2023年新高考全国Ⅱ卷21题的解法与溯源

重庆市綦江中学 (401420) 晏炳刚 刘 燕

2023年新高考全国Ⅱ卷21题是一道定点定直线的问题,涉及非对称韦达定理的处理,也关联极点极线背景问题.本文就该题解法进行分析,先给出多种非对称韦达定理处理思路,再对双曲线背景题目进行溯源,得到更一般性的结论,最后把结论推广到椭圆中.

1.题目呈现

⑴求曲线C的方程;

⑵记C的左右顶点为A1,A2,过T(-4,0)的直线l与C 交于M,N两点,点M在第二象限,记MA1,NA2的交点为P,证明:点P在定直线上.

2.解法探究

⑶是非对称形式的韦达定理,下面是处理方法.

思路1 部分韦达定理+消元化简

思路2 构造韦达定理消元化简

思路3 韦达定理积化和

思路4 韦达定理和化积

思路5 代入曲线构造韦达定理

思路6 方程组法

y2x1+y1x2=k(x2+4)x1+k(x1+4)x2

点评：此解法是消去y,留下x的解法.核心思路是求交点P的轨迹方程,联立直线方程求交点坐标是基本思路,进而得到

以上6个处理方法,思路1和2,计算量适中.方法3和4,计算量小.方法5构造对称式意义较大,方法6思路巧妙.

3. 题目溯源

(1)求E方程;(2)证明:直线CD过定点.