一种基于五弹簧模型的准零刚度隔振装置特性分析

杨兆豪，帅长庚，李步云

(1.海军工程大学 振动与噪声研究所，湖北 武汉 430033；2.船舶振动噪声重点实验室，湖北 武汉 430033)

0 引 言

目前，大量采用线性隔振元件解决工程隔振问题[1]。然而，对于某些工程问题而言，需要实现低频隔振，甚至极低频隔振。若仍采用线性隔振方式，要实现低频隔振势必要降低隔振系统的刚度，这不仅会降低隔振系统的静态稳定性，在一些复杂工况下，如摇摆、冲击，还会导致隔振器变形过大，影响系统稳定性。使用非线性隔振器可以解决上述问题，在一系列参数设定下，实现高静态刚度低动态刚度特性，此类隔振器被称为准零刚度(Quasi-zero stiffness，QZS)隔振器[2]。准零刚度隔振装置的动力学特性方程可以由具有三次非线性项Duffing 振子模型描述[3]。

Kovacic[4]设计了一种由2 个有预压、非线性斜向弹簧与线性垂向弹簧并联的准零刚度隔振器，研究了该隔振器实现准零刚度的条件及在非对称激励下的动力学响应，结果表明该模型在平衡位置的准零刚度特性与初始弹簧的几何关系，斜向弹簧的预压程度、刚度有关，然而动力学分析表明该模型在非对称激励下，在一定激励频率范围内，会产生周期倍增的分叉，最终会产生混沌行为。Carrella[5]在Kovacic的研究基础上做了进一步推广，将2 个斜弹簧分为有预压的线性弹簧、有预压的非线性弹簧以及无预压的线性弹簧这3 种情况进行静力学分析，研究了3 种模型在对称激励下的动力学特性，结果表明3 种情况的准零刚度隔振装置的隔振效果都比原线性系统的隔振效果好，其中斜弹簧为有预压的非线性弹簧隔振效果最佳。Brennan[6]总结了前人对Duffing 振子的研究，给出了对于小阻尼Duffing 振子在简谐激励下的跳跃频率和该频率下响应幅值的表达式，比较了谐波平衡法与微扰法求解方程的误差，结果表明向上跳跃频率与系统的非线性度和激励力的幅值有关，向下跳跃频率不仅与上述因素有关还与系统阻尼有关。彭献[7]研究了三弹簧连杆机构准零刚度隔振器，侧向弹簧只在水平方向移动，其隔振性能优于非线性隔振器，当隔离随机振动时，宜隔运动而不宜隔离力。任旭东[8]基于空气弹簧隔振器，设计了一种三气囊连杆结构的准零刚度隔振装置，结果表明当在相同激励幅值的条件下，空气弹簧准零刚度隔振系统相对于单个空气弹簧隔振系统能够隔离更低频的振动，且当激励频率大于空气弹簧准零刚度隔振系统的向下跳跃频率时，空气弹簧准零刚度隔振系统具有更好的隔振性能。

本文提出一种五弹簧准零刚度隔振装置模型（简称为五弹簧装置），推导了模型的静力学关系，利用近似回复力并借助带有三次非线性项的Duffing 振子动力学方程进行模型的动力学分析，分析该隔振装置的稳定性，并研究不同参数对该隔振装置力传递率的影响。

1 准零刚度隔振装置力学模型建立

1.1 准零刚度隔振装置模型静力学关系推导

本文的准零刚度隔振装置布置如图1 所示。斜置弹簧原长为y，初始压缩量为 δ ，长度为L0=y-x10，重物距离基座的水平距离为a，斜向弹簧安装位置到平衡位置的垂直距离为h0，斜向弹簧与水平夹角为 θ0，刚度为kd；垂向支撑弹簧初始压缩量为x0，刚度为ku，质量M=kux0。

图1 五弹簧准零刚度隔振装置模型Fig.1 Five-springs quasi-zero-stiffness vibration isolator model

取向下为正方向，假设不存在垂向弹簧时，仅分析4 个斜置弹簧力学特性，当外力F作用，M下移x时（见图2），在小位移条件下，认为1 弹簧和2 弹簧始终处于压缩状态，由力学平衡可得：

图2 五弹簧准零刚度隔振装置受力作用后任意时刻Fig.2 A time when five-springs QZS vibration isolator model forced

1.2 准零刚度隔振装置模型静力学特性分析

对于不同的δˆ 、kˆ 、 γ值，无量纲回复力、无量纲刚度与无量纲位移关系分别如图3～图5 所示。可以看出，在一定的参数条件设定下，该隔振装置能够在平衡位置附近 (xˆ=0)，实现准零刚度特性。

图3 k ˆ=1，γ=√3/2时 ，不同 δˆ值下，无量纲回复力和无量纲刚度与无量纲位移关系特性曲线((a)中实线部分为|xˆ|

图4 k ˆ=1，δˆ=2/3时 ，不同 γ值下，无量纲回复力和无量纲刚度与无量纲位移关系特性曲线((a)中实线部分为|xˆ|

图5 γ =√3/2，δˆ=2/3时 ，不同 kˆ 值下，无量纲回复力和无量纲刚度与无量纲位移关系特性曲线(a)中实线部分为|xˆ|

将参数条件(7)代入式(5-b)可以得到下式：

将符合式(8)要求的不同 γ 、 δˆ值代入式(7)中，计算出相应的kˆ 值，当kˆ大于0 时，该组数据即为可取值，代入式(5)中，研究不同的 γ 和 δˆ值对五弹簧系统力学特性的影响。

由图6 可以看出，当 δˆ 值不变时，随着 γ值的增大，系统由不稳定状态（系统存在负刚度）变为稳定状态，存 在 一 个 最 佳 的 γ 值（ γ =0.887 758，即 安 装 角 度θ=27.407 1◦）使得平衡位置附近具有最大范围的准零刚度特性。当 γ值继续增大时，平衡位置附近的准零刚度特性变差，且系统在平衡位置附近的刚度也随之增大。

图6 δ ˆ=0.664 时不同 γ值下准零刚度系统力学特性曲线Fig.6 The mechanical charateristic curve of QZS system under different γ when δˆ=0.664

选 取 γ=0.887 758 ，分 析 δˆ对 系 统 的 影响，得到图7。可知，当 γ不变时，随着 δˆ增大，系统的无量纲刚度与无量纲位移关系曲线的形状基本不变，能体现良好的准零刚度特性，但远离平衡位置处的刚度变小。比较KˆD-QZS=1位置处对应的偏移平衡位置的位移量，可以发现当 δˆ增大时，能够表现出准零刚度特性的允许偏移量范围也在不断增大，这对整个装置而言有益，当重物造成较大位移偏移量时，五弹簧装置的刚度仍可以小于原线性系统。

图7 γ =0.887 758 时不同 δˆ值下准零刚度系统力学特性曲线Fig.7 The mechanical charateristic curve of QZS system under different δˆ when γ=0.887 758

2 简谐力激励下动力学方程的求解

2.1 准零刚度隔振装置运动方程建立

在动力学分析中，使用近似无量纲回复力进行代替原无量纲回复力表达式。

假设质量M在平衡位置附近的位移很小，即xˆ 为小量，对无量纲回复力在零点处进行三阶泰勒展开。

式(11)可变为

比较式(13-a)与式(5-a)，在泰勒三阶展开下得到的近似回复力Fˆrapp与回复力Fˆr的比较，如图8 所示。

图8 五弹簧准零刚度隔振装置回复力曲线比较图Fig.8 Comparisonof restoringforcecurves of the five-spring QZS vibration isolatorwhenk=1，γ=3/2

可以看出，近似回复力Fˆrapp能够较好地代替回复力Fˆr进行表达。因而在后续的动力学分析中，使用近似回复力Fˆrapp进行推导求解并完成相关分析。

假设隔振装置的阻尼为线性粘性阻尼，其阻尼系数为c，图1 隔振模型可以等效为图9 所示的单自由度隔振模型。

图9 五弹簧隔振装置等效单自由度模型Fig.9 Equivalent SDOF system of the five-spring QZS vibration isolator

当施加谐波激励力fe=Fcos(ωt)时，根据牛顿第二定律可得到该系统的非线性运动微分方程为：

将式(13-b)代入式(14)可以得到装置的无量纲运动微分方程：

2.2 跳跃频率的计算

设装置在谐波激励条件下的稳态响应解为：

对于该隔振装置，将式(16)代入式(15)，得到

利用三角变换并令各谐波项和常数项的系数等于0，同时忽略高阶谐波项，可以得到系统稳态响应解表达式为：

为了得到向下跳跃频率，将共振频率 Ω的2 个正值解解出得到

为比较五弹簧装置隔振效果，构建单个弹簧隔振装置等效自由度模型，如图10 所示。

图10 单个隔振装置等效单自由度模型Fig.10 Equivalent SDOF system of the one-spring vibration isolator

当同样给系统施加谐波激励力fe=Fcos(ωt)时，可得到该系统的无量纲运动微分方程为：

同样可以得到其共振频率 Ωsingle的2 个正值解为

2.3 力传递率的计算

对于简谐波激励条件下的系统，采用绝对力传递率作为评价其隔振性能的指标，并定义为

式中：Fˆt为施加于隔振系统的力Fˆ经过隔振效果后所残余的力。五弹簧装置的无量纲恢复力可由式(13)得到：

3 动力学特性分析

3.1 稳定性分析

准零刚度隔振装置由于存在多个稳态响应解，从而会出现跳跃现象，其中包括与系统阻尼比相关的向上跳跃，以及出现稳态响应幅值最大值对应的向下跳跃。

使用马蒂厄方程判别法，引入扰动变量 ε ˆ(τ)，分析该五弹簧装置稳态响应解的稳定性。系统的稳态响应解可以设为：

将式(30)代入五弹簧装置的无量纲微分方程式(15)，能够得到该微小扰动的微分方程：

式(31)为含有阻尼的Mathieu 方程，可变为：

将式(33)代入式(32)，同时利用三角函数变换并忽略高阶谐波项得到多项式方程组，使其方程组判别式等于0，能够得到稳定性判定边界条件。

3.2 传递率分析

3.2.1 激励幅值的影响

图11 为阻尼比 ξ、结构参数 γ 与kˆ一定时，不同激励幅值Fˆ条件下隔振系统的传递率曲线。参数的具体取值如表1 所示，传递率用分贝（dB）表示。

表1 研究激励幅值对装置隔振性能影响时的系统参数取值Tab.1 The parameter values studied when different excitation amplitude effects on the vibration isolation performance of the five-spring QZS vibration isolator

图11 不同激励幅值对装置隔振性能的影响比较图Fig.11 Comparison of effects of different excitation amplitude the vibration isolation performance of the five-spring QZS vibration isolator

随着激励幅值的增大，五弹簧装置的绝对力传递率会产生明显的变化。激励幅值越大，绝对力传递率的最大值越大。在较小的激励幅值影响下，五弹簧装置的隔振性能表现较好。

比较相同激励幅值的条件，在激励频率增大的过程中，五弹簧装置率先开始隔振，意味着其能够隔离更低频的振动；当激励频率大于五弹簧装置的向下跳跃频率时，五弹簧装置的绝对力传递率小于单个弹簧隔振系统，意味着其具有更好的隔振性能；在较高的激励频率区间，五弹簧装置的隔振性能优势逐渐减小。此外，对于五弹簧装置，随着激励幅值的增大，其隔振起始频率减小，因而为了获得更好的低频隔振性能，需要控制适当的激励幅值。

3.2.2 阻尼比的影响

图12 为 激励幅值Fˆ 、结构参 数 γ 与kˆ一定时，不 同阻尼比 ξ条件下隔振装置的传递率曲线。参数的具体取值如表2 所示，传递率用分贝（dB）表示。

表2 研究阻尼比对装置隔振性能影响时的参数取值Tab.2 The parameter values studied when different damping ratio effects on the vibration isolation performance of the five-spring QZS vibration isolator

图12 不同阻尼比对装置隔振性能的影响比较图Fig.12 Comparison of effects of different damping ratio the vibration isolation performance of the five-spring QZS vibration isolator

随着阻尼比的增大，2 个装置在不同激励频率区间内隔振性能的相互关系与激励幅值增大时正好相反。较大的阻尼比会使2 个系统绝对力传递率的最大值均减小。当阻尼比增大到一定程度时，五弹簧装置的绝对力传递率的最大值消失。因而在调整五弹簧装置的隔振性能时，需选择适当的阻尼比。

3.2.3 结构参数的影响

图13 与图14 分别为激励幅值Fˆ 、阻尼比 ξ一定时，不同结构参数 γ 与kˆ条件下隔振装置的传递率曲线。具体取值如表3 和表4 所示，传递率用分贝（dB）表示。

表3 研究 γ对装置隔振性能影响时的参数取值Tab.3 The parameter values studied when different γ effects on the vibration isolation performance of the five-spring QZS vibration isolator

图13 不同 γ对装置隔振性能的影响比较图Fig.13 Comparison of effects of different damping γ on the vibration isolation performance of the five-spring QZS vibration isolator

图14 不同 kˆ对装置隔振性能的影响比较图Fig.14 Comparison of effects of different kˆ on the vibration isolation performance of the five-spring QZS vibration isolator

当结构参数 γ的取值减小时，五弹簧装置绝对力传递率的最大值和隔振起始频率均较小，并在平衡位置附近具有更大的较小刚度位移范围，但 γ低于一定数值后该装置的绝对力传递率的最大值将会消失，失去准零刚度特性。

当结构参数kˆ 的取值减小时，五弹簧装置绝对力传递率的最大值和隔振起始频率均较小，并在平衡位置附近具有更大的较小刚度位移范围，因而在选取水平和垂向弹簧刚度时，应选择水平弹簧相对于垂向弹簧刚度比更大的弹簧组合。

4 结 语

对建立的五弹簧准零刚度隔振装置模型进行静力学推导，并在静力学分析的基础上对五弹簧装置的回复力进行泰勒展开并近似求解，利用谐波平衡法得到了五弹簧装置的动力学方程，研究不同参数对力传递率与跳跃频率的影响，得出如下结论：

1）五 弹 簧装置可以通过对参数 γ 、kˆ 和 δˆ的 合 理 设置以实现准零刚度特性，其中 γ影响平衡位置处的稳定性，kˆ 和δ ˆ影响装置引入的负刚度大小。

2）五弹簧装置的绝对力传递率会随着激励幅值的增大产生明显的变化。激励幅值越大，绝对力传递率的最大值越大；在较小的激励幅值影响下，五弹簧装置的隔振性能表现较好；相同激励幅值条件下，五弹簧装置率先开始隔振，能够隔离更低频的振动；当激励频率大于五弹簧装置的向下跳跃频率时，五弹簧装置的绝对力传递率小于单个弹簧隔振装置，具有更好的隔振性能；在较高的激励频率区间，五弹簧装置的隔振性能优势逐渐减小；控制适当的激励幅值能够使五弹簧装置获得更好的低频隔振性能。

3）较大的阻尼比会使2 个隔振装置绝对力传递率的最大值均减小。当阻尼比增大到一定程度时，五弹簧装置绝对力传递率的最大值消失。因而在调整五弹簧装置的隔振性能时，需选择适当的阻尼比。

4）结构参数 γ减小时，五弹簧装置绝对力传递率的最大值和隔振起始频率均较小，并在平衡位置附近具有更大的较小刚度位移范围；当 γ低于一定数值后，五弹簧装置绝对力传递率的最大值将会消失，装置将会失去准零刚度特性，需要对 γ进行适当的取值。

5）当结构参数kˆ的取值减小时，五弹簧装置绝对力传递率的最大值和隔振起始频率均较小，并在平衡位置附近具有更大的较小刚度位移范围，因而在选取水平和垂向弹簧刚度时，应选择水平弹簧相对于垂向弹簧刚度比更大的弹簧组合。

总体来说，五弹簧装置平衡位置附近的低刚度范围更大，系统稳定性更好，有利于工程应用。