态，从而修正灰色预测模型得出预测结果［18］。修正过程如下：

（1）马尔科夫状态划分。

将多因素灰色预测模型得到的预测值与实际数据之间的误差浮动率作为修正模型的样本数据，并将其划分为不同状态。该研究选用K均值聚类法对数据进行状态划分，该方法将样本数据按照自身数据特征进行自动划分，在基于初始聚类中心的基础上，依据距离规则反复迭代最终确定分组，该方法简单易行，且相比人为主观分类更具说服力，分类结果科学准确［19］。

误差浮动率公式如下：

γ（k）=x（0）（k）-（0）（k）（0）（k）（k=1，2，…，n）

式中，γ（k）为误差浮动率，x（0）（k）为原始数据，（0）（k）为预测数据。

分类好的状态表示为Ei：

Ei=［ai，bi］（i=1，2，…，r）

式中，ai、bi为状态区间端点值。

（2）初始概率计算。

在预测过程中，将n个观测值的误差浮动率γ（k）作为一个序列，每个误差浮动率γ（k）都有其对应的状态值Ei，该状态出现Mi次的概率计算公式如下：

fi=Min

式中，令pi=fi作为Ei出现的概率，即该状态在系统中的初始概率。

（3）状态转换概率矩阵计算。

将序列中的所有观测值状态进行转移分析，即Mi个观测值从状态Ei转为状态Ej的过程记为pij，计算公式如下：

pij=fij=MijMi

从而确定转换概率矩阵。

（4）预测状态转换矩阵建立。

根据前述状态转换概率矩阵进一步得到r步预测状态转换概率矩阵p（r），记为：

p（r）=prij=p11…p1n

pn1…pnnr

其中i=1，2，…，n;j=1，2，…，n。结合公式Et+1=Pij×Et获得系统在t+1时刻的状态概率分布，取矩阵最大值，代表预测数据的状态转移最大概率，即可能性最高。

（5）马尔科夫修正。

对状态区间的修正公式如下：

E1→i=xi-xi×|ai|+|bi|2

E2→i=xi+xi×|ai|+|bi|2

E3→i=xi

其中，xi为多因素灰色预测值；ai、bi为状态区间端点值；E1、E2、E3分别为负向修正、正向修正和无需修正状态。将马尔科夫链修正之后的灰色预测数据记为（k）。

2 土地利用数量模拟分析

2.1 多因素灰色预测模型数量预测

该研究参照表1所选取的社会影响因素，利用主成分分析法对影响因子进行降维处理，再与灰色预测所得各土地利用类型数据进行多元线性回归，得到回归后的综合预测数据。因水域2000—2020年变化趋势极其微小，且在整个市区占比较小，故不进行预测与修正。

首先，在对2000—2014年社会影响因素数据进行标准化的基础上，确定主成分个数（表4）及各土地利用类型的回归模型（表5）。

根据各地类回归模型结果可以看出2个主成分因子与各地类之间均在0.01水平显著相关，回归模型拟合度达到精度要求。进一步将2015年灰色预测所得土地利用数量及社会影响因素数据相结合，依据表5中的回归模型系数进行多元线性回归，得到2015年考虑社会经济因素的灰色预测序列，所得结果的相对误差见表6。

从表6可以看出，单一灰色预测模型对于耕地和林地的模拟精度较高，但是建设用地、草地、未利用地的模拟精度较低，其原因主要是因为这3类用地的像元数相对较少，同时自2008年后草地和未利用数量骤减且持续保持低数量规模的状态，其变化趋势出现断崖式的改变，而建设用地的增长速度非匀速快速增长，因此相对误差较大。通过社会经济因素等的融合，多因素灰色模型对于各地类的预测精度有了明显的提升，相较于单一灰色模型，多因素灰色模型对于土地利用数量模拟具有更好的适宜性，模拟精度较为理想，其中耕地、林地达到了优秀的水平。

2.2 马尔科夫修正

根据多因素灰色预测结果精度评定（表6），耕地与林地的精度高达99%以上，因此不进行二次修正，草地、建设用地与未利用地修正过程如下：

（1）状态划分。

以2000—2014年各地类原始面积数据与多因素灰色预测数据的误差浮动率为样本序列（表7），该研究采用K均值聚类法对该序列进行排序并划分状态区间为Ei=（E1，E2，E3），各地类状态区域分界具体划分如下：

草地，E1=［-13.57，-9.09］，E2=［5.26，11.94］，E3=［-5.03，2.09］。

建设用地，E1=［-16.10，-7.82］，E2=［8.30，10.09］，E3=［-6.01，3.71］。

未利用地，E1=［-10.77，-3.61］，E2=［9.81，15.31］，E3=［2.64，7.59］。

其中，E1表示预测数据偏高，需要负向修正；E2表示预测数据偏低，需要正向修正；E3表示误差允许范围，无需修正。依据前述草地、建设用地、未利用地的区间，划定2000—2015年各地类多因素灰色模型预测值所处的状态，如表7所示。

（2）序列修正。为验证马尔科夫预测的可行性，以2014年为初始模拟年份，设其状态为R0，模拟2015年状态。根据转换概率矩阵公式结合表7可知，2015年各地类的状态转换概率分别为草地［0.67，0，0.33］、建设用地［1，0，0］、未利用地［0.88，0，0.12］，3个地类的状态均为E1的概率最高，与表7中的实际情况相符，说明马尔科夫能够实现灰色模型误差浮动状态预测。进一步根据2015年预测状态对各类用地进行修正，具体修正结果见表8。草地、建设用地、未利用地3类用地的平均相对误差分别提高74.26%、68.74%、85.33%。由此可見，采用马尔科夫模型能够有效地对多因素灰色模型数据误差浮动率进行预测，且通过修正能显著提升精度。

3 土地利用空间模拟预测

对于土地利用变化时空模拟而言，其模型精度不仅受到空间转换规则的制约，同时也受到预测数量规模的影响。为了进一步验证该研究所构建数量预测模型的精度及有效性，利用未来土地利用变化情景模拟模型（GeoSOS-FLUS）对研究区土地利用变化进行时空模拟，采用Kappa系数、混淆矩阵（OA）和品质因数（FoM）作为土地利用模拟精度评价指标，反映数量预测准确性对于土地利用变化模拟整体精度的影响。

GeoSOS-FLUS模型是在传统元胞自动机（CA）的基础改进而来的，广泛应用于模拟土地利用格局研究。该模型采用神经网络算法（ANN）基于初期土地利用数据以及各种驱动因素获取各种用地类型的适宜性概率［20］，同时结合表示扩张能力强弱的邻域密度、惯性公式、转换成本矩阵以及土地之间竞争的影响，最终确定土地利用类型转换的总概率［21］。因其采用采样方式抽取土地利用样本数据，可以很好地避免误差传递；基于轮盘赌的自适应惯性竞争机制能够处理自然与人类活动影响下的各地类相互转换过程中存在的不确定性和复杂性的问题，进而获得较高的精度［22］。

该研究以2015年土地利用数据及对应的驱动因子（表2、图2）为基础，模拟2020年的土地利用分布格局。模拟过程中的参数设置如下：

（1）适宜性概率图集制作。

将表2驱动因素进行标准化处理，设置神经网络的采样比例70%用于训练，神经网络的隐藏层数设置为12，生成2015年土地利用适宜性图集（图3），其中均方根误差（RMSE）为0.000 4，说明数据训练结果可信。

（2）约束用地规则确定。

约束规则表示是否允许地类间进行转换，当一种土地类型可以向另一种类型转化时，将相应的矩阵值设为1；不允许转化时，设为0。根据研究区概况，转换规则设置如表9所示。

（3）邻域因子权重设置。

借鉴相关研究［23］，结合转移矩阵以及研究区的实际情况，对邻域因子的权重设置不断调试，比较不同权重设置下的模拟精度，得到精度较高的因子参数表，参数范围为0～1，表示土地的扩张能力强弱。参数具体设置如下：耕地0.4、林地0.6、草地0.5、水域0.2、建设用地1.0、未利用地0.1。

（4）时空模拟结果。

在完成适宜性概率图集制作及转换规则设定的基础上，分别利用传统Markov和该研究改进的数量预测模型获取的2020年数量预测结果，并采用控制变量法对空间模拟部分设置相同的空间约束参数，完成研究区2020年的土地利用分布格局的模拟，模拟结果及精度如图4和表10所示。

经过与实际数据进行对比，模拟结果在10%随机采样时，研究所设计的改进灰色-马尔科夫修正模型的Kappa系数、总体精度（OA）均较单一利用Markov模型进行数量预测的精度有所提高。但是，在土地利用变化模拟中，未发生变化的区域在整个研究区中的占比往往较高，尤其是双鸭山市区多以农、林地为主，发生转变数量比例较小。而混淆矩阵OA和Kappa系数在计算时并没有剔除未发生变化的部分，且部分采样参与计算，导致计算值存在偏差［24］。为了有效避免这种情况，进一步确定发生变化处的模拟精度，该研究同时采用品质因数（FoM）进行精度评定。从表10可以看出，数量预测的精度对于发生变化区域的时空模拟结果影响更为明显，对于提升模拟精度有较为明显的正向推动。

4 结语

土地利用变化受城市发展的多方面影响，各土地利用类型在时间序列上呈无规律、无序变化。该研究利用构建的灰色-马尔科夫改进模型对土地利用数量进行预测，克服了Markov模型存在忽视社会发展的随机性及灰色模型对于随机波动性较大的数据拟合效果较差的问题，各展所长，实现了土地利用数量长时间序列预测。研究结果证实改进的灰色-马尔科夫模型对于土地利用数量模拟具有更好的适宜性，能够显著提高土地利用数量预测精度和提升土地利用时空模拟的精度；另一方面，该研究将社会发展进程中的多种影响因素融入土地利用变化时空模拟中，使得科技、信息化发展等因素对社会发展速度的影响在数量模拟中得到体现，在一定程度上解决社会经济类时间序列数据在土地利用变化模型中难以作为空间化约束指标的问题，对土地利用的模拟及预测具有很强的实用性，能科学地为城市未来发展提供更为符合社会发展趋势的数据支持。

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