借一题打造一节好课
——小学数学拓展内容“探寻组合数列规律”的教学实践与思考

□王丽兵

一、教材与学情分析

本拓展内容为探寻组合数列规律的相关知识。从教材的角度看，数列规律的发现与表达，实质就是一个数学思维建模的过程，有着独特的课程开发价值。如何有效激发学生的直觉思维，培养学生发现和表达规律的能力，一直是小学数学课堂教学的重点之一。

从学生角度看，他们已在人教版教材一年级上册学习过“找规律”的相关内容，在日常学习中也频繁接触与数学规律和模型思想相关的知识内容。基于此，笔者对一道题目进行重组与设计，将其开发成一节课，力求开创既有难易梯度，又有一定思维发展的数学拓展课，努力尝试走出一条“一题成课”的数学拓展课例开发新路径。

二、适合年级

适合三、四年级。

三、教学目标

（1）能够掌握相应数列中存在的数学规律，并能够应用所学规律，准确判断某个数在数列中具体所处的位置，且能够确定某一位置上的数值。

（2）通过对数列的观察、猜想和验证，经历数列规律的发现过程，掌握发现数学规律的方法。

（3）培养分析问题和解决问题的能力，发展数感。

四、教学过程

（一）教学引入：直觉思维，初感规律

（教师直接出示课题——探寻数列中的规律，并让学生齐读课题）

师：读了这个课题之后，你知道了什么？

生：我知道今天我们要寻找规律。

生：我知道今天我们要研究数列。

（教师出示题目，如图1）

图1

师：仔细阅读上面的文字、图表，你看懂了什么？有什么问题？

生：从表格看，每组数列前后两个数之间都相差3。

生：这是三组等差数列的组合，感觉它们都和3有关系。

师：根据这些信息，大家能够提出什么数学问题？

生：它们各自有什么规律？

生：a、b、c三条数轴上的第100个数各是几？

生：我想知道，1000 应该在哪一条数轴上？有没有能快速判断的方法？

【设计意图】通过引导学生对学习材料进行观察和自主提问，一方面帮助学生加深对图形中a、b、c三条数轴和表格中的各组数列排列的了解，另一方面培养学生发现问题和提出问题的能力，为课堂后续的学习与讨论生成学习资源。

（二）展开教学：举一反三，表征规律

1.猜想规律

师：整体观察这三条数轴，你觉得哪一条数轴的规律最为明显？

生：c轴。因为它上面的数一目了然，都是3的倍数。

生：我也认为是c轴。它前后相邻的两个数，依次相差3。

小结：看来c轴上的规律一目了然，大家的观点一致。

（教师板书：都是3 的倍数，相邻两数依次相差3）

2.验证规律

师：按这样的规律，c轴上12后面的数是几？

生（齐说）：15。

师：你们是怎么知道的？为什么不是18 或24呢？

生：因为12+3=15，所以12后面的数是15。生：因为5×3=15，所以12的后面必定是15。师：这里的“5”表示什么意思？

生：这个“5”表示第5个数，或者序号数。

师：那如果是18 呢？24 呢？它们分别是第几个数？

生：18是c轴上的第6个数，24是第8个数。

师：看来，c轴上的数不仅和3 有关，还和它所处的序号位置有关系。

（教师板书：序号数×3=c轴上的数；c轴上的数÷3=序号数）

师：刚才有同学提问，想知道c轴上的第100个数是几，大家能回答吗？

生（齐说）：100×3=300。

【设计意图】设计本环节的目的是先举一再反三。师生从规律最明显、最容易发现的c轴数列入手进行猜想与验证，全面梳理和渗透数列研究的方向与方法，以便为后续更复杂数列规律的探寻，提供认知经验及方法策略上的支持，也为学生的自主探究夯实能力基础。

3.活动探究

师：刚才我们通过整体观察、猜想规律和举例验证，对c轴上的数进行了研究。凭借学到的观察数列的本领和方法，我们接着来研究a轴和b轴上的数，看看它们有没有规律？有怎样的规律？

（教师出示学习任务，让学生与同桌合作进行探究活动）

学习要求：

选一选：同桌合作，在a轴和b轴中任选一条进行研究。

找一找：用自己喜欢的方式将数列蕴含的规律表达出来。

说一说：通过研究你发现了什么，尝试写出后面几个数。

（学生完成活动探究之后，进行教学反馈）

（1）a轴上数探究活动的教学反馈

生：a轴上前后两个数也依次相差3，但0除外。

生：a轴上的数也和它所处的位置（序号数）有关，我发现序号数×3-2=a轴上的数，（a轴上的数+2）÷3=序号数。（教师顺势板书规律）

生：a轴上第100个数应该是298，因为100×3-2=298。

师：这么有价值的发现，大家是怎么做到的？

生：我们根据刚才研究c轴时发现的规律，依葫芦画瓢找出来的。

师：看来，同学们已经能学以致用了，了不起！

（2）b轴上数探究活动的教学反馈

生：b轴上的数，除0 外，也是前后依次相差3。

生：序号数×3-1=c轴上的数，（b轴上的数+1）÷3=序号数。（教师顺势板书规律）

生：b轴上第100 个数应该是299，因为100×3-1=299。

师：同学们不仅能提出问题，还能自己解决问题，真棒！

师：从整体上观察三条数轴，它们有什么相同的地方？有什么不同的地方？

生：它们都和3 的倍数有关，除0 外，每条数轴上相邻的两个数都相差3。

生：a轴上的数都比c轴上对应位置的数少2，b轴上的数都比c轴上对应位置的数少1。

生：我发现三条数轴上的数以三个数为一组，呈螺旋形规律递增。

师：此话怎讲？你能把这个螺旋给我们画出来吗？

（学生借助多媒体技术进行板演，如图2）

图2

师：了不起的发现！看来将数与形结合起来，不仅要关注局部，还要学会整体观察，这样才能让我们有新的发现。

【设计意图】在任务驱动下，通过同桌合作，有效调动并激发学生的认知与表达需求，有效增强研究活动成果的个性化与多元化。值得强调的是，本环节通过对数轴与数列的整体观察，以数形结合的形式，将数列间的联系与区别生动地表征了出来。

（三）练习应用：拓展思维，创造规律

1.基础练习

（教师出示题目）

下列各数在哪一条数轴上？分别是第几个数？

24 49 50 57 983

（让学生独立完成练习，全班进行教学反馈）

师：课前也有同学问，想知道1000在哪条数轴上，现在大家能判断了吗？

生：因为1000=333×3+1，所以它应该是a轴上第334个数。

生：根据研究a轴时发现的规律，（1000+2）÷3=334，也可以判定它是a轴上第334个数。

2.思维拓展

师：大家还有什么疑问？为什么我们观察发现的规律会和“3”有关呢？

生：可能和这个组合数轴的形状有关。

师：如果改变数轴的数量和图形的形状，数轴的规律会发生什么变化？具体可以如何改变？请你尝试自主设计看一看。

（让学生尝试设计组合数轴，全班交流反馈，学生设计如图3所示）

图3

师：这些图形分别又和哪个数有关系呢？你还能设计出不一样的数列吗？（全课小结）

【设计意图】对开放性的拓展问题的思考，不仅打破了学生原先在课堂中所形成的固有思维，而且通过创造性的设计活动，拓展了学生的思维空间，满足了不同思维层次学生的需求，有助于促进学生知识的结构化。

五、教学反思

（一）把“一题”学透

1.聚焦学生疑问，以学定教

“以学定教，学为中心”是当前课堂教学的主流趋势，无论是基础性课程，还是拓展性课程，都需要在日常教学中落实这一生本理念。基于此，笔者在教学引入阶段引导学生根据学习材料提出问题，并将这些问题进行梳理排列，使其成为课堂教学的依据和学习路径。这样不仅充分尊重了学生的主体地位，体现以学定教，还使教学重点围绕学生的疑难点展开。

2.强化多元表征，深化认知

面对同一数列，不同学生观察的角度不同，就会产生不同的观察结果。

（1）局部与整体的角度差异

无论是哪一条数轴上的数列，从局部观察得到的规律，与将其放在整体之中观察得到的规律有着较为明显的区别。如以1000这个数为例，如果在a轴进行局部观察，那么它的位置就可以描述成（1000+2）÷3=334，即除0 外，它是a轴上第334 个数。如果从图形的整体观察，那么最接近1000的3的倍数是999（333×3），这意味着999 这个数是c轴上第333 个数，按照数的排列顺序，1000 应是a轴上第334 个数。因此，虽然观察数列的角度不同，但规律是相同的。

（2）顺向思维与逆向思维的互译

学生对某个规律的理解与掌握程度如何，一个比较显性的标志就是看他是否能熟练地进行顺向思维与逆向思维的互译转化。具体来讲，就是学生不仅要能根据自主发现的数列规律，熟练地判断某一个数所处的具体位置，还要能根据某个具体位置，推断出位置上的数。如判断100在哪一条数轴上，就属于顺向思维；而判断a、b、c三条数轴上的第100个数分别是几，就属于逆向思维。思维的方向不同，掌握规律的难易程度也会有所不同。只有当学生能在两者之间熟练地进行转化时，才说明学生在知识技能的理解与掌握方面已经较为全面与透彻。

（3）数据与图形之间的相互沟通

数学家斯蒂恩曾说：如果一个特定的问题可以转化为一个图形，那么思想就整体地把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法。图形规律的表征和描述也是这样一个道理，当学生感悟到数列整体呈现出螺旋状的排列规律时，也就意味着学生从整体上把握了各组数列之间的变化规律。

（二）把“一题”学厚

1.构筑明暗两条序列

从本内容教学来看，笔者安排了两条线索推动教学的有序发展。一条是由易到难的知识明线，另一条是学生自主提问的暗线。从知识明线看，师生从规律最明显的c轴入手，逐渐迁移至规律较为复杂的a轴和b轴，体现了学生探索的难易层次。从学生自主提问的暗线看，教学随着学生自主提出的问题系列逐次展开，体现由特殊到一般、由简单到复杂的梯度变化。因此，借助多维度的教学序列，可以有效增强教学的层次感和设计感。

2.运用多种学习方法

从学习方法来看，本内容先通过对数列规律的猜想，激发学生的直觉思维，让学生初步感知规律，再通过同桌合作探究，引导学生借助“整体观察、规律猜想、举例验证”，由点及面，实现数列规律的多元表征。

3.渗透多元数学思想

一节数学课的厚度，既可以体现在知识内容的丰富性上，也可以体现在它所承载的数学思想方法上。基于此，笔者在开展本内容教学时，努力赋予课堂教学丰富的数学思想方法。既有数感的培养，又渗透数形结合思想、模型思想、归纳与推理的思想等。总之，多元的数学思想方法，使得本内容的教学层次鲜明、内涵丰富。

（三）把“一题”学活

教师如何将教学内容教活，让学生学活，关键是要在涉及学生思维培养的关键问题上下功夫，要努力通过一节课达到一类课的教学目的和效果。如本内容教学中，教师通过一个关键问题“为什么我们观察发现的规律会和‘3’有关”，打破学生的认知共识，促使他们向更广阔的思维空间探寻，从而实现上限不封顶的开放式教学效果。

总之，尝试将“一题”开发成一节数学拓展课，目的不在于解决这个题目，而是以这“一题”为载体，开发数学拓展课的新样态。