建数学模型 抓数学本质 现生活原型*
——以“销售中的盈亏”教学为例

⦿山东省淄博市临淄区淄江中学 戴佳珉

⦿山东省淄博市临淄区教学研究室 单熙文

1 课前分析

1.1 学情分析

七年级阶段,学生已经学习了有理数和整式的有关知识,也学习了一元一次方程的简单列法和解法.由于学生的思维刚刚从经验型向理论型发展,对于如何用数学的观点来解决实际问题,即如何将实际问题抽象概括为数学中的方程问题是学生学习的难点,因此培养其模型意识与模型思想是本节课的重点.

1.2 教学思路分析

本节课基于整体设计思路,通过创设生动有趣的情境,在学生乐学的过程中,也渗透了人文关怀,知识和建模两条主线并举前行,实现最终的教学目的.

知识主线(明线):通过建立利润问题的应用模型和用一元一次方程解决实际问题的模型,学生可以解决销售中的盈亏问题.

思想主线(暗线):通过问题情境导入新课,让学生在情境中建立利润问题的应用模型、用一元一次方程解决实际问题的模型、用方程解决实际问题的模型,使模型真正成为一种思想,成为学生解决现实生活问题的有力抓手.

2 课堂简录

2.1 创设情境,凤举鸾翔

师:中国队在2022年北京冬奥会上,拿到了9块金牌、4块银牌、2块铜牌,一共15块奖牌,创造了单届冬奥会夺金纪录、单届冬奥会夺牌纪录,而且这一届冬奥会,中国队也创造了亚洲国家最好的成绩.图1是奥运健儿的领奖服,若超市中吊牌价是500元,为了促进销量,如果你作为商店老板,遇到这种情况应该如何处理?

图1

生1:商店老板应该打折处理商品.

引入课题：销售中的盈亏

教学说明：数学教育承载着落实立德树人根本任务、实施素质教育的功能[1].建立此情境一是培养学生的民族自豪感,把育人通过情境潜移默化地渗透,同时激发学生的学习兴趣;二是让学生体会随着市场经济的发展,数学与经济活动越来越密切,让学生置身于解决问题的情境中,使学生体会到数学来源于生活又服务于生活,引导学生用数学的眼光看待世界.

2.2 探索新知,群凤和鸣

2.2.1 探究1:我们也当一回老板

作为老板,如果这件标价为500元的领奖服打七折.

问题1这件领奖服卖了多少钱?

生2:500×70%=350(元).

文字语言:标价×折扣率=售价.

问题2领奖服进价300元,赚了多少钱?

生3:350-300=50(元).

文字语言:售价-进价=利润.

问题3你卖这件领奖服的利润率是多少?

在此过程中,让学生明确“进价”即“成本”,“标价”即“原价”“定价”,“售价”即“成交价”“买价”,“利润”分“盈利”与“亏损”等.

教学说明：学生在学习过程中往往会被各种名称所困扰,因此这一环节显得尤为重要.教学中,要让学生从纷繁复杂的世界中学会数学的表达形式,从实际问题中抽象出符号语言,再从符号语言到文字语言的总结,让学生经历知识的发生、发展过程.通过数学的语言,可以简约、精确地描述自然现象、科学情境和日常生活中的数量关系与空间形式;能够在现实生活与其他学科中构建普适的数学模型,表达和解决问题;形成数学的表达与交流能力,发展应用意识与实践能力[1].由此让学生能够更加理解数学,建立利润问题的模型.

师:假如你在出售这件奥运会领奖服时,打了3折,那么售出这件衣服后是盈利还是亏损呢?

生5:判断是盈利还是亏损需要看利润,利润为正是盈利,利润为负是亏损.

生6:利润为零是既不亏损也不盈利.

生7:于是我们发现

师:总结得非常好,把握好这个规律之后,请大家打打自己的小算盘吧.

教学说明：通过对利润、盈利、亏损三者关系的再分析,从感性到理性自然地掌握销售中的等量关系,并逐步突破重点,为以后的学习打下基础.正所谓“随风潜入夜,润物细无声”.

2.2.2 探究2:打打你的小算盘

问题4(1)进价为80元的篮球,盈利了30%,则售价为.

(2)进价为80元的篮球,亏损了30%,则售价为.

问题5某商店将电视机以3 600元的价格卖出,其中盈利20%,其成本价是多少?

除此之外,还应注意文字语言与符号语言之间的转换,以及公式的变形,以上两个问题就用到了.如,售价=进价+利润,利润=进价×利润率,这两个公式都是对原有公式的变形.

师:以上同学们的展示非常精彩,老师为你们的表现感到高兴.上面我们就是用刚刚建立的利润问题的数学模型,解决了现实生活中的实际问题.

教学说明：探究1和探究2都是关于成本价、售价、利润等之间的问题,题目设计有梯度,循序渐进,为下一环节做好铺垫,从而突出重点,分散难点.

2.3 提升领学,凤翔九天

问题6某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服,其中一件盈利25%,另一件亏损25%,分析给出的信息,我们可以猜测盈亏情况吗?

根据学情猜测,提出新问题:两件商品售出后的盈亏情况是怎样的?

教学说明：提出这样的开放性问题,时刻提醒学生不要被表面现象所蒙蔽,培养其创新意识,这样有助于学生形成独立思考、敢于质疑的科学态度与理性精神.

师:大家的猜测各有不同,那到底是什么呢?大家需要透过现象看本质,利用所学数学知识来解决这个问题.

问题7某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服,其中一件盈利25%,另一件亏损25%,卖这两件衣服总的是盈利还是亏损,或是不盈不亏?

生9:卖这两件衣服是盈利还是亏损,取决于这两件衣服的售价和进价,若售价大于进价,就盈利,反之就亏损.现已知这两件衣服总售价为60×2=120(元),需要求出这两件衣服的进价.

本问题中,设盈利25%的那件衣服的进价是x元,则它的利润就是0.25x元.根据进价+利润=售价,列方程得x+0.25x=60,解得x=48.

类似地,设另一件衣服的进价为y元,则它的利润是-0.25y元.根据相等关系,列方程得y-0.25y=60,解得y=80.

两件衣服进价共128元,而两件衣服的售价和为120元,进价大于售价,由此可知卖这两件衣服总的盈亏情况是亏损8元.

师:解方程后得出的结论与你之前的猜测一致吗?

大多学生会认为一件盈利25%,一件亏损25%,结果不盈不亏,但是通过学生应用模型的意识,利用建立的利润问题模型透过现象看本质,正是“盈”与“亏”的矛盾冲突,推动了事物的进一步发展,从而获得解决问题的方法——用一元一次方程模型解决现实生活中的盈亏问题.当学生真正拿起数学的“武器”验证前面的猜测时,不管所验证的猜测正确与否,都能让学生意识到数学是解决生活中实际问题的有力工具,激发学生学习兴趣,引导学生批判性地看待问题,培养大胆质疑解惑的能力.

教学说明：顺承猜测,而成本题.

2.4 课堂小结,升华自我

师生共同提炼.

模型一：

生10:(1)标价×折扣率=售价;

(2)利润=售价-进价;

生11:售价=利润+进价;进价=售价-利润.

师:回答得都很正确,看似我们学习了很多知识,实际上都是由一个公式变形而来的.学习的时候抓住数学的本质可以做到以不变应万变,这样学起来会很轻松.

生12:生活当中有很多盈利与亏损的例子.

师:这就是数学来源于生活,又服务于生活.

生13:我们要透过现象看本质,一元一次方程会帮我们解决很多生活中的问题.

生14:……

师:你们的回答很精彩.最后,老师也希望大家都能不被生活中的现象所迷惑,都能运用数学知识抓住事物的本质,利用方程解决生活中的问题.

进而提炼模型二(如图2)与模型三(如图3).

图2

模型二：

模型三：

教学说明：总结不是简单的知识罗列,而是对知识进行巩固、归纳、重新建构的过程.通过师生共同总结,贯穿整节课的模型思想也呼之欲出,对于整个教学过程来说,它起到“画龙点睛”的作用.

3 教学思考

3.1 体现建模思想

本节课是三级模型逐级建构,具体如下:

(1)一级模型——利润公式模型建构

本节课中2022年北京冬奥会领奖服的销售背景,让学生会用数学的眼光观察现实世界,从数学角度思考真实情境中销售问题的标价、折扣率、售价、进价、利润率之间的等量关系,经历运用方程解决销售中盈亏问题的过程,进一步体会方程是刻画现实世界数量关系的有效数学模型.

(2)二级模型(如图2)——用一元一次方程解决实际问题模型建构

解决实际问题的过程是将实际问题转化为数学问题,通过分析数学问题中的数量关系,将数学问题转化为一元一次方程,再通过解方程、检验等环节得到实际问题的解.

因此,解决实际问题的一般步骤为:审、设、列、解、验、答.从“审”到“列”再到“答”的过程是从“文字语言”到“符号语言”再到“文字语言”的过程,这也是“数学来源于生活又服务于生活”的真实写照,让学生体会这一过程,有助于丰富头脑,升华模型意识,开阔眼界.

(3)三级模型(如图3)——用方程解决实际问题模型建构

站到更高的高度再来看本节课,二级模型中的“一元一次方程”,放到整个初中数学视域可将其替换为“方程”,方程不仅包括初一所学的一元一次方程,还包括将来要学习的二元一次方程组与一元二次方程,更包括未来学习的其他方程.

在此过程中,笔者从整体建构本节课,让学生经历“建模”“用模”“升华模型”的过程,使“模型”不再是简单的公式,而是一种思想——模型思想;同时,培养学生客观公正看待事物的习惯,使得学生会用数学的眼光观察现实世界,会用数学的思维思考现实世界,会用数学的语言表达现实世界.

“建模”“用模”“升华模型”的过程是思维升级的过程,是以小见大的过程,是既见树木又见森林的过程,也是解决实际问题的有力抓手.

3.2 体现育知育人

一节好课不仅是一节妙趣横生的课,更是一节拔节生长的课,它不仅能教会学生知识,更能起到育人之效.通过创设生动有趣的情境,激发学生的爱国主义热情,培养学生永不放弃、勇于探索的精神,连续提问,持续引发学生思考,提升思考力,让学生养成知其然并知其所以然的习惯;通过本节课的情境与探究2高潮部分,学生从本质上认识销售中的盈亏模型,并学会辩证地看待周围的事物,用好方程这一有力的数学模型,在现实生活中能够不被表面现象所迷惑,学会透过现象看本质.