学生观察能力在高中数学解题中的应用

高健 谢徽 贾旋

[摘  要] 数学解题中的观察能力强调学生通过观察，把握问题本质，探寻解题规律.将观察能力应用在高中解题中，有利于增强学生的问题解决意识，提高教师的解题教学水平.

[关键词] 解题教学;观察能力;注意点

引言

心理学家巴甫洛夫曾在自己的实验室里贴着“观察、观察、再观察”的标语，正是这种“善于观察”的技能使巴甫洛夫在心理学界取得了伟大的成就[1]. 观察是学生解决问题的突破口，是学生有效解题的重要途径.观察法作为一种重要的学习方法，贯穿数学学习的整个过程. 有效的观察能力不仅可以帮助学生快速发现问题特点、寻找问题突破口，还能促进学生养成良好的解题习惯，提高解题效率. 因此，本文重点阐述学生的观察能力在数学解题中的意义、价值和应用，以及解题教学的注意点，旨在增强学生的问题解决能力，确保师生双边互动的解题教学活动有活力、有效率、有价值.

学生的观察能力在数学解题中的意义、价值

1. 明确解题思路，把握问题本质

“观察”意在全方位地考察事物的形态，明确事物的特征，这种方式不仅为人们发现问题、解决问题提供了重要的基础和前提，而且是增强学生问题解决意识、帮助学生把握问题本质的应有之义[2]. 在数学解题中，学生通过观察已知量与未知量之间的关系、明确条件与问题之间的内在联系，探寻问题解决的突破口，厘清解题思路，在题干隐含的众多信息中寻找有价值的关键因素，筛选最佳的解题途径和方法，以“问题解决”为目的，把握问题本质，提高解题效率，达到事半功倍的效果. 因此，教师应该有意识、有目的，创新引导学生观察题目的特点和规律，使学生把握问题本质、领悟知识内涵.

2. 转变思维方式，促进解法创新

处处留心皆学问，敢于观察、善于观察、精于观察的一个人，既有助于自己在所从事的研究和职业上越走越远，又有利于自己防止半途而废情况的频频发生. 相反，如果一個人只是蒙头研究，对周围的人、事物视而不见，那么他的精神世界必定充满空虚与茫然，犹如井底之蛙，只限于自己狭窄的眼光和视角看待问题，不去观察、不去思考、不去钻研，难以有所创新，最终只会无所成就[3]. 一道高中数学题考查的知识点往往不是单一的，而是多种知识点相互交叉、相互联系，促使其解法也是多种多样的. 此时，学生有效的观察能力便是解决问题的重要法宝，在观察中转变思考方式，在探索中更新陈旧思维，进而促进解法创新.

3. 落实教育价值，提升数学素养

苏霍姆林斯基曾说：“如果说，复习是学习之母，那么，观察就是知识的理解和记忆之母.”[4]解题教学的表层目标是促使学生解决数学问题和提升学生的解题技能，深层目标是加强学生对知识的理解和记忆、突出数学的教育价值和意义. 同时，教学目标的呈现与落实，需要以“问题”为指向、以“情境”为载体，无论是课堂教学还是解题练习，以问题情境为航标更有利于教学目标的达成、教育意义的落实[5]. 近些年，高考试题越来越注重问题情境的创设，以情境为背景激发学生的解题兴趣，以问题为载体培养学生的观察能力，最终凸显数学的科学价值与实用意义，在观察能力的培养中潜移默化地向学生渗透教育本质，提升学生的数学核心素养.

学生的观察能力在数学解题中的应用

1. 局部观察——改变思维方式

整体与局部是两个相对立的概念，但两者互有联系、不可分割. 在数学解题中，局部观察法不失为一个简捷易操作的重要方法，被学生广泛使用. 但大部分学生使用时难以把握问题的本质，对题目的理解深度有所欠缺. 因此，需要教师不断启发和引导，以问题链的方式与学生进行有效互动，帮助学生挖掘题目中的隐含信息，进而找到问题解决的切入点和突破口，明确解题思路，发现问题本质.

例1 设变量x，y均为实数，且实数x，y满足关系式y=，试求log（x+4y）的值.

分析 此题考查的是函数定义域以及对数函数求值，如果仅从整体的角度思考该题，那么短时间内难以发掘有效的解法，因此不妨从局部进行观察. 该题重在求对数函数的值，从问题出发有两种思路：第一，利用条件分别求出x，y的值;第二，利用整体思想求出x+4y的值. 基于此，回归到题目所给的已知条件去分析——条件只有实数x，y以及两者所满足的关系式，此时学生的观察能力的作用将不言而喻，需要学生从局部观察所给的关系式，发现该关系式中隐含着“二次根式的被开方数大于等于0”“分母不能为0”的条件，实则就是以“函数”的视角求该关系式的“定义域”，将定义域求出后问题便迎刃而解. 因此，此题中的关系式是掣肘学生解决该题的瓶颈，需要学生善于通过局部视角进行观察，在观察中明确出题意图，在探究中发现解题突破点.

解析 因为y=，所以64-x2≥0，

x2-64≥0，

x+8≠0，解得x=8. 将x=8代入y=中，可得y=0. 所以log（x+4y）=log（8+4×0）=log8= -1.

大部分学生看到此题时无从下手，归结为两方面的原因：（1）学生难以明了此题考查的知识点以及知识点间的联系，根据问题只知道求对数函数的值，因此容易陷入“只探究x，y的值而不观察已知条件”的泥潭中;（2）学生缺乏观察能力，看到题目就是一味地思考用什么方法去求解，没有形成良好的解题习惯和数学思维. 因此，这也是教师在数学解题教学中应当重点关注和解决的问题.

2. 变形观察——简化解题操作

基于题目自身的特点以及学生日常的学习经验，对于同一道题目，可能有多种不同的解法. 因此，如何引导学生基于观察视角采用简捷易操作的解法，是教师在解题教学中需要解决的一个问题. 特别是代数问题，代数式中所隐含的数量关系与结构，需要学生通过观察、猜想、探究、操作与验证等活动，不断挖掘数量间深层次的代数关系，从而为问题解决找到突破口.

例2 已知△ABC的三边长分别为5，12，13，求△ABC的最大角度.

分析 将此题放在初中、高中两个阶段会出现不同的解法. 若将此题设置在高中阶段的正弦、余弦函数这一章节中，大部分学生会采用余弦定理求解，这种解法虽然可以得到正确答案，但是未免“小题大做”，不仅操作烦琐、浪费时间，而且容易使学生丧失解题的兴趣、限制于大量的计算中. 但是，若将此题设置在初中阶段的勾股定理这一章节中，大部分学生通过观察，可能更多想到的是寻求△ABC三边之间的关系，不难发现52+122=132满足勾股定理的逆定理，可得△ABC的最大角度为90°.

解析 因为△ABC的三边长分别为5，12，13，且52+122=132，满足勾股定理的逆定理，且三角形的内角和为180°，所以△ABC的最大角度为90°.

此题难度并不大，利用勾股定理的逆定理很快便能解决. 基于目前数学高考试题的特点，利用勾股定理及其逆定理求解不乏是一种最简便的方法，然而这种方法不是学生一眼就能看出来的，这需要学生具备细致的观察能力和敏锐的数学感知力. 通过观察数字、转化操作，找到解题的切入点，当再次遇到如“2，，”“2，，3”等勾股数时能够快速找到解决问题的方法，提高做题效率.

3. 实验观察——归纳问题规律

高中数学中的部分題目存在一定的规律，需要学生通过观察、猜想、操作、归纳、检验等进行解决. 一般的解题思路是：第一，从简单情况入手;第二，合理猜想;第三，归纳概括;第四，总结验证. 但是，在实际求解过程中，大部分学生遇到规律性问题时，过于注重题目本身，只知其然而不知其所以然，难以快速揭露问题的本质，感觉题目抽象复杂，无从下手. 因此，在此类问题的求解教学中，教师应注重引导学生“善于观察、合理猜想、学会归纳”，以“观察”带动学生合理猜想，以“猜想”引导学生总结归纳.

例3 一个人在一片平整的土地上种蔬菜，现需要将土地进行划分，他发现在一个平面上，1条直线可以将平面分成2个区域，2条互不平行的直线可以将平面分成4个区域，那么3条互不平行且不共点的直线可以将平面分成多少个区域？4条？5条？20条？n条呢？（任何3条以上的直线不共点，区域不需要互相平分）

分析 此题很明显是一个探寻规律的问题，需要学生通过实验观察，不断猜想归纳、总结验证，进而得出一般的表达式，实则也是渗透学生代数思维的一种手段. 以一张草稿纸作为一个平面，在草稿纸上画1条直线，很显然可以将草稿纸分成2个区域;在草稿纸上画2条互不平行的直线，可以将草稿纸分成4个区域;在草稿纸上画3条互不平行的直线，可以将草稿纸分成7个区域;在草稿纸上画4条互不平行的直线，可以将草稿纸分成11个区域……通过归纳总结，可得n条互不平行的直线可以将平面分成个区域. 教师可以把规律性习题的探究作为培养学生观察能力的手段，注重在归纳总结中提升学生的数学思维，帮助学生感悟数学的本质，进而体现数学教育的价值和意义.

解析 因为1条直线可以将平面分成2个区域，则标为f（1）=2;2条互不平行的直线可以将平面分成4个区域，则标为f（2）=4;3条互不平行的直线可以将平面分成7个区域，则标为f（3）=7;4条互不平行的直线可以将平面分成11个区域，则标为f（4）=11;以此类推，可得f（5）=16，f（6）=22，等等.

如图1所示，可知f（2）-f（1）=2，f（3）-f（2）=3，f（4）-f（3）=4，f（5）-f（4）=5，…，即f（n）-f（n-1）=n. 通过“叠加法”可得f（n）-f（1）=2+3+4+5+…+n，所以f（n）=2+2+3+4+5+…+n=1+1+2+3+4+5+…+n，所以f（n）=1+=.

解析此题，先引导学生观察1条直线、2条互不平行的直线、3条互不平行且不共点的直线划分平面得到的区域个数，然后以函数“f（n）”的形式进行表述，接着将相邻两项相减，利用“叠加法”得到“f（n）-f（1）”的恒等式，最后化简求出f（n）的表达式. 通过观察发现、猜测探究、类比归纳、总结验证，学生很快获得解题思路，突破问题难点，找到数与形的规律，促进问题的解决. 如果抛弃“观察”，在草稿纸上画直线数数，那么会导致学生陷入无止境的画图泥潭中，不仅会淡化问题的本质，还会增加问题解决的烦琐，最终致使学生丧失问题探究的兴趣.

解题教学的注意点

1. 以基础知识为基石，观察与猜想相融合

在高中数学解题教学中，教师应当注重学生基础知识的牢固性，确保学生敏锐、机智的观察能力建立在扎实的数学基础知识上. 学生的知识经验越丰富、基础知识越牢固，学生通过观察就更容易发现问题解决的突破口，其猜想也会更加趋于科学性、合理性、准确性. 相反，若学生的基础知识不扎实、认知经验不足，则学生容易“只看点不看面”“只看问题不抓本质”“只求答案不学技巧”. 因此，教师应当深入了解学生的知识水平以及认知经验，在此基础上引导学生善于观察、敢于猜想，不断向问题解决的突破口的边缘趋近.

2. 以发散思维为方法，观察与思考相促进

在高中数学解题教学中，无论是基于题目自身的结构特点，还是基于学生做题的思维习惯，教师应当注重学生思维发散的层次性、顺序性，强调学生在观察中发散性地思考，在思考中有针对性地观察[6]. 同时，一道题目通过观察，可能有多种不同的解法，教师应当鼓励学生寻求自身容易理解、容易掌握的方法去解题，不可贪多、贪全，确保学生将自己最擅长、感兴趣、容易理解和掌握的“一类题目的解法”在头脑中形成清晰稳固的图示，以便后续遇到类似的题目时，能够迅速挖掘头脑中储存的关键信息，快速输出和应用.

3. 以反思总结为手段，观察与概括相依存

近年来，高考数学试题卷中所呈现的题目，越来越区别于往年题目的特点，“题量大、时间不够、学生难以完成”的感慨越来越多[7]. 基于此，教师应向学生强调观察的技巧和方法，摒弃以往只会扫荡式地从题目中挖掘与之相关的数学知识进行解题的习惯，引导学生细致观察、合理联想、科学猜想，以“观察—联想—猜想”的思维方式反思每一道习题[8]，在反思中完善解题方法，在总结中提升解题技能，不断弥合以往解题的思维偏差和不良习惯，将每次的观察与反思总结相关联，进而减少解题的障碍、思维方式的限定、方法技巧的局限，逐步提高解题效率，达到事半功倍的效果.

总结

数学解题技能的提升需要以敏锐的观察能力为前提，而观察能力的意义和价值要在数学解题中得以落实和肯定. 因此，教师基于学生的观察能力开展数学解题教学时，应建立在学生稳固的基础知识上、发散的思维方式和深刻的反思总结中，鼓励学生从生活经验和认知结构出发进行观察，逐步产生创新性的解题思路和方法，帮助学生深刻体会数学的应用价值和科学意义.

参考文献：

[1] 郑家湘，刘芸. 数学解题教学中学生观察能力的培养[J]. 潍坊工程职业学院学报，2010，23（05）：102-103+105.

[2] 丁益祥. 解题教学与观察能力的培养[J]. 数学通报，1993（11）：20-23.

[3] 夏恒. 观察能力与数学解题[J]. 数学通报，1988（10）：11-13.

[4] 苏霍姆林斯基. 给教师的建议[M]. 赵聪，译. 长沙：湖南人民出版社，2021.

[5] 赵群，夏小刚，李贤慧. 对问题情境教学的认识与反思——以“直线与平面垂直的判定”教学为例[J]. 中国数学教育，2021（22）：47-50.

[6] 袁如标. 刍议数学观察能力的培养[J]. 高中数学教与学，2021（20）：11-13.

[7] 张德立. 高中生数学观察能力的培养[J]. 玉溪师范学院学报，2011，27（12）：62-63.

[8] 易南轩. 在解题中如何培养学生的观察能力[J]. 数学通报，1990（09）：13-15.