基于深度学习的高三数学复习教学研究

2023-08-30 14:34黄文芳
中学教学参考·理科版 2023年4期
关键词:高三数学复习教学深度学习

黄文芳

[摘 要]文章着重分析高考数学“比较大小”的真题和模拟题的考查形式和命题理念。通过试题研究发现,高三数学复习教学应以培养学生的学科核心素养为出发点和归宿,并引导学生进行深度学习。

[关键词]深度学习;高三数学;复习教学;比较大小

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058(2023)11-0008-05

一、研究背景

《普通高中数学课程标准(2017年版2022年修订)》中的“基本理念”强调:优化课程结构,突出主线,精选内容;把握数学本质,启发思考,改进教学。深度学习是素质教育背景下转变学习浅层化和表面化的需要,同时也是提升学生学科素养的必要路径。近几年来,高考对学生的数学学科核心素养提出了更高的要求,最直接的表现就是试题难度加大,更加注重考查学生的解决问题的能力。通过分析近十年全国高考数学“比较大小”的真题和模拟题的考查形式和命题理念发现,高三数学复习教学应以培养学生的学科核心素养为出发点和归宿,并引导学生进行深度学习。表1所示是2012—2022年高考数学真题中的“比较大小”方法汇总。

通过表1,我们发现“比较大小”问题几乎年年出现在高考选择题中,近几年有偏向压轴题的趋势。在高考模拟卷和高考卷中,此类问题的“精度”要求变得越来越高,意味着难度也越来越大。有些问题需借助泰勒展开式来处理,这无形之中增加了学生的学习负担。

笔者以近十年全国各地高考数学“比较大小”真题和各地模拟题为研究蓝本,分析了相应的高考考查形式和命题理念,并以此优化复习教学,收到了良好的效果。

二、教学案例

(一)利用指数函数、对数函数和幂函数的性质比较大小

利用指数函数、对数函数和幂函数的性质比较大小类问题是最基础的“比较大小”题型,它适用于同类型函数比较大小,即指数函数和对数函数通过讨论指数、对数的底数是大于1或者是小于1,利用单调性比较大小,而幂函数则通过幂指数的正负性判断函数值的大小。它们涉及底数、幂、真数,如果三者之一都不同,需要进行换底、换幂和换真数。

1.辨清指数函数、幂函数,提高分辨能力

[例1]设[a=0.60.6],[b=0.61.5],[c=1.50.6],则[a]、[b]、[c]的大小关系是             。

分析:本题中[a]和[b]同底,[a]和[c]同幂,因此可以按照同底和同幂的性质分别比较大小,利用指数函数和幂函数的单调性比较大小。

解:先比较[a]和[b],由于[y=0.6x]是减函数,因此[0.60.6>0.61.5],从而[a>b];再比较[a]和[c],由于[y=x0.6]是增函数,因此[0.60.6<1.50.6],从而[a

归纳:遇到同底或同幂类型的大小比较,要先分清是指数函数还是幂函数,然后再利用单调性进行大小比较。

2.灵活处理细节,提高解题能力

[例2](1)比较[a]、[b]、[c]的大小:[a=log1312],[b=log1323],[c=log343]。

(2)比较[a]、[b]、[c]的大小:[a=log36],[b=log1516],[c=log46]。

(3)比较[a]、[b]、[c]的大小:[a=40.9],[b=80.48],[c=12-1.5]。

分析:指数、对数大小比較,先研究底数,若同底,则直接利用它们的单调性比较;若不同底,先用换底公式换成同底,再结合单调性比较。但对数还有一种情形,就是底数不同,但真数相同,这便再分真数大于1和真数小于1的情况得到结果。

解:(1)首先比较[a]和[b],由于[y=log13x]是减函数,因此[log1312>log1323],从而[a>b];再比较[a]和[c],由于[y=log3x]是增函数,因此借助换底公式得[log1312=log32>log343],从而[a>c];然后比较[b]和[c],借助换底公式得[log1323=log332>log343],从而[b>c];最后得到[c

(2)[a]和[c]的真数相同,[b]的真数[16]与6有关系,通过对数的换底公式得[b=log1516=log56],从而[a,b,c]真数均相同;根据真数6大于1,底数[3<4<5],底数越小,函数值越大,从而有[a>c>b]。

(3)底数不同,可以换底,采用[axy=(ax)y=(ay)x],可得[a=(2)20.9=22×0.9=21.8],[b=(2)30.48=23×0.48=21.44],[c=(2)-1-1.5=2(-1)×(-1.5)=21.5],进而利用指数函数的单调性得[a>c>b]。

归纳:如果底数不同,可借助换底公式然后利用单调性比较大小。常用的换底公式为[logambn=nmlogab],[axy=(ax)y=(ay)x]。底数不同,真数相同,真数大于1,底数越小,函数值越大;真数大于0且小于1,底数越小,函数值越小。

3.挖掘深意,提高思维能力

[例3]设[a=log23],[b=log46],[c=log69],则()。

A. [c>b>a]B. [b>c>a]

C. [a>c>b] D. [a>b>c]

分析:对数大小比较,先观察底数和真数,如果它们均不同,但是底数和真数之间存在相同的比例关系,则可以采用“换真数”的方法进行判断。

解:[32=64=96],当真数与底数都不相同,但是真数与底数的比例相同时,可以用“换真数”的方法(用底数表示真数):[logaxy=logax+logay],从而[a=log22×32=log22+log232=1+log232],[b=log44×64=log44+log464=1+log432],[c=log66×96=log66+log696=1+log632 ],最终比较[log232]、[log432]、[log632]三个数的大小。由于真数相同,底数不同,根据对数的图象和单调性,以及“真数相同时当底数大于1时,底数越小,函数值越大”,可得出[a>b>c]。

归纳:当真数与底数都不相同,但是真数与底数的比例相同时,可以用“换真数”的方法进行判断。

总结:在解决同类型函数“比较大小”问题时,无论是指数函数、对数函数还是幂函数,关键抓的就是底数、真数和幂,尽量通过变形化简运算使它们有一者相同,进而利用函数的单调性判断大小。

(二)与具体数字比较大小

1.借助具体数字比较

[例4](1)已知[a=log0.53],[b=log52],[c=20.5],则()。

A. [c

C. [a

(2)已知[a=log27],[b=log38],[c=0.30.2],則()。

A. [c

C. [b

分析:同时出现了指数、对数两种类型的函数,如果底数、真数、幂不同,就要与具体数字来比较。首先借助特殊值“0”“1”来比较,但如果无法用“0”“1”时,就要借助其他数,如“2”“3”“[12]”等。

解:(1)[log0.5320=1],[a

(2)[log27>log22=1],[log38>log33=1],[0.30.2<0.30=1],此时[a]和[b]均是比1大的数,只能采取其他数。而[log27>log24=2],[log38

归纳:当出现不同类型的函数时,首先借助特殊值“0”“1”来比较大小。如果达不到目的,需要再去找其他数,如“2”“3”“[12]”等。

2.与特殊值比较

熟记以下三个数:[ln2≈0.7],[ln3≈1.1],[ln5≈1.6],当题目出现与之有关的式子时,可通过其对应的值或者对数运算法则进行大小比较。

[例5]设[a=log2e,b=ln3,c=e-23],则()。

A.[a

C. [c

分析:题目出现[ln2],[ln3],[ln5]中的一个或多个时,可以快速利用它们的特殊值进行计算比较大小。

解:[a=log2e=1ln2=10.7≈1.4],[b=ln3≈1.1],[c=e-23=1e23<1],所以[a>b>c]。答案选D。

归纳:当0,1之间无法区分函数值的大小,需要更加精确的值;当出现对数时,借助几个特殊的对数值,能让答案显而易见。

3.与“[ba]”比较

[例6]设[a=log32],[b=log53],[c=23],则()。

A. [a

C. [b

分析:若题目没有出现[ln2],[ln3],[ln5],可以通过换底公式用[ln2],[ln3],[ln5]表示,比较出[a、b、c]的大小;但是如果是随意给出的一个对数或者较复杂的对数,除了可以通过换底转化成特殊值计算,还可以用[ba]估算。由于[logab]的值与[ba]的值几乎接近,因此可用此方法比较大小。

解:[a=log32=ln2ln3≈0.64],[b=ln3ln5≈0.69],[c=23≈0.67],所以[a

总结:与具体数字比较大小是选择一些满足题意的特殊值,通过与特殊值比较,从而比较出指数、对数函数式的大小的一种方式,其能将运算过程化繁为简,提高运算的速度和正确率。

(三)构造函数

利用函数单调性原理,如果一个函数是增函数且有[f(x1)

1.构造特殊函数比较大小

对形如[f(x)=lnxx]的结构,利用求导可得在[(0,e)]上递增,(e,+∞)上递减,其适用范围有以下两种情况:①[ab]与[ba];②[logab]与[ba]。

[例7]已知[a=3ln2π],[b=2ln3π],[c=3lnπ2]。则下列选项正确的是()。

A. [a>b>c]B. [c>a>b]

C. [c>b>a]D. [b>c>a]

解:[a=3ln2π=3πln2],[b=2πln3],[c=6lnπ],三个数同时除以[6π],即可以转化为[a=ln22],[b=ln33],[c=lnππ],因此可以构造函数[f(x)=lnxx],[f(x)=lnxx]在[(0,e)]上递增,(e,+∞)上递减,[b、c]在同一个单调区间内,[a]不在,务必将[a]变形为[a=ln22=2ln24=ln44],此时[a、b、c]都在(e,+∞)上且递减,综上可得[ln44c>a],答案选D。

归纳:对于结构类似,底数、真数或者指数反复出现的题目,可以构造函数[f(x)=lnxx]来解答,有些题目不显而易见,需要进行化简变形,注意自变量的取值范圍要在对应的单调区间上方可比较大小,如果不在,则无法比较。

2.构造一般函数比较大小

构造函数难度比较大,最关键的是先分离变量再构造函数。以变量为主,进行构造。

[例8]若[2x-2y<3-x-3-y],则()。

A. [ln(y-x+1)>0] B. [n(y-x+1)<0]

C. [lnx-y>0]D. [lnx-y<0]

分析:该题的算式结构很类似,且变量也相对单一,就可以用构造函数的方法比较大小。先分离变量,再构造,最后利用单调性比较大小。

解:先分离变量:[2x-3-x<2y-3-y],再构造函数[F(x)=2x-3-x],[F(y)=2y-3-y],即原不等式转化已知[F(x)0],[y-x+1>1],所以[ln(y-x+1)>0]。答案选A。

三、结语

与指数式、对数式、幂函数式相关的比较大小的试题,集指数函数、对数函数、幂函数、导数、不等式等众多知识于一体,综合性强,解题方法灵活多样,体现了对数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算以及直观想象等学科核心素养的考查。除本文介绍的方法外,还有作差作商、基本不等式等方法。在实际的解题过程中,可根据题目的条件选择恰当的方法,以使解题效果最优化。

总之,对高三数学复习课来说,课堂教学是基础,深度学习是过程,发展学科核心素养是目标,三者逻辑相关,有机统一。开展基于深度学习的高三数学复习教学,有助于培养学生的数学学科核心素养,为学生高效地复习提供保障。

[   参   考   文   献   ]

[1]  中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准:2017年版2020年修订[M].北京:人民教育出版社,2020.

[2]  刘晓玫.深度学习:走向核心素养[M].北京:教育科学出版社,2019.

[3]  白军祥.比较大小问题的题型归纳与教学启示:从一道“八省联考”试题谈起[J].中学数学教学参考, 2022(9):25-27.

[4]  郭学博.“幂指对”大小的比较解析[J].中学生数学,2021(9):7-8.

(责任编辑 黄桂坚)

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