关联知识结构 完善认知差异
——以人教版教材四年级上册“平行四边形和梯形”单元复习为例

□彭晓丹

复习课要关注领域主题，梳理知识的内在关联，构建知识结构，发展学生的核心素养。单元复习课通常以任务驱动为导向设计练习，以此帮助学生梳理数学知识，让学生在对知识的梳理中建立知识间的关联，在知识的关联中发展思维，从而实现知识的整体关联和认知结构的建构。那么，如何设计教学才能凸显主题的核心任务？如何在核心任务的实施中关联知识，查漏补缺？下面以人教版教材四年级上册“平行四边形和梯形”单元复习为例展开探究与实践。

一、凸显本质关联，明确核心内容

教师要分析教材的编排体系，以核心素养为统领，提炼单元复习中的核心内容，明确单元主题内容，把握单元的核心概念和对应的关键要素。

“平行四边形和梯形”单元属于“图形与几何”领域，主要内容包括：同一平面内两条直线的特殊位置关系，平行四边形、梯形的特征及其与正方形、长方形的关系。在本单元复习之前，学生已经学习了常见的四边形，周长和面积的概念，直线、线段、射线和角，以及角的度量等知识，可以说，学生已经具备从“边”和“角”认识平面图形的学习经验。这些知识是学生学习平行四边形、三角形、梯形等多边形面积的基础，也是后面进一步学习长方体、正方体等立体图形的基础。因此，从“图形与测量”主题视域看，本单元的复习有两个关联点：一是认识图形的方法的一致性，二是几何图形高的概念和画高方法的一致性。复习时，要关注从图形组成要素认识图形特征，以及从点到线段的距离角度认识高。

基于上述分析，明确单元核心内容：从图形本质特征出发，帮助学生理解平行与垂直、平行四边形和梯形的概念及相互关系。具体包括：平行和垂直对理解图形概念本质的重要性；平行四边形和梯形之间的区别与联系，以及与其他四边形之间的关系；垂线是认识高及画高的基础；等等。由此重组单元关键要素，突出概念的本质联系（如图1），确定具有关联的复习路径。

图1

二、探寻认知难点，关注学习材料

在“平行四边形和梯形”单元的教学中，笔者发现，学生在对高的认识和画高上存在明显差异。具体有怎样的差异？对后续学习有怎样的影响？针对这些问题，笔者组织了任务前置的检测练习（如图2）。

图2

前置式任务主要检测对非水平位置的图形概念的理解。学生后续学习平行四边形面积，需要从特殊走向一般，扩展为任意平行四边形都可以转化为长方形。那么这个任意平行四边形的高在哪里？不管平行四边形的底边在哪里，都能找到对应的高吗？本单元对高的构想是后续学习的重要基础。学生对前置式任务中的画高感到困难，主要原因是缺乏空间想象力，无法想象“高”所在的位置。

三、设置核心任务，落实综合目标

单元复习课的目标具有综合性。因此，教师设置核心任务时，要在体现主题内容的基础上，既关注单元关键要素，完善知识点，又凸显概念本质，构建知识结构。在“平行四边形和梯形”的单元复习中，教师应借助结构化学习材料设计学习任务，并在其中融入发展空间表象、推理和想象等能力的目标，让学生通过辨析概念关联知识，提升核心素养。

（一）再现性任务，理解概念本质

任务一从学生的认知水平出发，引导学生回顾单元内的基础知识，属于再现性任务。它使用的学习材料具有很强的结构性，涵盖了单元复习中的关键要素。平行四边形和梯形的概念本质是“线”的平行关系，因此，该任务从线的特征出发走向面的组合，要求学生依据图形的特征，先分类，再组合成平行四边形和梯形，从而感知图形及其组成元素（如图3）。

图3

这一再现性任务的教学分为两个层次。

第一层次是分类，目的是帮助学生更好地了解概念特征。分类有助于剥离概念的非本质属性，深入理解概念的内涵。这组学习材料涵盖了平行关系和相交关系，呈现了标准式和变式，旨在引导学生回顾平行线和垂线等概念，根据概念本质辨析易错点。

第二层次是组合，要求学生选择其中两组直线分别组合成一个平行四边形或梯形。教师呈现学生组合成的平行四边形和梯形（如图4），引导学生理解平行四边形：“这样组合得到的图形都是平行四边形吗？为什么？”学生归纳：图4 中，上面三组图形都是平行线组合，因而两组对边分别平行，都是平行四边形。在此基础上，进一步思考其中一个特殊的平行四边形——长方形，从而得出长方形具有平行四边形的特征，但它又具有特殊性（四个角都是直角）。教师进一步提问：“为什么不选②号、⑤号、⑥号线来组成平行四边形呢？”启发学生理解梯形，认识到组成的梯形与平行四边形的不同点，根据线是否平行来辨析平行四边形和梯形的概念本质。

图4

在上述教学的基础上，教师可利用动态变换，帮助学生进一步建立各种图形概念之间的关系。教师引导学生对其中一个平行四边形进行变换，在变换过程中提问：“如果将平行四边形的一条边平移，它还是平行四边形吗？”引导学生感悟：两组对边平行的四边形一定是平行四边形。教师继续变换这个平行四边形，将其变为长方形和正方形，在此过程中继续引导学生思辨：“这些图形还是平行四边形吗？为什么？”通过图形的变换，再次聚焦对边的位置关系，从而关联特殊平行四边形和普通平行四边形，助力学生形成系统化的知识结构。

上述任务以结构化的学习材料为基础，综合排列组合、猜想验证、思辨推理的过程，要求学生根据图形的特征，逆向选取平行或非平行的线。具体而言，该任务包含组合前空间表象的再现、组合时空间推理的应用和组合后空间想象的构建三个环节，要求学生分析平行线与平行线、平行线与非平行线、平行线与垂线之间的联系，引导他们从边和角的特征出发，沟通特殊的平行四边形和特殊的梯形，形成单元本质关联的知识网络（如图1）。

（二）技能性任务，凸显想象动态迁移

技能性任务关注技能的落实，在此基础上帮助学生实现技能之间的关联和迁移。画高是本单元的重难点，也是本单元要落实的技能性任务。为此，任务二要求学生在画图前先想象，并在画图后再次回顾对应的想象（如图5）。

图5

任务二：先想象，再画图形和高。

任务二由两个子任务构成。第一个子任务是由线想象平行四边形和梯形，承接任务一中的学习材料⑤，引发学生思考：“把这组垂直线段看作某个图形的底和高，这个图形可能是什么样的？”学生经过想象，得到可能是平行四边形、梯形或三角形。在此基础上，教师引导学生进一步思考：“假如这是一个平行四边形或梯形的底和高，这个平行四边形和梯形会是什么样？请先想象，再画一画。”

首先，比较同底等高的不同平行四边形。教师呈现学生画的不同平行四边形，学生通过比较发现，虽然这些平行四边形的形状各不相同，但其中一组对边都占了4 格，且这条底边上的高都相等，从而理解了平行四边形“对边平行且相等”的特征。教师选择其中一个平行四边形提问：“在这个平行四边形中，以BC为底的高只有这样一条吗？”学生找出多条符合条件的高，通过比较，感悟平行四边形的高有无数条，且同一组对边之间的高都相等，从而理解平行线之间的距离处处相等。其次，比较学生画的平行四边形和梯形，引导学生思考：“梯形的高与平行四边形的高有什么相同点和不同点？”学生思考后发现，平行四边形和梯形在同一组平行线上的高相同，但平行四边形有两组对边对应的高，梯形只有一组对边对应的高。最后，用画高对应画垂线的方法，让学生回顾平行四边形和梯形的高的画法，将画高的方法归结为运用点到直线的距离来画垂线的方法，勾连画高与画垂线，使学生感悟方法的一致性。

第二个子任务是巩固画高的技能。因为想象先于画图进行，所以画高之前首先要想象“高”的位置。教师呈现4个图形，引发学生思考：“你能想象这些图形的高吗？”让学生用手比画图形的高并说明理由，感悟画高之前要先准确地想象“高”，从而突破图形形状、位置的变换对画高造成的困难。教师接着呈现学生画在不同位置上的高，让学生辨析。教师指着画在图形外侧的高，追问：“高还可以画在图形外面吗？为什么？”突破高只存在于图形内部的认知障碍，帮助学生建立平行四边形、梯形的高与平行线距离之间的关系。

（三）拓展性任务，关注推理灵活转换

任务三是对思维有挑战性的开放性任务。它要求学生运用图形间的关系进行灵活转换，从而帮助学生认识平行四边形和梯形的联系（如图6）。

图6

任务三：先猜想，再验证。

任选一个图形，剪一刀，可以分成哪两个平面图形？

教师先引导学生猜想：“将平行四边形剪一刀可以分成哪两个平面图形？”学生通过猜想，得出平行四边形可以分割成两个三角形、两个平行四边形、两个梯形、一个梯形和一个三角形（如表1），但对能否分割成一个梯形和一个平行四边形存在争议。学生进一步操作验证，通过画一画或剪一剪，得出不可以分割成一个梯形和一个平行四边形。在此基础上，猜想：“梯形是不是也能分割成这些图形呢？”当猜想有争议时，学生会主动在表格里打上问号，自主进行验证。教师引导学生进一步思辨：“为什么平行四边形可以分成两个平行四边形，而分不出一个梯形和一个平行四边形？”“为什么梯形分不出两个平行四边形，却能分出一个梯形和一个平行四边形？”目的是帮助学生深入理解图形的概念特征，发展学生的空间观念和空间推理能力。

如上，“平行四边形和梯形”的单元复习设置了三个核心任务，首先复习平行和垂直，接着结合过对应直线外一点画垂线，感悟平行线之间的距离可以想象成平行四边形和梯形的高，最后根据图形的关联进行图形分割。学习材料虽然简单，但却关注了图形的概念特性，聚焦其本质，并在任务层层推进的过程中，暴露了学生的技能缺陷，体现了复习课查漏补缺的功能和价值。

总之，本单元的复习课基于“图形的认识和测量”主题设置任务，以图形各要素之间的关系为基础刻画图形特征，建立多个图形之间的联系，突出了复习材料的整体性和结构性。同时，聚焦“图形与几何”的空间表象建构、空间推理和空间想象能力的提升，培养学生的数学思维，发展学生的核心素养。