泉州湾高铁斜拉桥桥塔截面均匀温度分量极值研究

戴公连，张昂，王芬，杨爽，张强强，饶惠明

(1.中南大学 土木工程学院，湖南 长沙，410075；2.东南沿海铁路福建有限公司，福建 福州，350013)

我国高速铁路建设迅速发展，对大跨度高速铁路桥梁的需求日益增加，其中，斜拉桥因具有良好的受力特性和独特的结构形式而成为最佳选择之一[1]。在太阳辐射和大气温度的影响下，斜拉桥各构件会持续受到温度的影响。随着桥梁跨度的增大，各构件温度对斜拉桥变形的影响更加显著，从而影响高速铁路的平顺性。作为斜拉桥的重要承重构件，桥塔通过缆索连接主梁，在温度作用下会产生伸缩和弯曲变形，影响斜拉桥的整体受力状态及变形，造成高速铁路不平顺，因此，桥塔的温度及温度极值是重要参数之一。国内外学者对梁的温度特征研究较多，且主要集中在公路桥梁领域，而对桥塔尤其是高速铁路斜拉桥桥塔的温度分布及变化规律研究较少[2-4]。塔柱与梁相比，其受太阳辐射以及构件形状尺寸的影响较大，桥塔的温度模式及温度极值选取有待进一步研究。规范BS EN 1991-1-5—2003[5]规定，混凝土(或钢、钢混结构)的最大(或最小)均匀温度应通过大气遮荫温度确定，并给出了混凝土结构、钢结构、钢混组合结构最大(或最小)均匀温度与大气遮荫温度的关系。规范JTG D60—2015[6]通过建立大气温度与结构之间的关系给出了不同气温区域的结构有效温度标准值计算方法。任翔[7]依托某悬索桥的H 型空心矩形箱结构桥塔，布置温度测试断面，观测混凝土桥塔在冬季、春季、夏季日照作用下温度场随时间的变化规律。YANG等[8]基于对安庆长江大桥的结构温度和桥塔、主梁变形监测，研究了结构温度场的分布与桥塔位移的时变规律，对结构温度与桥塔位移之间的相关性进行了研究。顾斌等[9]以位于长江下游的某大跨度斜拉桥倒Y形混凝土桥塔为例，基于1年多实测结构温度和大气温度，采用极值理论对桥塔均匀温度的变化规律、预测方法和极值进行了研究。根据国内外已有研究成果，采用极值模型对桥塔结构长期温度实测值拟合可建立桥塔温度极值概率模型，并可对极值温度进行预测[10]。然而，目前对桥塔温度场进行长期监测的研究较少。本文根据泉州湾高铁斜拉桥桥塔温度测点1年实测值，结合附近气象站测得67 年大气温度，采用Bootstrap 方法对短期实测温度进行随机抽样，建立最大熵极值模型，计算得到桥塔截面均匀温度分量的周期性变化特征和一定重现期的桥塔温度代表值。与常规方法相比，该方法可以克服样本数量不足的缺陷，可为桥塔等桥梁结构极值取值及安全可靠度分析提供参考。

1 试验数据采集

1.1 工程背景

本文研究对象为福厦高铁泉州湾特大桥，位于福建省泉州市泉州湾。泉州湾特大桥主桥采用跨度为(70+130+400+130+70) m 的双塔双索面叠合梁斜拉桥方案，桥梁全长为800 m，索塔采用H形桥塔，塔底以上索塔全高为160.254 m，梁顶以上塔高为109.626 m，索塔纵向宽度由塔顶7 m 加宽至塔底12 m，桥向宽度为4.5 m。泉州湾特大桥全桥布置见图1。

图1 泉州湾高铁斜拉桥全桥布置示意图Fig.1 Schematic diagram of Quanzhou Bay high-speed railway cable-stayed bridge

为研究泉州湾特大桥桥塔结构的温度分布规律，依托福厦高铁泉州湾特大桥的建设对温度开展长期现场监测。根据施工进度，先期建设了桥塔结构温度监测系统，同时还布设了主梁和拉索的温度监测系统。

1.2 桥塔温度测量

泉州湾特大桥桥塔测试截面位于桥塔下横梁顶面约9 m 处。在下游塔柱A-A截面内设有20 个温度测点，对应布置20 个温度传感器，后期可以正常工作的传感器有18 个。将温度测点编号，自外表面至内表面依次为西南面测点1～7、西北面测点8～12、东北面测点13～16、东南面测点17～20。在这4 个方向最外侧，1 号传感器距外表面距离均为5 cm，截面测点布置方案见图2。

图2 结构温度测点布置方案Fig.2 Distribution scheme of temperature monitoring point of structure

温度传感器选用基康BGK-3700型半导体热敏电阻温度传感器，测量精度为0.1 ℃，预埋在混凝土内用于测量桥塔混凝土内部温度。采用基康BGK-Micro 分布式网络测量系统，每30 min 采集1次温度。

2 基于Bootstrap 法最大熵极值分析

2.1 最大熵概率密度函数

在信息论中，熵是概率不确定的度量，若随机概率分布的不确定性越高，则熵越大。最大熵原理的核心思想是充分考虑有限的已知信息，不进行任何假设，对未知信息进行无偏推断[11]。信息增加会导致熵减少，从这个意义上来说，在包含已知信息的前提下，熵最大的概率分布包含未知信息最少的分布，从而实现无偏估计。因此，在给定的约束条件下，熵最大的概率分布即为最符合实际的分布估计[12]。

根据最大熵原理[13]，利用已知样本确定约束条件，求熵最大的概率分布函数为

式中：H(x)为熵；f(x)为随机变量x的概率密度函数。

约束条件为

式中：D为积分区间；gi(x)为关于x的函数；m为所用矩的阶数；mi为第i阶随机变量原点矩。

为求得概率分布函数在约束条件下的极值，引入如下Lagrange乘子：

令L对f(x)求偏导为零，得到

取gi(x)=xi，令

式中：E(xi)为数学期望。

由此可得最大熵概率密度函数为

根据式(7)可得最大熵分布函数为

式(7)为最大熵概率密度函数的一般形式，只需求解出待定的Lagrange 乘子λi(i=1，2，…，m)，即可得到所求概率密度函数。根据ROCKINGER等[14]所提出的方法求解待定的Lagrange 乘子λi(i=1，2，,…，m)，采用Newton迭代法计算，迭代方程如下：

研究表明，大部分概率密度函数仅需要使用前4阶矩阵便可取得较好的拟合效果[15]，所以，采用已知样本的前4阶原点矩作为最大熵模型的约束条件。

2.2 基于Bootstrap法建立极值样本

极值模型可以基于有限的历史数据有效计算极值出现的概率，是本文研究方法的重要内容。建立桥塔温度极值概率模型，需将桥塔温度场的长期数据利用极值模型进行拟合。采用Bootstrap法对桥塔温度极值样本进行扩充，得到桥塔温度极值的扩充样本用于最大熵极值模型的参数估计。

Bootstrap 的基本思想是设总体的分布F未知，θ为总体分布F的某种参数，从一个来自总体F的数据样本中有放回地抽取包含n个数据的子样本X=[x1，x2，…，xn]，该子样本被称为Bootstrap 样本，重复抽取A个Bootsrap样本，利用这些样本进行参数估计得到总体分布参数θ的估计值，进而统计推断总体分布F。这种方法能够充分利用现有信息，根据现有的样本估计未知的总体分布，不需要对总体分布作任何假设，适用于小样本，能够解决桥塔温度场长期实测数据不足带来的问题[16-18]。

建立桥塔截面均匀温度分量和附近气象站测得的大气温度之间的数学关系，从而根据大气温度67 年的历史数据求得桥塔截面均匀温度分量，生成温度极值样本。采用Bootstrap 法从温度极值样本中有放回地抽取200 个数据组成Bootsrap 样本，重复抽取1 000 次得到1 000 个Bootsrap 样本，进而精确估计桥塔截面均匀温度分量的极值分布特征参数。

2.3 数值模拟试验验证

采用数值模拟的方法验证本文所提Bootstrap法求解极值问题的准确性。假设总体分布F的分布函数已知，利用该分布函数生成容量为N的大样本数据，从该大样本数据中再抽取容量为n的小样本数据。常规方法如GEV 法采用从总体中抽取的大样本进行参数估计，Bootstrap 法对从大样本中重复抽取的小样本进行参数估计，对比分析这2种方法计算得到的参数估计值与已知总体分布函数的参数值之间的累计误差，定量评估本文方法的准确性。

假设桥塔的温度总体分布符合广义极值分布(GEV)，其分布函数的形状参数k=-0.5，缩放参数σ=10，位置参数μ=18。对于桥塔温度，若每天记录3 次温度，则50 年内可记录桥塔温度数量为3×365×50=54 750个。编写MATLAB程序按照上述已知分布函数生成54 750 个数据组成样本X1，代表50 年的桥塔温度，其年极值子样本为X'1。从样本X1中随机选取连续的5 475个数据组成样本X2，象征5 年的桥塔温度，其年极值子样本为X'2。采用Weibull 型极值分布分析年极值子样本X'1和X'2的概率特征，分别采用GEV 法和本文所提出Bootstrap法计算所得参数估计值与已知总体分布函数的参数θ之间的累计误差，计算式如下：

式中：E为估计参数(k、σ、μ)值与已知参数值之间的累计误差；n为样本所包含的数据个数；为子样本X'1、X'2经计算所得参数估计值。

在累计误差计算中，采用GEV法对50年温度样本X1进行极值拟合分析，采用本文所提出Bootstrap 法对5 年温度样本X2进行极值拟合分析。为减小计算过程中产生的偶然误差，重复模拟100次。这2种方法计算所得参数估计值与已知总体分布的参数值的累计误差如表1所示。

表1 温度子样概率分布拟合结果对比Table 1 Comparison of fitting results of temperature sub-sample probability distribution

从表1可知：GEV法和Bootstrap法这2种方法计算方法得到的各参数最大累计误差均小于0.1，计算准确。对比GEV 法，本文所提出的Bootstrap法在保证计算准确的前提下克服了数量不足所带来的问题，适用于建立小样本的极值模型，能够在数据有限的情况下对未知总体分布进行精确分析。

3 桥塔均匀温度分量变化特征

为保证高速铁路在使用时的舒适性，需掌握桥塔温度随时间的变化规律。

根据规范BS EN 1991-1-5—2003[5]，基于变形等效原则计算决定结构伸缩变形的截面均匀温度分量并对其变化规律进行研究。通过截面布置有限个温度传感器测得的截面温度场是离散的，根据测点所在深度将截面划分为若干个区域，如图3所示。

图3 桥塔截面面积划分方式Fig.3 Division method of cross-sectional area of tower

截面均匀温度分量Tu的计算公式为

式中：T(x，y)为结构截面实际温度场；Ti为第i号测点温度；Ai为截面上以第i号测点为代表的截面分块面积；A为截面总面积。

按照时间序列分析原理[19-21]，桥塔温度时间序列主要由趋势变化序列和短期波动变化序列组成。趋势变化序列表示结构温度在季节性的气候变化作用下，随大气温度变化而变化的规律，反映了结构温度时程曲线的整体走势和结构的年温度变化规律。根据式(11)计算Tu，得到每天各时刻的均匀温度。定义每天各时刻均匀温度平均值为桥塔截面均匀温度分量日平均值Tud，Tud的变化能够反映桥塔截面均匀温度分量以年为周期的变化规律。定义桥塔截面均匀温度分量Tu与其日平均值Tud的差值为均匀温度分量的日波动量Tf，反映结构温度在以日照为主要影响因素的作用下以日为周期出现的升温和降温过程，在时程曲线上表现为具有一定规律的上下波动的“毛刺”，反映了结构温度的短期波动变化。

3.1 桥塔均匀温度分量年周期变化特征

自桥塔温度监测系统建立以来，收集了大量结构实测温度。选取2020 年8 月至2021 年8 月的实测温度进行分析。根据桥梁的地理位置和走向可知，太阳辐射在早晨作用于桥塔的东南方向，在中午作用于桥塔的西南方向，在傍晚作用于桥塔的西北方向。选取桥塔西南方向和东北方向最外侧温度测点1和测点13以及最内侧的温度测点7和测点16 作为典型测点绘制温度变化时程曲线，对桥塔温度的变化特征进行分析。典型测点的温度年变化如图4所示。

图4 典型测点的温度年变化Fig.4 Annual variation of temperatures in typical measuring points

分析桥塔实测温度可知：测点1 和测点13 每日的温度变化幅值较大，测点7 和测点16 每日的温度变化幅值较小；测点1的温度变化幅值明显比测点13 的温度变化幅值大。通过分析各测点温度的年变化和日变化可知：桥塔的西南方向受太阳辐射时间较长，温度变化最明显；东北方向受太阳辐射时间较短，温度变化较小；越靠近外表面的温度测点受太阳辐射影响越大；结构温度季节性变化明显，具有余弦曲线变化形式。

计算该时间段桥塔截面均匀温度分量Tu、均匀温度分量的日平均值Tud、均匀温度分量的日波动量Tf并绘制时程曲线，见图5。为得到测点年温度变化规律的具体表达式，利用傅里叶级数对Tud时程曲线进行拟合，可得到桥塔截面Tud时程曲线表达式：

图5 桥塔均匀温度分量时程曲线Fig.5 Time-history curves of uniform temperature component of tower

式中：Tud为桥塔截面均匀温度分量的日平均值，℃；t为时间。

由图5可知：桥塔截面均匀温度和大气温度均近似以年为周期呈余弦式变化，两者变化规律相近，这种温度作用使得桥塔产生随季节变化的竖向伸缩变形。泉州地区极少出现连续5 d平均气温均在10 ℃以下的情况，根据气象学划分四季的标准可认为该地区不存在气象学意义上的冬季，因此，可将每年的5～10 月份划分为夏季，其余月份划分为春秋季。在整个监测期内，大气温度最高为34.5 ℃，最低为5.2 ℃，大气温度变化量约为29.0 ℃；桥梁截面Tu最高为32.43 ℃，最低为9.67 ℃，Tu的变化量约为23.00 ℃；Tud最高为32.11 ℃，发生在中国气候的大暑节气附近；Tud最低为10.22 ℃，发生在中国气候的大寒节气附近；Tf在春秋季的变化范围为-0.91～0.80 ℃，在夏季的变化范围为-0.80～0.69 ℃。

3.2 桥塔均匀温度分量日周期变化特征

为研究太阳辐射作用影响下，大气温度和桥塔截面均匀温度分量以日为周期的变化特征，选取春秋季和夏季典型晴天的实测温度取平均值进行分析，结果如图6所示。从图6可见：大气温度和桥塔截面均匀温度的日变化幅值均呈夏季较小而春秋季较大的规律；春秋季典型晴天的大气温度平均日变化幅度为4.10 ℃，桥塔截面均匀温度分量的平均日变化幅度为0.84 ℃；夏季典型晴天的大气温度平均日变化幅度为3.19 ℃，桥塔截面均匀温度分量的平均日变化幅度为0.76 ℃。桥塔截面均匀温度分量的日变化幅值均远小于大气温度的日变化幅值。由于混凝土导热性差，桥塔塔壁较厚，桥塔截面均匀温度分量的升温较大气温度具有滞后性，大气温度的日最小值与日最大值一般发生于每日5:00—6:00 和13:00—14:00，桥塔截面均匀温度分量的日最大值与日最小值一般发生于每日6:00—7:00和17:00—18:00。

图6 均匀温度分量与大气温度日变化Fig.6 Diurnal variation of uniform temperature component and atmospheric temperature

因此，太阳辐射相对于大气温度对桥塔温度模式及变化规律影响较小，桥塔截面均匀温度分量受大气温度的影响较大，本文基于大气温度对桥塔截面均匀温度分量进行预测。

4 桥塔均匀温度分量变化特征

4.1 相关性研究

桥塔截面均匀温度分量与大气温度存在一定程度的正相关，为对桥塔均匀温度分量进行极值预测，从中国气象数据网中获取泉州湾地区1954—2020年的历史大气温度并对其进行分析。

选取距离桥址较近的崇武气象站测得的气温进行分析，站台编号为59133，地处东经118°55′，北纬24°54′。根据桥塔温度测点1年实测温度计算桥塔截面均匀温度分量，将均匀温度分量与同时期大气温度进行线性拟合分析，结果如图7 所示，得到桥塔截面均匀温度分量与大气温度的关系式：

图7 均匀温度与大气温度线性拟合结果Fig.7 Linear fitting results between uniform temperature and atmospheric temperature

式中：Tu,max、Tu,mean、Tu,min分别为桥塔截面均匀温度的日最大值、日平均值、日最小值，℃；Ta,max、Ta,mean、Ta,min分别为大气温度日最大值、日平均值、日最小值，℃；R2为决定系数；ERMS为均方根误差。

4.2 桥塔截面均匀温度分量日周期极值预测

根据桥塔温度测点1 年实测温度，采用Bootstrap 方法重复抽样，建立最大熵极值模型，预测夏季和春秋季典型晴天桥塔截面均匀温度分量各时刻的日波动量Tf极值并绘制为时程曲线，如图8 所示。从图8 可见：1 d 中6:00 左右温度最低，18:00 左右温度最高。夏季桥塔截面均匀温度分量的日波动量Tf的变化范围为-0.57～0.54 ℃，春秋季桥塔截面均匀温度分量的日波动量Tf的变化范围为-0.74～0.78 ℃，日波动量Tf超出该变化范围的概率仅为1%。

图8 均匀温度分量日波动量时程曲线Fig.8 Time-history curves of daily fluctuation of uniform temperature component

桥塔截面均匀温度日变化幅值远小于年变化幅值，因此，研究桥塔截面均匀温度变化规律时可以研究年变化规律为主。

4.3 桥塔截面均匀温度日极值预测

根据泉州湾地区67 年的历史大气温度，利用式(13)～(15)计算得到桥塔截面均匀温度历史值。采用Bootstrap 法对每天所对应的67 个桥塔截面均匀温度日最大(或最小)值的历史值进行抽样，分别得到1 000个均匀温度分量日最值温度增广样本，每个样本中含有200 个数据，拟合最大熵极值模型，从而对该桥塔截面均匀温度分量的日极值进行预测，得到桥塔截面均匀温度分量日极大、极小值的年变化曲线，桥塔均匀温度日最值超出该值的概率为1%。同时，对各日期对应的67个历史日值求取平均值，以直观反映均匀温度分量日平均值的年变化趋势。

根据建立的最大熵极值概率统计模型，对100年重现期的桥塔截面均匀温度分量日极大值预测值Tmax、日极小值预测值Tmin和该日期对应的历史日平均值Tmean时程曲线进行傅里叶级数拟合，结果如图9 所示。对比式(17)与式(12)可知，该桥塔实测均匀温度与历年均匀温度日平均值均以1年为周期呈余弦式曲线变化，并且振幅以及初相相近。根据均匀温度日极值预测结果，100年重现期的桥塔截面均匀温度分量最高温度为34.20 ℃，最低温度为4.79 ℃。

图9 均匀温度日极值时程曲线Fig.9 Time-history curves of daily extreme value of uniform temperature

式中：Tmax和Tmin分别为100 年重现期的桥塔截面均匀温度分量日极大值和日极小值；Tmean为该日期历年桥塔截面均匀温度的平均值，℃。

4.4 桥塔截面均匀温度分量年极值预测

根据崇武气象站67 年历史温度绘制桥塔处大气温度年极值和年变化幅值的历史变化曲线，如图10所示。由图10可知：泉州湾地区的大气温度整体呈缓慢增大的趋势；相对于年最高气温与年平均气温，年最低气温增长速度较快，气温的年变化幅度呈缓慢减小的趋势。经计算可得泉州湾地区的年最高气温、年平均气温、年最低气温和年变化幅度的增长率分别为0.12、0.20、0.32 和-0.20 ℃/(10 a)。

图10 桥塔处大气温度历史变化曲线Fig.10 Historical variation curves of atmospheric temperature at the tower

根据桥塔处大气温度年极值，利用式(13)和(15)得到桥塔截面均匀温度分量年极值样本。采用Bootstrap 法对桥塔截面均匀温度分量年极值样本进行抽样，得到1 000 个Bootstrap 样本，每个Bootstrap样本中含有200个数据，进而拟合最大熵极值模型。由式(10)拟合分析桥塔截面均匀温度分量年极值的累计误差小于0.1，这说明本文所提出Bootstrap 法在实际工程应用中准确率高，拟合效果好。

基于桥塔截面均匀温度分量年极值样本，采用Bootstrap法按照样本数1 000确定最大熵概率密度函数和分布函数，拟合结果分别如图11 和图12所示。由图11 和图12 可知：采用本文所提出的Bootstrap 法分析得到的桥塔年极值温度概率密度函数和分布函数拟合效果较好，可准确推算桥塔结构均匀温度的极值。

图11 桥塔年极值温度概率密度函数(PDF)拟合结果Fig.11 PDF of annual extreme temperature of tower

图12 桥塔年极值温度分布函数(CDF)拟合结果Fig.12 CDF of annual extreme temperature of tower

根据最大熵极值概率统计模型，可以得到50年重现期和100年重现期的桥塔截面均匀温度的最高值分别为36.09 ℃和36.48℃，最低温度分别为3.91 ℃和3.52 ℃。

在预测桥塔均匀温度日极值时，得到100年重现期内最高温度为34.20 ℃，最低温度为4.79 ℃；预测桥塔均匀温度年极值时，得到100年重现期内最高温度为36.48 ℃，最低温度为3.52 ℃。这2种方法得到的温度代表值结果不同，以最高温度代表值为例分析这2种预测方法所得结果不同的原因为：在预测桥塔均匀温度日极值时，选取各日所对应的历史日最高温组成样本建立最大熵极值模型，从各日的日极值预测结果中选取最大值作为100年重现期的最高温度代表值，各日的样本中极端高温出现较少，因此，预测得到最高温度代表值较低；而在桥塔均匀温度年极值预测过程中，选取历年年最高温进行最大熵极值预测，样本中极端高温较多，从而可以得到更安全、保险的温度代表值。

5 结论

1) 桥塔截面均匀温度分量主要受大气温度的影响，在桥塔实测温度样本量少的情况下，可通过与大气温度建立线性关系式，利用大气温度历史数据和极值约束条件对桥塔极值温度样本进行扩充。利用Bootstrap 法能很好地对样本数n＞10 的小样本事件进行拟合分析并对最大熵极值模型待定参数进行估计，从而建立最大熵极值概率统计模型并预测极值。

2) 根据时间序列分析原理可将桥塔截面均匀温度分量分为日平均值与波动值。通过傅里叶级数拟合，桥塔截面均匀温度分量的日平均值表达式为Tud(t)=23.32-7.97cos[(2π/365)(t-31)]。春秋季、夏季典型晴天中桥塔截面均匀温度分量的平均日波动幅值分别为0.84 ℃和0.76 ℃，远小于年波动值，可忽略桥塔截面均匀温度分量日变化对总体变形的影响。

3) 通过最大熵极值模型预测得到100年重现期的桥塔截面均匀温度分量日极值时程变化规律以及日波动量的变化范围。经傅里叶级数拟合，桥塔截面均匀温度分量日极大值时程曲线表达式为Tmax(t)=27.29-6.24cos[(2π/365)(t-34)]，日极小值表达式为Tmin(t)=16.52-9.97cos[(2π/365)(t-34)]。

4) 根据最大熵极值概率统计模型，计算得到50年重现期和100年重现期的桥塔极端最高温度代表值分别为36.09 ℃和36.48 ℃，最低温度代表值分别为3.91 ℃和3.52 ℃。