例谈新课程背景下RMI原则的教育价值

戴锴宁 陈碧芬

【摘 要】   “关系映射反演原则”（简称RMI原则）是一种重要的数学思想方法，其实质是“矛盾转移法”.在新课程背景下，对RMI原则进行教育价值的重新挖掘，发现在应用RMI原则的过程中可以培养学生联系的眼光、辩证思维能力和创造性思维品质，潜移默化地落实数学学科核心素养的培养，并用例子解析如何实现这些教育价值.

【关键词】  新课程；RMI原则；教育价值；数学学科核心素养

1   问题提出

新课程背景下，教育聚焦于人的核心素养的培养.教育要为学生的可持续发展和终身学习创造条件，使学生终身受益.数学教育的基本任务是促进学生思维的发展[1].数学方法论指导下的教学不仅关注具体数学知识的传授，还关注渗透数学思想方法以帮助学生“用数学的思维思考世界”.而数学的思维方式承载了独特的数学学科育人价值，是可教、可学的数学学科核心素养.因此，可立足“数学思维”教学培养学生数学学科核心素养.数学思维教学应当分两个不同阶段，即从“学会数学思维”走向“通过数学学会思维”，努力提升学生思维品质[2].第一步“学会数学思维”，在本文指RMI原则.第二步“通过数学学会思维”，即跳出了专业的范围从更大的视角上看待数学教育的价值.那么，RMI原则的教育价值有哪些？如何实现这些价值呢？

2   RMI原则教育价值

关系（Relationship）映射（Mapping）反演（Inversion）原则是由中国学者徐利治教授于1983年首先提出的.这一方法已被发现在数学中有着十分广泛和重要的应用；如果从数学思想方法角度去进行分析，我们又可以提出更为一般的化归原则.通常把彼此之间具有确定的数学关系的数学对象的集合称为关系结构.明确的对应关系在数学中被称为映射[3].映射是实现由未知到已知化归的一个重要手段.由于在应用映射法解决问题过程中，有关的映射在相反的方向上又得到了应用，即首先用原来的问题去引出新的问题，后来又用相应的解答去引出所寻求的原来的解答.因此，有必要对相反方向上的映射重新区分为逆映射，即反演，同时求解新问题的解需要选择合适的“数学手续”，这一过程称为定映.最后有必要说明，在求解复杂问题时，可能需要多步的RMI程序.综上所述，我们可以用框图1的形式总结如下：

若跳出了数学专业领域看待RMI原则，其实质是“矛盾转移法”，即培养了学生辩证思维品质和解决问题的能力.学生通过经验的积累，使思维的变通性、灵活性得到提升，明白事物存在普遍联系.RMI原则正是基于数学知识内部的联系，用“联系”的眼光构造合适的映射和定映方法，从而建立对应的桥梁.2.1 有助于形成联系的观点

“联系”是数学学科知识结构化的主要特征.数学内部之间、数学与外部世界都存在普遍联系.因此，教师在教学时要启发学生用联系的眼光思考，促进其在更加广阔的思维空间中思考，通过类比、推广、特殊化等方式解决问题.从RMI原则的应用过程看，有特殊与一般的联系、静与动的联系、数与形的联系等，是“联系”实现了映射和反演.因为RMI原则中的“映射”是可逆映射，可定映映射.例如，解析方法可以用于处理平面几何和立体几何问题；通过对数映射，我们可把乘、除、开方等复杂的运算转化为加、减、乘、除等简单的运算；函数、方程、不等式可以相互转化和化归.这些基本思想方法都符合RMI原则.从这个意义上看待“RMI”的教育价值即实现了“用数学方式育人”，体悟到普适性的数学思想方法.

2.2 有助于提升学生辩证思维

辩证思维能力是科学思维能力的集中体现.学生辩证思维发展的不足，不仅影响看问题的全面性，而且也会影响人生观和世界观的形成.RMI原则的实质是“矛盾转移法”，其应用范围绝不限于数学领域.而矛盾的观点是唯物辩证法的根本观点，矛盾分析法是唯物辩证法的根本方法[4].RMI原则不仅可以用于得出肯定性解答，还可用以得出否定性解答，从矛盾中发现问题、寻找联系，以新视角化解矛盾才能获得内心平静.例如，在转化与化归的过程中，懂得辩证分析，即将动点问题特殊化变为定点进行求解，或者寻找变化中不变的量.因此，RMI原则的教育价值对加强辩证思维能力，对学生形成科学的人生观和价值观具有重要意义.2.3 有助于提升学生创造性思维教育必须超越知识.知识当然重要，但是知识不是教育的全部内容[5].数学教育指向培养学生学会数学的思维.从RMI原则的应用过程看，创造性思维不仅体现在灵活地选择“映射”工具上，也蕴含在定映过程的目标映象求解过程中.学生能灵活地选择映射工具和数学手续，先漂亮地转化问题，再更好地求解问题.例如：学生在解题时能准确地定位中学常见的函数法、向量法、参数法等来解决问题.另外，面对实际问题能用数学抽象通过构造函数模型，将实际问题转化为函数问题，创造性地解决了现实的问题.同时，在定映过程中，能熟练地进行逻辑推理计算，展现清晰简洁的思路.可以看出，学生寻求“映射桥梁”转化问题、巧妙地求解问题的过程，体现了思维的灵活、变通特点，也是创造性思维的动力.因此，RMI原则指导下的教学可以提升学生创造性思维品质.2.4 有助于落实数学学科核心素养

落实数学学科核心素养是数学教学的导向标.核心素养之所以是“高级素养”，还有两个原因，核心素养是跨学科的，高于学科知识; 核心素养是综合性的，是对于知识、能力、态度的综合与超越[6].RMI原则指导下的转化和化归过程中落实了“三会”，同时，在不同知识领域应用RMI原则，对于六大核心素养的侧重也不同.

例如：在探究活动领域培养学生“数学建模”核心素养的过程中，首先，应用RMI原则对现实问题进行抽象转化为数学问题，培养学生的“数学眼光”，完成映射；其次，通过数学手续分析求解数学问题的解，培养学生的“数学思维”，完成定映；最后，通过将求得的数学问题的解转化为現实问题的解，培养学生的“数学语言”，完成反演. 在以上过程中，蕴含了数学育人的方式，发挥了数学的内在力量，“数学建模”的核心素养就潜移默化、润物无声地得到了落实.

3   案例解析

為了更好说明如何实现RMI原则的教育价值，本文将围绕2018年浙江省高考数学第8题进行案例解析.

例题  已知四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形， 侧棱长均相等，E 是线段 AB 上的点（不含端点）， 设 SE 与 BC 所成的角为 θ1，SE 与平面 ABCD 所成 的角为 θ2，二面角 S-AB-C 的平面角为 θ3，则（  ）.

A．θ1≤ θ2≤θ3   B．θ3≤ θ2≤θ1

C．θ1≤θ3≤θ2   D. θ2≤θ3≤θ1

3.1 理清目标原象，寻找映射实现联系，完成转化

解法1  解析几何——建立函数模型（如图2）

师：本题中四棱锥是动态的，对每一个给定的四棱锥，棱AB 上的点E也是动态的，对于动态的量我们最先想到是借助什么工具来描述呢？生：建立空间直角坐标系.

师：很好.这就是我们应用RMI原则进行解题时做的第一步，即分析题目中的已知条件的关系，寻找可以实现映射的工具.

师生活动：如图建立直角坐标系，设底面正方形边长为2a，四棱锥高为b，点E（a，t，0），其中-a

cosθ1= |SE ·BC | |SE |·|BC | = a    a2+b2+t2  ，

cosθ2= |SE ·OE | |SE |·|OE | =    a2+t2     a2+b2+t2  ，

cosθ3= |SE ·OE0 | |SE |·|OE0 | = a    a2+b2  .

解法2  极限思想——化动为静（如图3）

师：如果对于动态问题把握不好， 是否可以充分利用选择题的特点，化动态为静态呢？

生：可以尝试特殊化点E的坐标，特殊化正四棱锥的大小.

师生活动：将正四棱锥特殊为所有棱长均相等的正四棱锥，将点 E 无限接近于端点 A.

解法3  化繁为简——降维（如图4）

师生活动：回忆空间角概念，所有空间角最后都降维成线线角，因此只要在正四棱锥内作出 θ1，θ2，θ3即可.记E0为棱 AB 的中点，顶点S在底面的射影为 O（易知O为底面正方形的中心） ，过点O作OO1∥AB，过点 E 作 EO1∥E0O，则 易证EO1⊥SO1． 联结 SE，SE0可得∠SEO1=θ1，∠SEO=θ2， ∠SE0O=θ3 分析  理清题目中目标原象的特点是利用RMI原则进行解题的首要步骤.教师需要帮助学生梳理已知条件和回忆相关的知识，寻找构建映射的方法，并介绍常用的“映射工具”，如参数法、数形结合法、构造法等等.解法1、解法2和解法3选择不同的映射方法，建立了知识的联系.与此同时，不同映射工具的选取和定映求解的实现，体现了学生思维的灵活和变通特点.教师引导学生从不同角度思考，激活创造性思维，培养学生“求异”的眼光.其中解法2的极限思想对于学生思维训练价值更大，突出灵活和变通特点.同时，本题也有利于学生直观想象和数学建模素养的培养.

3.2 分析映象结构，寻找演算工具，灵活推理，完成定映师：将原来的问题进行转化后，就需要对目标映象进行求解，那用什么方法比较好呢？生：解法1直接进行代数化简即可；解法2假设当点E无限接近端点A时求解；解法3可以利用正切值来比较空间角的大小即可.师生活动： 解法1  化简比较结果

易得cosθ1≤cosθ3，又cos2θ2=1- a2 a2+b2+t2 ，cos2θ3=1- b2 a2+b2 ，所以cosθ3≤cosθ2，故cosθ1≤cosθ3≤cosθ2.

解法2  点E无限接近于端点A，cosθ1→ 1 2 ，cosθ2→    2  2 ，cosθ3=    3  3 .

解法3  tanθ1= SO1 EO1 = SO1 E0O ≥ SO E0O =tanθ3，又tanθ3= SO E0O ≥ SO EO =tanθ2.

分析   实现关系结构转化之后，接下来需要求解映象结构中的解.求解过程即为定映过程.实现定映需要学生掌握一系列的“数学手续”.凡是由数值计算、代数计算、解析计算、逻辑演算以及数学论证等步骤构成的形式过程都称之为“数学手续”[3]. 教师对于学生基本知识和基本技能的考查和训练是有必要的.解法2采用了化动态为静态，体现了辩证思维特点和矛盾转移的方法.解法1，2，3都通过不同的 “数学手续”恰当地表示出了函数值的大小，其过程突出了逻辑推理和数学运算的学科核心素养的培养.3.3 反演回归目标原象检验结果，注意思维严密性师：得出函数值后，需要做什么？

生：再次检查题目中要求的量与当前求得的解是否一致.师生活动：

解法1：由cosθ1≤cosθ3≤cosθ2，即θ2≤θ3≤θ1.

解法2：由cosθ1= 1 2 ，cosθ2=    2  2 ，cosθ3=    3  3 ，即θ2≤θ3≤θ1

解法3：由tanθ1≥tanθ3≥tanθ2，即θ2≤θ3≤θ1.

师：很好.这也就是要反演回原来的题目，检查目标原象的解的正确性.最后，我们尝试运用RMI原则来表示三种解法的程序框架图：    解法1  如图5所示：

解法2  如图6所示：

解法3  如图7所示：

分析  思维的逻辑性与严密性是理性思维的两个基本特征.因此，教师应该注重学生良好的习惯，在求出目标映象的解之后，我们不能忘记要反演回归原问题的解，并检验结果的合理性.尤其在数学模型解决现实模型时，应该允许一定的误差.学生思维培养不是“无源之水，无本之木”，它是“接地气”的.回顾整个理解RMI原则解决问题过程，它要求学生有良好的学习基础，并通过具体教与学过程来支撑.解法1，2，3都需要学生有联系的眼光和辩证转化 的思维.解法2的极限思想相对较难，但对学生思维的训练和创造性品质的培养有相对的价值.

总之，新课程背景下的数学教学要克服重教书轻育人的倾向，强调关注数学学科思想、数学思维方式的教学.RMI原则立足数学本身的学科特点，蕴藏了普遍的教育价值和广阔的发展空间.本文只体现了其在数学应用中的“冰山一角”.就教学工作而言，只有注意数学思想方法的分析，才能将数学知识“讲活”“讲懂”“讲深”.数学方法论、数学教育学都不是封闭的体系，都会随着时代发展而发展.站在新时代，作为教育工作者应面向未来，加强自我革新，努力积极实践，那么RMI原则下的教学必将结出更多的硕果.

参考文献

［1］  郑毓信.从“教学教育的基本目标”谈起——中学视角下的“数学教学的关键”（2）［J］.中国数学教育，2021（21）：3-5.

［2］  郑毓信.数学思维教学的“两阶段理论”［J］.数学教育学报，2022，31（01）：1-6.

［3］   郑毓信.数学方法论［M］.南宁：广西教育出版社，1991：87.

［4］  彭寿清.习近平新时代中国特色社会主义教育思想的哲学基础［J］.西南大学学报（社会科学版），2018，44（01）：12-21.

［5］  錢颖一.批判性思维与创造性思维教育：理念与实践［J］.清华大学教育研究，2018，39（04）：1-16.

［6］  褚宏启.核心素养的概念与本质［J］.华东师范大学学报（教育科学版），2016，34（01）：1-3.

作者简介  戴锴宁（1997—），女，浙江金华人，硕士研究生；主要研究学科教学（数学）.

陈碧芬（1979—），女，浙江奉化人，副教授，硕士生导师；主要研究数学课程与教学论.