在转化中融会贯通 在探究中深度理解
——以北师大版数学五年级（上册）“打扫卫生”一课的教学为例

文/白 灵

学生面对的各种数学问题可以简单地分为两类：一类是直接运用已有知识便可顺利解答的问题；另一类是不能直接运用已有知识解答的问题。对于后者，学生往往需要不断转化形式，把它归结为能够解决的问题，这就是转化思想。通过本节课的学习，学生需要掌握小数除法的计算方法，提高应用四则运算解决实际问题的能力，达到对算理的深度理解。

一、课前思考

小数除法可以解决整数除法中不能解决的问题，而除数是整数的小数除法又是学习小数除法的基础。这部分内容的基本教学思路是让学生经历从直观运算到算法运算的探索过程，也就是从借助小数的现实模型“元、角、分”进行直观运算，过渡到脱离直观进行竖式运算。竖式计算的探索能帮助学生深刻感悟从未知转化为已知的思维方式，因此本节课的关键词为“转化”。那么，如何把除数是整数的小数除法转化为整数除法呢？如何借助直观现实模型，让学生理解除数是整数的小数除法可以转化为整数除法来进行计算呢？如何让学生最终达到理解除数是整数的小数除法的算理，掌握除数是整数的小数除法的算法呢？

二、教材分析

“打扫卫生”是北师大版数学五年级（上册）第一单元“小数除法”的第二课，主要研究小数除以整数，除到被除数末尾有余数需要添0 后继续除，以及整数除法中含有余数，能够继续除的问题。这部分内容的教学主要是引导学生探索除数是整数，需要在余数中补0 的小数除法的计算方法，并结合“元、角、分”的背景理解补0 的意义。

针对本节课的内容，北师大版教材结合问题解决的过程安排了三个问题：（1）解答“18.9÷6”，借助元、角、分的生活经验和前一节课的学习经验，理解小数除法的计算过程；（2）借助元、角、分理解小数除法竖式计算的过程，理解算理，解决余数补0 的问题；（3）动态呈现学生解答“26÷4”的学习过程，解决整数除法中含有余数，如何继续除下去的问题。

三、学情分析

“打扫卫生”一课是在学生学习了解决除到被除数的末尾无余数，商不需要补0 的情况后进行学习的。前一节课的学习提供了知识基础和活动经验，为本节课的学习奠定了基础。

学习本节课时，由于对算理理解不深刻，学生经常会把商的小数点点错位置或漏点，对“商的小数点要与被除数的小数点对齐”这一知识点也是机械套用，似懂非懂。为突破此难点，在教学中，教师要引导学生弄清楚关键问题：在小数除法中，商包含整数部分和小数部分，商的整数部分就是被除数除以除数的整数部分的结果，是已学过的整数除法，所以商的小数点要与被除数的小数点对齐；商的小数部分是余数部分除以除数所得的结果，计算的策略仍沿袭整数除法的策略，即高一级的计数单位不够除时，就要对计数单位细分，转化为低一级的计数单位继续除，直至得到结果。所以，小数点的作用就是指出个位的位置。

四、学习目标

（1）结合情境，探索除数是整数的小数除法（被除数需要补0 后继续除）的计算方法，并能正确进行竖式计算。（2）借助已有知识，理解在余数中补0 的意义，渗透转化的数学思想。（3）在解决简单问题的过程中，能结合具体情境进行小数除法的估算。

五、教学重点

引导学生理解并掌握小数除以整数（除到被除数末尾有余数，需要添0 后继续除）的计算方法，以及整数除法中含有余数，能够继续除下去的问题。

六、教学过程

（一）情境聚焦，提出问题

“学校要进行大扫除，班委会买回来这么多清洁工具（如图1）。看一看，你能提出一个用除法解决的数学问题吗？”

图1

在学生表达的过程中，教师应鼓励他们把话说完整，同时将问题逐条写在黑板上。

设计意图：用贴近学生生活的情景引入，直接清晰，便于学生在整理信息、提出问题的过程中迅速聚焦本课的研究问题。

（二）尝试探究，展示分享

1.探究小数除以整数（除到被除数末尾有余数，需要添0 后继续除）的计算方法

核心问题：买6 把笤帚共花了18.9 元，每把笤帚多少元？

（学习方式：尝试估算→独立精算→交流分享→回顾小结）

（1）独立列式，尝试估算。

（2）每把笤帚的价格在3～4 元之间，那到底是多少元呢？独立算一算，将你的想法记录在学习单上，把你是怎样转化的用铅笔标出来。学生呈现如下：

（3）学生完成后进行全班交流，教师在巡视过程中关注不同算法，可以按以下顺序进行展示。

展示1：利用“元、角、分”的现实模型计算。

追问：0.9 元也是9 角，这里为什么要转化为90分而不是9 角呢？

小结：当把“元”转化成“角”做单位依然不能整除时，可以转化成“分”做单位，也就是转化成更小的计数单位，可以继续除下去，如下所示：

展示2：借助前一节课的学习经验，呈现竖式计算的一部分。

追问1：这里的余数“3”表示什么？

追问2：当“3÷6”除不尽时，可以转化为更小的计数单位继续除，想一想，怎样继续算下去？

追问3：结合刚才的转化过程，继续算一算。

（4）通过精确计算，得到每把笤帚3.15 元，对比估算的结果，你有什么发现？

（5）通过探索，当竖式计算出现余数时，怎样就能继续算下去？

小结：遇到除不尽时，在余数的后面添0 后继续除，实际意义就是将余数转化为更小的计数单位，继续除下去。

设计意图：在解决问题的过程中，注重让学生经历小数除法计算方法的探究过程，在交流的过程中，引导学生把算法表述清楚，并及时抓住关键处追问，让学生感受转化思想的重要意义和作用。

2.探索整数除法中含有余数，能够继续除下去的问题

核心问题：4 个簸箕共26 元，每个簸箕多少元?

（学习方式：独立计算→交流分享→算法对比→回顾小结）

（1）独立列式，用竖式算一算。

在学生独立完成后，教师展示以下错误算法：

追问1：“每个簸箕65 元”为什么不对？

追问2：这个竖式哪里出了问题？

追问3：通过上节课的学习，我们知道商的小数点要和被除数对齐，这里的被除数没有小数点，是不是不需要对齐？

（2）你能借助“元、角、分”的现实模型，用横式记录计算的过程吗？

（3）观察横式和竖式（如图2），说一说它们之间的联系。

图2

小结：原来这两种方法是相通的，竖式和横式都记录了我们计算的过程，只是记录的方式不同而已。

（4）整数除法计算时，五年级探讨的竖式计算，与二年级用竖式计算有什么不同？

（5）整数除法有余数时，如何继续除下去？

小结：整数除法有余数时，也可以在余数添0 继续除，商的小数点和被除数的对齐，小数点隐藏在个位的右下角。

设计意图：在解决问题的过程中，学生在上一环节已经积累了在余数补0 继续计算的经验，能继续算下去。教师顺着学生思维不断追问引发思辨，引导学生发现横式和竖式计算之间的联系，使他们加深对竖式计算算理的理解，逐步突破小数除法计算的难点。

（三）巩固内化，融会贯通

练习1：独立思考，个别汇报、交流（如图3）。

图3

练习重点：（1）关注学生的估算意识，有意识地让学生先估算再精算，提高学生的估算能力，培养学生的数感；（2）鼓励学生再次经历探索除数是整数的小数除法的计算方法的过程，使学生能结合情境解释除数是整数的小数除法竖式的实际含义，加深理解。

练习2：独立完成，同桌说一说竖式中每一步的意思（如图4）。

图4

练习重点：加深对除数是整数的小数除法竖式的理解。

设计意图：练习部分完全采用教材中的习题，在交流和汇报的环节，关注学生对算理的理解，给学生足够的时间，让学生在练习中充分了解“在哪里添0”“为什么可以添0”“添0 之后怎么继续算”等问题，帮助学生继续感受转化思想的普遍意义，实现算理和算法的真正融通。

（四）归纳总结，问题延伸

问题：同学们，通过今天的探索，你有什么收获？你对小数除法有了哪些新的认识？你还有哪些问题？

总结：（1）在除数是整数的情况下，不论被除数是整数还是小数，凡是高位上的数字或余数不够除时，只需把它转化成低位上的数，也就是在余数的末尾添0 后继续算下去，小数点在个位的右下角；（2）将未知转化为已知，把复杂转化为简单，是解决数学问题的常见策略，也是重要的数学思想方法。

设计意图：经历了算法探索、算理分析之后，适时提供总结、建构的机会，能让学生对学习过程和学习内容进行归纳梳理，形成整体印象，实现对本课所学知识及思想方法的深度理解。

七、结束语

本节课顺应学生的思维特点，通过对核心问题的讨论，逐步帮助学生理解算理；通过精心设计的追问让探究更具层次性；通过合理的引导鼓励学生完整地表达，让学生思维可视化，使学生在解决问题的过程中，逐步体会转化思想。