对2023年新高考Ⅱ卷解析几何大题的探析

金 毅

(呼和浩特市第二中学,内蒙古 呼和浩特 010000)

2023年新高考数学Ⅱ卷立足基础、考查能力,突出强调对基本知识和基本概念的灵活掌握,注重考查学科知识的综合应用能力. 接下来,我们以试卷中的第21题为代表,深度探析其解法和背景.

1 问题呈现

(1)求C的方程;

(2)记C的左、右顶点分别为A1,A2,过点(-4,0)的直线与C的左支交于M,N两点,M在第二象限,直线MA1与NA2交于点P,证明点P在定直线上.

当我们准备将韦达定理代入的时候,发现xP的表达式中,y1,y2变元结构并不对称,计算的困难由此产生,这就是圆锥曲线中的“非对称结构”,下面我们给出解决这种问题的方案,并进一步讨论解法上的改进.

图1 新高考Ⅱ卷数学21题图

2 不对称结构解决方案的探讨

2.1 寻找和积关系,化复杂为简单

综上,点P在直线x=-1上.

2.2 寻找代换关系,减少变元个数

点评以上两种方案,是基于不对称的代数结构,在代数运算上给出的具体策略. 方案1将乘积化为和的关系,便于和其它项进一步运算,最终得到定值;方案2则是消去其中一个未知数,减少未知数的个数,更加容易做后续运算,发现表达式的规律,最后整体相除得到定值. 这两种运算方法灵活运用了韦达定理,展示了韦达定理除了整体代换之外另一个层面的运用. 接下来,我们将进一步改进对这个问题的解决思路,进一步优化计算.

2.3 寻找斜率关系,简化直线方程

=-12.

可得点P在直线x=-1.

点评方案3有很强的实战性. 根据直线MN过定点,推出直线MA1与NA1的斜率乘积为定值,在计算的过程中,关于未知数y1,y2的结构是对称的. 再结合双曲线第三定义,得到斜率之间的比为定值. 这样做的结果就是简化了直线NA2与直线MA1的形式,便于联立,大大减少了计算量,回避了非对称结构的复杂运算.

2.4 寻找定比向量,简化运算过程

①

②

点评本解法充分考虑向量共线,设定比为λ,再结合双曲线的定比点差法,解出M,N纵坐标的值,在不用韦达定理的情况下,直接代入求得定值.

2.5 巧用参数方程,恒等代换求值

③

将M,N坐标代入表达式

根据表达式③,可得

=-1.

3 对试题背景的探讨

3.1 极点极线的试题背景

文[1]对结论1用初等的曲线系方法已经给出了详细的证明,因篇幅所限,此处不再赘述. 此时称U为极点,VP为U关于圆锥曲线f的极线.

图2 结论1 极点与极线

类似于文献[1]的证法,可得到结论2.

此时称点P为极点,UV为点P关于圆锥曲线f的极线.

从结论1、2可以看出,极点可以在曲线外,可以在曲线内,也可以在曲线上. 当极点在曲线上时,极线为圆锥曲线f在这一点处的切线.

3.2 基于极点极线理论的变式探究

点评结论4中,令m=-4,a=2,b=4即得到2023年新高考Ⅱ卷21题. 结论5是对结论4情况的补充. 结论4,5均可用本文的方案1至5进行证明.

2023年新高考Ⅱ卷第21题基于极点与极线的深刻背景,考查学生的数学运算能力与逻辑推理能力,问题的切入点多样化,解法不唯一,是一道深刻考查数学核心素养的好题. 题目的素材是双曲线,相比椭圆来说,在考场上做题会感到更陌生,更具有挑战性. 坐标法是解决解析几何问题的主要方法,是解决解析问题的通法,它体现着数形结合的思想,从几何和代数两个方面体现着数学的无穷魅力[2]. 在平常的高三复习中,一方面要尽可能理解知识背景,另一方面是用好基本方法处理复杂问题,特别是要对比各个基本方法之间的优势与不足,这样才能真正做到学以致用.