分段函数“题型”剖析

■王 飞

分段函数是“自变量取不同范围时所使用的解析式不同”,于是,求解分段函数要时刻盯着自变量的范围是否发生变化,即“分段函数——分区间研究其性质”。

题型1:分段函数的求值问题

分段函数求值,可依据自变量的值,选择对应的解析式求值。当自变量不确定时,先合理分类,再利用区间上的解析式求值。

题型2:分段函数的复合函数求值问题

分析:求f[g(π)]的值,需认清由内向外的顺序,合理选择区间上的解析式求值。

解:因为π 为无理数,所以g(π)=-1。又-1<0,所以f[g(π)]=f(-1)=-2。

分段函数的复合函数求值,注意由内向外的复合过程,每一次都由自变量的范围合理选择区间上对应的解析式求值。本题先求g(π)的值,再求f[g(π)]的值。

题型3:分段函数的不等式问题

分析:求f(a)>3,需依据a的取值范围选择解析式,这就要对a进行分类讨论,利用f(a)构建不等式组,最后求并集。

求分段函数的不等式,关键是先利用区间上的解析式,对整体变量进行合理分类,构建不等式组,再求并集,凸显了“先分后合”的分类方法。

题型4:分段函数与实际应用问题

例4 某单位为鼓励职工节约用水,有如下规定:每位职工每月用水量不超过10m3,按3元/m3收费;用水量超过10m3,超过部分按5元/m3收费。某职工某月缴水费55元,则该职工这个月实际用水量为____m3。

分析:先设出职工的月实际用水量,由题设构建所交水费与用水量的分段函数,借助分段函数的函数值构建方程,再求对应的用水量。

解:设职工的月实际用水量为xm3,所缴水费为y元。 结合题意可得y=

在阅读理解的基础上,构建分段函数模型是解题的关键。解题的难点是“当x>10 时,y=30+5(x-10)”的应用。

题型5:分段函数的单调性问题

分段函数由区间单调到R 上单调,既要考虑“同步单调”,也要考虑分界点处的函数值的大小关系。

题型6:新定义的分段函数问题

致图像,如图1所示。

图1

关于x的方程f(x)=m有三个互不相等的实数根x1,x2,x3,即函数f(x)的图像与直线y=m有三个不同的交点,所以0

解答本题的关键是由新定义的运算法则得到函数