学程重构:指向发展初中生数学高阶思维的实践研究*
——以“函数”单元教学起始课为例

⦿江苏省盐城市鹿鸣路初级中学 陆丽萍

史宁中教授认为,数学教育的关键在于发展思维,尤其是高层次的思维,培养用数学的思维思考世界的素养.高阶思维不是教师“教”出来的,而是学生自己“学”出来的.只有把“灌输”“填鸭”式的教学转化为学生自己的“学”,通过自我建构,深度学习才会发生,高阶思维才能形成.

以课堂教学为主线,以学生的学习过程为核心,注重学习建构理论的精炼,建立一个完整的单元式教学架构,并探索如何让学生学会学习、学会思考,让学生用联系的观点去理解知识,发展高阶思维.注重数学教学中的问题意识,构建互动生成的学本课堂,把学习的主动权还给学生,让师生、生生的互动贯穿课堂.伴随着这种“互动”,学生的问题意识会愈来愈强烈,创新意识也会得到进一步培养,进而核心素养也会得到发展.

笔者在苏科版数学教材“函数”单元起始课的教学中,对学程重构有一些收获与思考,在此总结出来,希望对初中数学同行能够起到抛砖引玉的作用.

1 以“问”为先,发展高阶思维的深度

1.1 创设情境

教师到学校之前,先到加油站加油.

情境1:在加油站拍摄的画面如图1,在加油机给汽车加油的过程中,涉及几个量?哪些量保持不变?哪些量是变化的?

图1

情境2:加完油,在汽车行驶的过程中,哪些量保持不变?哪些量是变化的?

情境3:汽车油箱中原有油40 L,行驶过程中每小时耗油5 L,若行驶的时间为xh,油箱中剩余的油量为QL.行驶过程中哪些量是变化的?哪些量没有变化?

在以上三个情境中出现的量,有些量保持不变,有些量发生变化,为了区别这两种量,我们把它们分别叫做常量和变量.在某一变化过程中,数值保持不变的量叫做常量.在某一变化过程中,可以取不同数值的量叫做变量.

找一找:(1)在圆的周长公式C=πd中,常量是,变量是.

(2)若弹性测力仪原来的长度为10 cm,每1 kg的重物使弹簧伸长0.5 cm,则含重物质量m(单位:kg)的弹簧测力仪的长度为l(单位:cm),常量是,变量是.

师:判断一个量是常量还是变量,需要看两个方面.①看它是否存在于一个变化过程中;②看它在这个过程中的取值情况.

说一说:你能举出生活中某些变化的例子吗?并指出其中的常量和变量.

1.2 探索活动一:感受新知

探究1：生活中存在许多常量和变量,例如,水库蓄水的问题.

已知水库(如图2)的水位与蓄水量情况如表1所示:

表1

图2

表1中有哪些量?它们是常量还是变量?水位高低与水库的蓄水量有什么关系?

这些数据已让我们更清楚地感受到这两个量的变化.根据这些数据可以判断当水位高度一定时蓄水量确定吗?

对于给定的每一个水位,蓄水量都有几个值与它对应?

对于给定的每一个水位,蓄水量都有唯一的值与它对应.因此,工作人员可以根据测得的水位,及时报告水库蓄水量.

探究2：老师看到水库里小鱼游来游去,想到一个搭小鱼的游戏.

如图3,搭一条小鱼需要几根火柴棒?搭两条呢?搭三条呢?你有什么发现?

图3

你能说出我们搭小鱼过程中的常量和变量吗?

火柴的根数s与小鱼的条数n这两个变量间有什么关系?这两个变量有怎样的内在联系呢?

请同学们用刚才分析问题的方法思考一下!

按这样的方式,如果想搭4条小鱼,需要多少根火柴棒?你有什么发现?

在搭小鱼的过程中,当小鱼条数确定时,所需火柴的根数确定吗?

设小鱼条数为n,火柴根数为s.n=1时,s=8;n=2时,s=14;n=3时,s=20;小鱼条数为n时,s=8+6(n-1).

给定小鱼的条数,所需火柴根数对应几个值?小鱼条数每取一个值时,所需火柴的根数就有唯一的值与它对应.

探究3：波纹问题.如图4,在平静的水面上掷一枚石子,会形成波纹.变化中的波纹可看作是一个不断向外扩展的圆.

图4

这个过程中,变量有哪些?请你尝试描述变化中圆的面积与其半径大小之间的关系.

如果圆的半径是10 cm,那么圆的面积确定吗?唯一确定吗?圆的面积随半径的变化而变化,当半径确定时,圆的面积也随之确定.当半径每取一个值时,圆的面积就有唯一的值与它对应.

2 以“学”为本,重构高阶思维的学程体系

2.1 归纳变化过程中的共同特征,抽象出函数概念

小组交流:回顾上述几个生活实例,尽管它们反映的实际问题不一样,但是具有一些共同点,你能找出来吗?这些变化过程有哪些共同之处?(和小组同伴交流,共同完成.)

上述三个实际问题的共同点:都有两个变量,可用x,y来表示;其中一个变量随另一个的变化而变化;当x取定一个值时,y都有唯一确定的值与之对应.

当一个变化过程中两个变量具有上述基本特征时,我们就说它们之间具有函数关系.

抽象得到函数的概念:一般地,如果在一个变化的过程中有两个变量x和y,并且对于变量x的每一个值,变量y都有唯一的值与它对应,那么我们称x是自变量,y是x的函数.

回头看前面的实例,现在可以用函数的思想来理解其中两个变量间的关系了吗?

在水库蓄水过程中,蓄水量是水位的函数;在搭小鱼的过程中,所用火柴根数是小鱼条数的函数;在波纹逐渐变化的过程中,圆的面积是半径的函数.

2.2 探索活动活动二:巩固新知

同学们的思维真活跃,说明大家对函数已有了一定的认识,让我们在熟悉的问题中进一步加深对函数的理解.

探究4：观察图5中的程序,当x=1时,对应y的值是?当x=2时,y的值是?当x=-1时,y的值是?这个变化过程中,有几个变量?是哪几个变量?

图5

输入一个实数x,便可输出一个相应的实数y,请问y是x的函数吗?

如何判断呢?要看是不是两个变量,一个变量随着另一个变量的变化而变化,当一个变量确定时,另一个变量也随之确定.

3 以“创”为准,实施高阶思维的育人策略

小组活动:如图6,用10 m长的绳子围成长方形.在这个背景下,你能设计出存在函数关系的问题吗?

图6

上述每个问题中的两个变量都是互相联系的,当其中一个变量取定一个值时,另外一个变量都有唯一确定的值与之对应.

小结提升:学习了本节课,你对函数有怎样的认识?你还有哪些疑惑?

我们生活在变化的世界里,函数揭示了变量之间的关系.世间万物皆相通,事件前后皆因果.希望同学们能用数学的眼光观察世界,用数学的思维思考世界,用数学的语言表达世界.学好函数,用好函数.将使我们一生受益.