问渠哪得清如许，为有源头活水来
——谈抽象函数中的单调性应用技巧

■乐和顺

抽象函数通常是指没有给出具体的函数解析式,只给出了其他一些条件(如函数的定义域、经过的特殊点、解析递推式、部分图像性质等)的函数。抽象函数是高中数学的难点,也是高中与大学的一个知识衔接点。因为抽象函数没有具体的解析式,所以判断或应用其单调性时就比较困难。下面就几类常见的抽象函数的单调性的应用技巧,进行实例剖析。

一、单调性定义的巧妙应用

根据函数单调性的定义,函数单调性判断的“三部曲”:任给定义域内的两个值x1,x2,并规定它们的大小;比较两处函数值的大小(常规方法是作差);根据定义产生结论。

例1 已知定义在R 上的函数f(x),对任意实数x、y,恒有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0 时,f(x)<0。求证:函数f(x)在R 上是减函数。

分析:利用函数单调性的定义,按照三个步骤进行分析与证明。

证明:设x1,x2∈R,且x1>x2,则x1-x2>0。

由已知条件知,当x>0时,f(x)<0,所以f(x1-x2)<0。

因为f(x1)-f(x2)=f[(x1-x2)+x2]-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2)<0,所以f(x1)

抽象函数的单调性问题,可通过抽象函数的分析,结合函数单调性的定义求解。解决抽象函数的单调性问题的关键是把x1写成,或把x1写成(x1-x2)+x2的形式进行变形分析与处理。

变形练习1:已知f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且当x>1时,f(x)>0。对于一切实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y),求证:函数f(x)在(0,+∞)上是增函数。

二、结合奇偶性的应用

函数的单调性与奇偶性是函数的两个重要性质,它们之间相辅相成,又有区别与联系,利用函数的单调性与奇偶性,可以巧妙地处理一些相关的抽象函数问题。

分析:根据函数的单调性的定义,结合奇函数的性质加以判断。注意利用单调性的定义时,x1,x2的取值要结合对应的区间加以选取。

任取x1,x2∈(-∞,0),且x1-x2>0。

因为y=f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f(x)<0,所以f(-x2)

因为y=f(x)是奇函数,所以f(-x2)=-f(x2),f(-x1)=-f(x1),所以f(x2)

本题容易出现的错误是:在区间(0,+∞)上任取x1,x2且x1

变形练习2:已知函数f(x)是R 上的奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,证明函数f(x)在(-∞,0)上也是增函数。

提示:任取x1,x2∈(-∞,0),且x1-x2>0。

因为f(x)是R 上的奇函数,所以

f(-x1)=-f(x1),f(-x2)=-f(x2)。①

由f(x)在(0,+∞)上是增函数,可得

f(-x1)>f(-x2)。 ②

把①代入②得f(x1)

三、实际问题的创新应用

函数的单调性是函数的重要性质之一,函数的单调性在比较大小、求函数的值与最值,以及求参数问题都有广泛的应用。

分析:抽象函数在特定区间上的最值问题,要根据其相应区间的单调性加以分析与求解。本题中只给出x>0时的情况,这时要结合已知条件,先判断函数的奇偶性,再求出最值。

令x=y=0,则f(0)=0。令y=-x,则f(x)+f(-x)=f(0)=0,即f(x)=-f(-x),所以函数f(x)为奇函数。

对任意x1,x2∈R,且x10,所以f(x2-x1)<0。

因为f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0,所以f(x1)

因为f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=-2,所以f(-3)=-f(3)=2,所以函数f(x)在区间[-3,3]上的取值范围为[-2,2],所以函数f(x)在区间[-3,3]上的最大值为2,最小值为-2。

抽象函数在单调区间上的最值问题,可利用函数单调性的定义,结合函数的奇偶性加以解决。

变形练习3:已知函数y=f(x)在区间(-1,1)上是减函数,且f(1-a)-f(2-3a)>0成立,求实数a的取值范围。

提示:由f(1-a)-f(2-3a)>0,可得f(1-a)>f(2-3a)。