基于APOS理论促进学生深度理解概念
——以“图形的认识”教学为例

江苏无锡市新吴区锡梅实验小学（214000） 蔡 静

APOS理论是美国数学家杜宾斯基等人提出的数学教学理论。它将学生的数学概念学习过程科学地划分成活动（Action）、过程（Process）、对象（Object）、图式（Schema）四个阶段，同时指出每个阶段对学生的教学要求：活动阶段是学生经历学习活动的过程，目的是更好地感知概念、建立表象；过程阶段是学生在经历活动阶段后对活动进行思考和反思的过程，目的是抓住概念的本质；对象阶段是学生在经历活动和过程这两个阶段后，能够自己对要学习的数学概念赋予定义和符号化的过程，目的是达到精致化；图式阶段是学生将原有认知结构中相关的概念与新获得的概念进行联系的过程，目的是形成新的概念图式。

一、APOS 理论有助于指导小学数学图形概念的教学

图形与几何在小学阶段包括“图形的认识与测量”“图形的位置与运动”两大主题。本文主要研究图形的认识。《义务教育数学课程标准（2022 年版）》指出，图形的认识主要是对图形的抽象。具体表现为：学生经历从实际物体抽象出几何图形的过程，认识图形的特征，感悟点、线、面、体的关系；积累观察和思考的检验，逐步形成空间观念。

APOS理论是针对数学概念学习的建构学习理论，能够很好地帮助教师规划“图形的认识”概念课教学的顺序和过程，对教学具有指导意义。例如，活动阶段，强调通过学生外显的观察和动手操作或内隐的思维活动，实现对概念的自主探究和初步感知；过程阶段，强调反思总结，实现对概念的理性认识；对象阶段，强调通过同化或顺应，用自己的语言或数学语言对图形进行表征，实现概念的精致化；图式阶段，强调建构总体的知识网络，建立图形与图形之间、图形内部元素之间的联系。通过这四个阶段，让学生经历动手操作、自主探究、解决问题、创造应用等过程，将概念形成与概念同化有机地结合在一起，揭示概念本质属性，建构系统化的概念图式，达到对概念的深度理解。

二、APOS 理论视角下小学数学图形概念教学建议

1.活动阶段，现实入学

（1）创设真实情境，激发学习兴趣

小学生对图形的感知多来源于生活情境。而图形的原型在生活中的呈现方式会附带一些无关数学研究的特征，这就需要教师进行选择，既要创设真实情境，激发兴趣，又要与图形的特征紧密相连。如设计认识三角形时，课前可以播放实验视频“三根火柴吊起一瓶水，是真的吗？”。

师：我们来看实验中这张非常关键的图（如图1），这里有你认识的图形吗？

图1

生（齐）：三角形。

师：看来大家都知道什么样的图形是三角形了，那在生活中还有哪些地方能见到三角形？

（教师引导学生举例，并引入本课题）

学生对生活中的三角形有一定认识，导入环节如果只是生活中的三角形图片会比较枯燥，通过实验视频导入，能使课堂更加鲜活，同时也为后续介绍三角形的稳定性埋下伏笔。

（2）精准设计问题，突出本质特征

小学生掌握图形的概念需要经历思维过程，教师要合理设计问题。问题太大，容易造成学生对概念学习浮于表面、无从下手；问题太小，容易造成学生对概念的认识呈离散点状。对此，教师需要聚焦概念的本质特征，精准设计问题。如在认识三角形的高时，笔者出示研究对象——“人”字梁（如图2），并设计三个问题：①如果要测量“人”字梁的高度，你认为该从哪里量到哪里？②实际上是量图中的哪条线段？③量的线段和底边的线段有什么关系？

图2

小组讨论，汇报交流。从“‘人’字梁的高”自然抽象出“三角形的高”，使学生对三角形的高定义的理解水到渠成，也使学生对高的本质特征“点到对边的垂直线段”形成深刻印象。

（3）操作方式多样，体现手脑并用

操作是学生认识图形最有效的方法之一。在教学中，为了更有序、更高效地进行操作，教师可以设计有步骤、有目的、有成果的操作活动来提高课堂效率。如教学认识长方形和正方形时，可以设计三个活动来进行操作。

【活动1】

①拿出一张长方形纸片，量一量、折一折、比一比。

②小组讨论：长方形的边和角各有什么特点？

【活动2】

①拿出一张正方形纸片，根据刚才的方法验证正方形的边和角的特点。

②小组讨论：正方形的边和角各有什么特点？

【活动3】

①另外拿出一张长方形纸片，在这个长方形中剪出一个最大的正方形。

②同桌合作，交流方法。

三个活动在设计上具有层次性、目标性，让学生在探索的过程中一步一步触及知识的本质。

2.过程阶段，强调反思

（1）坚持学生主体，自主探索知识

APOS 理论重视学生主体地位。因此，教师可将学生的自学环节设计在教学环节中。如在认识梯形时，组织学生先自学教材内容，并与同桌交流，再请学生介绍梯形各部分的名称。笔者随机将梯形转动一定角度，再请学生指认梯形的上底、下底和腰。学生总结：不管怎样转动，梯形的上底、下底总是平行的，两条腰不平行。这样“自学+汇报+反思”的学习方式，锻炼了学生自主学习的能力。

（2）注重反省思考，提升理性思维

APOS 理论强调只有不断反思，学生才会对知识有深度的认识。如在研究圆的半径与直径的关系时，针对个别学生提出的“两条半径等于一条直径”，组织学生讨论这样的说法是否恰当。学生认为，从长度的角度来说，两条半径的长度等于一条直径的长度，即d=2r，但从位置的角度来说，这种说法是错的。再如学生通过研究提出“直径是圆内最长的线段”，教师可鼓励学生利用三角形的三边关系“两边之和大于第三边”（如图3）进行思辨。

图3

（3）重视多维互动，促进概念建构

APOS 理论注重为学生创建氛围良好的学习环境。课堂教学离不开讨论、表达、倾听等互动方式。如教学圆柱的表面积时，学生动手操作，主动探究圆柱的侧面积。在汇报交流时学生发现，圆柱的侧面虽有两种剪法（沿着高线剪、不沿高线剪），但是圆柱的侧面展开图都可转化成长方形。通过对比观察圆柱的侧面与展开图，学生找到圆柱的底面周长、高与侧面展开图之间的对应关系。最后，学生总结出圆柱的侧面积及圆柱的表面积计算公式。整个过程环环相扣，层层递进，师生互动，生生互动，共同促进了思维的发展。

3.对象阶段，引导深学

（1）关注练习设计，把握图形特征

对象阶段要求学生将前两个阶段获得的新知在头脑中进行加工和整合（同化或顺应）。如何推动这样的加工有效进行？练习的设计就显得尤为重要。教材上的练习题都是精心设计的，教师可以充分挖掘其价值，创造性地进行练习设计。如在轴对称图形的练习中，将原来单一层次的练习改编成四个层次的练习（如图4）。学生在这样有层次的练习活动中，根据轴对称图形的特点进行联想，促进空间观念自然成长。

图4

（2）引导说理辨析，触及图形本质

学生在认识图形中容易犯的错误主要集中在对图形外观的认识和对本质特征的理解上。教师可以多创造一些机会，针对学生学习新概念时可能产生的误解设计一些判断题、选择题，引导学生说理辨析，用语言表达自己的思考。这样能使学生的思维外显，让教师不仅能够看到学生思考问题的过程，还能及时地给予指导，同时让更多的学生发表自己的看法，让学生在师生交流、生生交流的过程中对自己已有的认识进行修正和完善。

（3）聚焦核心素养，发展空间观念

空间观念是一种重要的核心素养表现，要想落实在日常教学中，教师应思考设计相应的教学活动和评价任务。如在圆的认识练习中，将生活与圆的有关知识联系起来。

师（出示图5）：你们研究半径的时候，画过这样的图吗？联想一下，生活当中你见过类似的物体图形吗？

图5

生1：比萨饼。

生2：切好的蛋糕。

生3：拦腰切柠檬时形成的切面。

生4：从高空看螺旋桨旋转的样子。

师：同学们都有一双善于发现的眼睛，有的同学还想到了动态的圆，真棒！

数学来源于生活。课始由生活中的圆形物体抽象得到数学中的圆，课中由数学中的圆联想到生活中鲜活的实例，如此来回呼应，让学生的思维由具象到抽象，再由抽象到具象，让学生真正学会用数学的眼光观察现实世界。

4.图式阶段，注重联学

（1）注重概念联系，灵活对比迁移

APOS 理论注重概念之间的联系，强调要充分挖掘学生的已有知识，通过对比迁移，更好地将新概念纳入已有的图式结构，形成新图式。如在教学梯形时，可以设计“变一变”环节，帮助学生动态感受平行四边形、梯形、三角形之间的联系。

师（出示图6）：怎样移动点D，使平行四边形变成梯形？

图6

（学生将点D移到和点C齐平的位置）

师：这样移动后，哪一组边互相平行？哪两条是腰？用手势比画一下。为什么这样移动点D，平行四边形就变成了梯形？

生1：平行四边形是两组对边平行且相等的图形，移动点D后就只有一组对边平行，变成了梯形。

（学生将点D移到接近点A的位置停下）

师：怎么不继续往前移了？

生2：再移就变成三角形了。当梯形的上底长度变成0时，就成三角形了。

在动态移动过程中，学生充分感受到新旧概念之间的动态联系，促进了图形概念间的相互迁移。

（2）打破知识阻隔，构建心理图式

APOS 理论指出，概念学习的最终目标就是要让学生建立知识图式。这需要教师引导学生学会总结，帮助学生在相关联的内容之间建立多样化的联系，形成清晰、稳定的知识结构。在方法上，教师可以采取一些结构化的图式促进知识的联系性建构，如集合图、流程演示图等。如教学认识梯形时，笔者设计了“猜一猜”环节。

师：魔法袋里藏着一个四边形，你们猜可能是什么图形？

师：你能用今天学过的数学语言说一句话，使魔法袋里的图形是梯形吗？

师：若已知这个图形有两组对边互相平行，猜一猜，可能是什么图形？

师（出示部分是直角的图形）：现在你觉得会是什么图形？

师（课件出示文字“每条边长度都相等”）：现在你觉得是什么图形？

（学生小结，并画出如图7 所示的四边形的关系图示）

图7

（3）重视知识梳理，提升结构思维

APOS 理论认为，无论是单个图式还是多个图式的建立，都是为了促进图式间的迁移。因此，在教学中，教师可以提问的方式引导学生对知识进行自我梳理。如“我们今天学习了哪些内容？”“我们是如何学习的？”“我们用了哪些方法进行探索？”等问题。利用这些问题引导学生将复杂的、碎片化的知识以一定的逻辑进行整理，使学生的学习变得有序化、结构化。这样的教学有利于学生心理图式的真实展现，也有利于教师了解学生的学习情况。

综上所述，在APOS 理论下的教学中，学生是学习的主体，教师的教学设计要联系学生的实际，精心选择利于教学数学图形概念的内容，使教学内容具有探究性，让学生在探究的过程中促进对数学图形概念的学习。