着眼素养断层　赋能小初衔接

金妤茜

【摘 要】义务教育阶段数学体系的完整建构离不开小初衔接，如何围绕数学学科核心素养的进阶发展，助力学生在小学毕业之后更加顺利地适应初中的学习是数学学科小初衔接工作中的核心问题。作为小学教师，要着眼素养进阶，关注素养断层问题，寻求有效措施，为小学数学与初中数学的有效衔接赋能。

【关键词】小初衔接 素养衔接 代数推理

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课程标准》）将九年义务教育作为一个整体，有意模糊初中与小学之间的界限，同时指出遵循学生身心发展规律，加强一体化设置，促进学段衔接，体现数学课程的阶段性、整体性和“小初一体”的思路，这就要求义务教育阶段的数学教师們应该全面了解不同学段的数学课程内容和学业质量要求，熟悉义务教育阶段数学课程的整体安排和衔接关系。但事实上，学生在经历了小学六年的数学学习后，仍然不能很好地将所学知识迁移到中学阶段，尤其在有关代数方面的学习上表现出明显的认知困难，如不习惯使用符号表达的代数语言，不能理解代数结构与相应的数量关系，等等。细思原因，造成这些学习困难的背后除了小学和中学教材在内容安排上存在算术与代数相对割裂的问题，更为关键的是小学阶段的部分教师在教学“数与代数”领域内容时忽视了对学生代数推理意识的培养，从而产生了素养断层的问题。

《课程标准》在“教材编写建议”中指出，课程内容特别强调的代数推理要体现出螺旋上升。“推理”在小学、初中的数学教学中有着不同的目标指向，小学指向意识，初中指向能力，从推理意识到推理能力，素养的进阶体现了《课程标准》对培养学生核心素养的一致性和阶段性要求。可见，虽然在小学数学中以算术教学为主，没有出现太多正式的代数形式，但教师可以尝试挖掘算术背后潜藏的代数特性，鼓励学生在可理解范围之内尝试进行代数推理，从而助力学生更好地适应初中阶段的代数学习。代数推理，是指人们在代数观念的系统作用下，从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论，特别是推断某一数学对象的关系或结构的思维过程。在小学数学学习中更多地指向一般化和关系性思维，因此代数推理能力的培养需要经历数字到符号的运算转换、特殊到一般的思想转换、程序到结构的认知转变等，从这个角度去理解代数推理，可以发现小学数学学习中对于培养学生代数推理有着诸多可行性路径。

一、关注基本事实，深度理解中渗透代数推理意识

在当前的小学数学教学中，作为代数知识的“式与方程”被安排在第三学段正式学习，但“数与代数”领域的教学内容编排是螺旋上升、逐步加深的，贯穿每一学段的学习，因此在第一学段早就有了代数知识的初步渗透。［1］特别是与代数有关的基本概念、基本事实的教学均是后续实施代数推理的基础，因此我们需要重视学生对基本概念和基本事实的深度理解，为更高年级正式开展代数学习做好准备。

史宁中教授在解读《课程标准》时指出，在“数与代数”板块需要增加两个基本事实，一是传递性：a=b，b=c→a=c；二是等式性质：a=b→a+c=b+c。有了这两个基本事实，在义务教育阶段开展代数推理证明就成为了可能。但是学生面对“=”，往往将它视为运算结果的输出符，而忽视了“=”同时也承担着已知数与未知数的桥梁作用、数量之间的等价关系等重要价值。例如，一年级学生在练习中得出5=1+4、5=2+3，教师可作进一步引导：因为5=5，所以1+4=2+3；学生在练习中得出5+5=2+8、2+8=3+7时，教师进一步引导他们比较发现5+5=3+7，从而帮助学生感受等式的传递性，渗透代数推理意识。教师还可以引导学生不计算出结果，仅靠观察和思考等号两边的数字特征，通过等值推理做出解答。如在8+2=□+□这个等式中，如果加数8加上1，则另一个加数2就得减去1，才能使得等式仍然成立。这其中便隐含着a+b=（a+1）+（b-1）这样的代数关系，还可以进一步引申为a+b=（a-1）+（b+1）乃至a+b=（a-c）+（b+c）。当然，这种感受对学生来说，并不需要十分深刻，但经过教师不断点拨启发，可促成学生不断积累和感悟“=”左右两边的量（式）之间的相等、对称、等价的关系，从而感受“=”的多重价值和含义，感悟平衡与相等关系的代数核心思想，使小初衔接中算术走向代数的过渡更为自然和顺畅。

在代数推理意识培养阶段，教师可以从数学符号入手，从数学符号含义的认识层面引导学生在算术思维基础上形成对隐藏的代数关系和结构的感知与理解，从而培养代数思维。

二、注重整体联系，法理并重中训练代数推理方法

史宁中教授曾对代数推理作了如下解说：代数推理在小学阶段指说理，是通过简单的归纳或类比，发现和提出一些初步的结论；感悟从特殊到一般的有逻辑的说理过程，在说理的过程中理解算理，归纳算法，最后建立计算模型。［2］《课程标准》在“数与代数”领域的教学提示中提到，数的运算教学应让学生感知数的加减运算要在相同数位上进行，体会数的运算本质上的一致性，同时也要感悟数的运算之间的关系，从而发展运算能力和推理意识。［3］可见，在具体数字运算中进行发现、总结、理解与应用算理也是进行代数推理的可行路径。

小学数学的运算对象主要有整数、小数和分数，这三类数的四则运算看似不同却具有一致性，本质均为计数单位的个数参与运算。其中同一类数的同种运算，其算理和算法更是相融相通的。因此面对同一模块的运算教学，可以让学生大胆猜想，以旧引新，从旧知迁移类推出新知，这个过程不仅有效打通了运算内容之间的联系，更是促进了学生推理意识的发展。例如，苏教版四年级下册的“三位数乘两位数”，作为小学阶段最后一节整数乘法课，教学时可先让学生回顾“两位数乘两位数”的算理和算法，紧接着鼓励学生在此基础上进行类比推理，思考三位数乘两位数又该如何计算。在学生自主探索、明晰算理、掌握算法之后进而抽象概括得出结论：整数乘法，不管是几位数乘几位数，都可以用拆数转化、分别相乘和合并乘积的方法来计算，其背后的原因也是一致的——位值计数思想和乘法分配律。在此基础上，教师引导学生大胆推理四位数乘三位数、四位数乃至五位数笔算的算理与算法，纵横沟通、以旧习新，归纳出多位数乘法的运算方法，实现了多位数笔算乘法的整体建构。

在运算教学中，教师可以在学生积累了大量活动经验的基础上，引导他们从推理的角度将算法从特殊到一般进行归纳总结，感受代数推理的一般方法，顺利实现从“个”到“类”的提升，同时也可以找准契机实现从“类”到“类”的迁移，从而培养学生的归纳推理和类比推理的能力，使小学的算术课堂蕴含丰富的代数特质。

三、聚焦核心内容，问题解决中发展代数推理能力

“一般化”和“符號化”是代数思维的核心，代数思维在小学阶段的学习中有着诸多体现。最为明显的便是小学数学第三学段的“用字母表示数”“正比例”等内容，这些内容向学生展现了代数初步的主要内容，这也正是小学阶段代数推理的核心内容。此部分内容的学习指向初中阶段“数与式”“方程与不等式”“函数”等内容，为后续的进阶学习奠定了良好的基础。

苏教版教材中“用字母表示数”的内容，看似是作为方程的铺垫知识，实则有着丰富的代数内涵。“用字母表示数”的教学除了引导学生知道用字母可以表示某个未知量或变量，更重要的是让学生理解字母所具有的“概括”价值，字母可以将数量关系和变化规律以符号的形式简明地表示出来，且通过符号运算和推理得到的结果具有一般性，而正是这个一般性可以帮助我们说明更多复杂的数学问题。例如，在苏教版五年级下册学习“3的倍数特征”时，以往教学采用的是通过观察、举例、不完全归纳等方式得出结论，这样的学习过程没有真正培养学生的代数思维。此时可以联系在五年级上册学过的用字母表示数，以代数推理的方式来说明“3的倍数特征”。我们可以用字母符号来表示一个数各个数位上的数，如一个数是abcd，则abcd=1000a+100b+10c+d=999a+99b+9c+a+b+c+d=（999a+99b+9c）+（a+b+c+d），因为999a+99b+9c=9（111a+11b+c）=3×3×（111a+11b+c），所以999a+99b+9c是3的倍数。因此，要想abcd是3的倍数，只需a+b+c+d是3的倍数。由此可知，一个数各个数位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。问题解决的过程正是代数推理的过程，是其得以发展的契机。

用符号表示数量、数量关系和一般规律，并且借助符号推理得出一般结论是代数推理的基础，体现出了初步的一般化与符号化，这方面的要求会在初中阶段逐步增强。因此，小学阶段需要教师切实掌握好如“用字母表示数”“正比例”等与初中数学学习有着直接联系的小学数学知识及其本质，尽可能地创造机会引导学生感悟符号表示的一般性，感受符号使用是数学表达和思考的重要形式，从而实现小学数学学习向初中数学学习的平稳过渡。

在《课程标准》加强了学段衔接的背景之下，小学数学教师应该立足小学，胸怀九年，拥有教小学、想初中的意识，了解学生学习的知识基础。同时，还需要“登高眺远”，知晓学生学习的下一站，做好知识和方法的铺垫，积极关注数学核心素养的进阶培养，努力寻找小初衔接教学的平衡点，既不缺位，也不越位，这就是最好的“衔接”！

（作者单位：江苏省苏州工业园区星港学校 本专辑责任编辑：王彬）

参考文献：

［1］陈静. 儿童早期代数思维的渗透与培养——中美小学数学教学比较研究［J］. 教育研究与评论（小学教育教学），2018（02）：8-13.

［2］陈杰. 变革育人方式，落实核心素养——2022年版义务教育数学课程标准内容新变化［J］. 山东教育，2022（28，29）：30-32.

［3］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）［S］. 北京：北京师范大学出版社，2022.04.

本文系江苏省中小学教学研究课题第十四期重点课题“‘完整学习视域下培养小学生推理意识的实践研究” （课题编号：2021JYJC14-ZB20）的研究成果。