封头补强仿形织物的曲面几何映射研究

姬 智 马文锁 许泳豪 马振宇 漫睿东

河南科技大学 机电工程学院,河南 洛阳 471003

以碳纤维复合材料代替金属材料作为壳体的压力容器具有质轻、比强度和比模量高等优点,在航空航天及储气领域得到广泛的应用[1-5]。但在水压爆破试验过程中发现,碳纤维壳体压力容器的封头部分,尤其是接近金属件边缘处,容易产生应力集中区域,从而导致碳纤维壳体发生低压爆破。目前,常用的解决方法是对壳体封头部分进行补强[6]。二维织物生产工艺成熟、成本低、可织造的尺寸范围广,且经精确设计的织物结构及其变形范围能够基本满足复合材料构件的织物设计要求,故被用作复合材料压力容器封头区域的补强织物[7-10]。

传统经纬正交织造方法分段加工的平面二维织物在覆盖封头曲面时,纱线无法精确满足封头曲面的母线与环向正交的工程需求,且由于覆盖过程中二维织物受到载荷的作用,纱线及纤维产生局部滑移,聚集状态发生改变,纤维体积百分含量、力学性能及其复合材料构件性能等发生非均匀变化[11-13]。仿形织物是按部件的外形轮廓设计织制的单层机织物,织物可呈曲面结构,在成型时可将织物缠绕或层合起来,使纱线连续的同时还可以确保经纬纱之间的夹角[14]。仿形织造技术为高性能复合材料的低成本制造开辟了新的途径。仿形织物与目标曲面贴合的关键在于目标曲面的精确展开。郑鹏飞等[15]根据测地线的短程性与线上各点测地曲率为零的几何特性,采用在不可展的封头曲面上构建由测地线和法截线交织成线网的方法,获得椭圆形和球形封头展开图的边界。梁堰波等[16]基于能量模型将待展开曲面以三角网格形式表示,将曲面简化为三角网格顶点组成的质点系统,使曲面网格的划分更具有操作性。常用的曲面展开方法和技术还有几何逼近法[17]、力学模型法[18]、能量方程法[19-20]和三维软件法[21]等。

合理的二维织物与曲面几何覆盖映射之间的关系,有利于解决无缺陷覆盖的织物结构设计难题。本文基于封头空间曲面的剖分式理想展开方法,研究二维织物与封头曲面之间的几何映射关系,提出可覆盖封头曲面的二维织物的加工工艺参数理论计算方法,为封头补强仿形织物的成型加工提供理论参考。

1 封头补强织物成型方法及二维织物的单元类型

1.1 封头补强织物成型方法

与封头曲面外形特征相吻合的仿形织物的成型方法有两种,如图1所示:一种是对平面的二维织物进行裁剪,再通过织物变形进行覆盖,成型为所需要的封头补强织物,即平面覆盖法;另一种是在满足封头外形要求的前提下,设计加工工艺参数,在线一次仿形加工出完整的曲面补强织物,使用时将织物缠绕或层合起来,即仿形覆盖法。平面覆盖法补强织物产品虽然可以较好地贴合封头曲面,但部分纱线的裁断将导致补强织物的力学性能降低,影响补强效率和质量可靠性;仿形覆盖法加工的织物,其环向纱线连续且与经纱方向一致,可以很好地贴合封头曲面表面,同时可避免织物由于纱线裁断而导致的力学性能损失[22]。

图1 曲面封头补强织物成型方法

1.2 二维织物的单元类型

用于覆盖封头曲面的二维织物的结构组织主要有平纹组织、斜纹组织和缎纹组织[23]。这3种组织的二维织物的一般单元类型为正交单元,其中包括正方单元和矩形单元。正交单元在外力作用下可变形为可逆平行四边形单元和极限剪切单元。可逆平行四边形单元在二维平面内结构不稳定,在覆盖为封头曲面时,需实现经纬纱正交,从而使单元结构达到稳定状态。极限剪切单元为二维织物单元的最大剪切状态,具有极限稳定性,在外力作用下很难发生变形。3种组织的二维织物的各单元类型如表1所示。

表1 二维织物的一般单元类型

利用二维织物覆盖封头曲面时,考虑纱线截面及几何形状在一定范围内的变形,将织物单元的变形分为拉伸、压缩和剪切3种,即可求得可覆盖封头表面的织物最大剪切单元。该单元为表面覆盖的最小可重复单元。使用尺寸不小于最小可重复单元加工的二维织物,若其变形后仍能够满足工程需求,并且可无缺陷覆盖封头曲面,则称这种单元为该二维织物的适配单元(不唯一)。适配单元的几何尺寸决定封头曲面的覆盖程度。二维织物及其适配单元示意图如图2所示。

图2 二维织物适配单元

2 仿形覆盖加工封头曲面的二维展开方案

封头织物结构如图3所示,封头曲面由球头面与圆柱面组合而成。经纱与径圆重合、纬纱与回转曲面母线重合,被认为是封头曲面最理想的覆盖方式。为降低织造难度,在封头补强织物实际加工过程中可采用分段织造、间断卷曲的加工工艺,使补强织物的局部仍表现为平面织物。针对封头补强织物与封头曲面贴合的部分,将回转封头曲面等分,采用每份曲面上覆盖的织物纬纱与母线重合、经纱与径圆重合的织物近似展平方法。

图3 封头织物结构

为考察经、纬纱展平后的轨迹,将封头曲面沿母线和环向进行分割,再将分割后的经纱层逐条展开,其展开面的形状为扇形,封头圆柱部分的展开面形状为矩形,如图4b)所示。封头曲面每一层展开扇形的圆弧半径不同,但圆心均分布在中心线上。剖分式理想展开方案使得每一经纱层均能精确展开,但每一层与相邻层之间存在间隙,且间隙的大小均不相同,层与层之间的最大间隙为Emax。并且由图4c)可知,在剖分式理想展开过程中,平行于经纱方向的纱线连续,但纬纱方向的网格不连续。二维织物的经纱在织造过程中与纬纱正交,可沿经纱方向对纬纱单元网格进行近似展开。单元网格的长度(又称环向单元长)记为w,单元网格的宽度记为h。

图4 剖分式理想展开

二维织物的织造过程中,经纱是相互平行的,理想展开经纱的角度较难控制,因为受织物加工工艺的影响。将理想展开的经纱投影在相互平行的位置,如图5所示,即为平行经纱(径圆)的近似展开方案。取短径长为Lmin,经纱被分为5份,短径和长径在平行经纱上的投影长度不变,交织点的长度不发生改变,相邻层经纱展开时的短圆弧长和长圆弧长相等,则在相邻平行经纱的展开过程中,纬纱为倾斜的纱线。具体过程如图6所示,纬纱与经纱的交织点均分布在平行经纱上,将经纱逐层理想展开后,网格划分后的封头曲面如图6a)所示,将理想展开的经纱投影在相互平行的位置后,连接同一纬纱的交织点,形成具有一定倾斜角度的纬纱,获得近似展开的二维织物,即经纱相互平行,纬纱呈弧线分布,如图6b)所示。随着交织点数量的增加,即经密和纬密的增大,纬纱的弧线近似平滑,当平行经纱的数量较多时,单元尺寸的长度较小,纬纱可以通过一定弧度进行打纬,形成近似展开的二维织物,覆盖封头曲面。

图5 平行经纱近似展开

图6 平行经纱近似展开二维织物

由于单元网格的尺寸不同,剖分式理想展开后织物与曲面几何覆盖映射之间的误差也不一样。单元尺寸取决于纱线参数和工艺参数,进而影响层与层之间的最大间隙Emax。封头曲面的等分数同样影响二维织物的覆盖精度,设xoy坐标面上封头曲面的等分数为m,则封头曲面的几何关系如图7所示。

图7 封头曲面的几何关系

封头半径为R的圆柱曲面可精确展开,封头的局部球面本身为不可展曲面,其小端半径为r,大端半径为R。被等分的封头曲面每一份的大端弧长为Li，小端弧长为li。可得其几何关系为

(1)

设回转曲面r(θ,φ)由xoz坐标面上的曲线L1和L2绕z轴旋转而成,则曲面以θ、φ为参数的曲面方程为

r(θ,φ)={f(φ)cosθ,f(φ)sinθ,g(φ)}

(2)

曲面r(θ,φ)中的一点映射为切柱面中同纬度直线上的一点,取曲线的θ向参数为Θ,对应的可展切柱面的参数方程为

(3)

封头不可展曲面的参数方程为

x=f1(θ,φ),y=f2(θ,φ),z=f3(θ,φ)

(4)

回转母线L1:

x=f(φ)=Rcosφ,z=g(φ)=Rsinφ

(5)

由式(2)、式(3)和式(5)得,球面片:

r′(θ,φ)={Rcosφcosθ,Rcosφsinθ,Rsinφ}

(6)

切柱面片:

(7)

结合式(1)～式(7)即可获得封头曲面等分后的曲面几何关系。

3 二维织物和封头曲面的几何映射

封头曲面覆盖的织物与相应的二维织物存在几何对应关系。假设纱线横截面为椭圆形且面积恒定为S=πab(a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴);单元中纱线的长度不变,且织物在变形前后单元的数量不变。对单个不可展曲面,通过剖分式理想展开和平行经纱近似展开,将空间不可展曲面上的单元映射在二维平面,如图8a)和图8b)所示;再通过研究网格单元的变形,得到二维织物的单元合适形状和尺寸范围,如图8c)所示。封头曲面是由球头面与圆柱面形成的组合曲面。Ⅰ区域对应圆柱曲面的展开,单元仅发生拉伸变形或压缩变形,单元的4个节点组成的形状仍为矩形。Ⅱ区域对应球头面的展开,单元发生剪切变形,可通过单元节点的变化,探究曲母线回转面与二维织物的几何映射关系。

图8 适配单元的近似展开

图9 曲母线回转面

在xoz平面内,曲母线z=-px2+H上切线L1的斜率为K1(K1=-2px),将过坐标原点o的曲母线切线line 1的法线line 2斜率用K2表示,由K1K2=-1可求得line 1与line 2的交点A(x1,z1)。点A与x轴上的空间曲面底面半径BC构成一个平面(z1/x1)x+z=0,该平面与空间曲面相交构成空间曲面的剖切面ABC,相交曲线f(x,y,z)为剖切面ABC的轮廓线,如图10所示。曲面可对称2次完成覆盖及几何运算,覆盖半回转曲面时,经纬向纱线分别与曲线f(x,y,z)和f(y,z)吻合并均匀映射。原始平纹织物单元边长均匀变形均布曲线段后,再向Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ区域覆盖映射,如图11所示。

图10 回转曲面几何关系

图11 回转曲面分区及几何映射方法

纱线在不同区域内任意位置发生不同程度的对角协调变形,且图11中的Ⅰ、Ⅲ区域和Ⅱ、Ⅳ区域关于平面yoz对称。二维织物在区域内部发生对角协调变形,一个二维织物单元用4个节点描述,连续变化的四节点单元构成空间区域。以点A为基点,对应区域Ⅰ纱线节点为W(i,j),i表示沿曲线f4(x,y,z)方向的节点序列,j表示沿曲线f1(x,z)方向的节点序列。在W(1,j)和W(i,1)上单元发生内禀变形。从基点A开始在曲线f(x,y,z)上和曲线f(y,z)上以二维织物内禀变形后的单元边长L0等分曲线段,寻找到一系列几何节点W(1,k+1)和W(n+1,1)并作为覆盖初始点,其中k和n分别表示需要覆盖曲线f(x,y,z)和f(y,z)的单元数量,xi,j,yi,j,zi,j为节点W(i,j)在曲面上的空间坐标。

用基点A、点W(1,2)和点W(2,1)这3个节点寻找第一个单元的第四个节点,并确定可能的单元初始纱线夹角α1,1,换算对应夹角的单元长度L1,1=g(α1,1)。依次叠加获得区域I内所有单元经纬纱线的夹角αi,j,并换算成对应的变形后单元边长Li,j=g(αi,j)。αi,j和Li,j之间满足如下关系:

(8)

以点A为基点在区域Ⅲ内以相同的方法叠加运算,即可获得完整几何覆盖算法。可覆盖二维织物展开几何轮廓如图12所示,用设计的纱线股数和经纬密加工二维织物,保证经纬纱数量Q1和Q2,并按文中所述覆盖方法即可精确覆盖所述空间曲面。

图12 半球覆盖映射

4 二维可织织物经纬密的理论计算方法

二维织物的结构参数及外轮廓形状取决于其经纬密的大小。为区别于传统的二维织物,后文将与封头曲面相对应的仿形织物称作二维可织织物。二维可织织物织造时经纱的排布如图13所示,经纱沿着封头曲面母线均匀排布。随着封头曲面大端到小端圆弧半径的逐渐减小,纬纱数量逐渐减少。沿封头曲面的回转母线,对封头曲面按照第2节描述的剖分式理想展开法进行精确展开。取m等分后的一个曲面,曲面圆弧对应封头曲面内的角度为2π/m,不可展曲面部分沿平行经纱层逐条展开,展开面形状为扇形;可展曲面部分的展开形状为矩形,如图14a)所示。

图13 织造过程中的经纱排列

图14 剖分式理想展开的经纱层间关系

精确展开的经纱层与层之间的关系如图14b)所示,第j层与相邻层之间的公用圆弧长度相等,但由于每一层的圆弧展开角度不同,导致各层之间存在间隙。经纱展开后的空间弧线段长度为

(9)

假设最长空间弧线段具有K个节点,其将弧线等分为K-1段,各段的长度与纱线的参数相关,且均匀分布在经纱上。随着封头曲面大端到小端圆弧半径的逐渐减小,空间弧线段上的节点数减少。由于单元的长度w是固定的,且空间弧线段上的节点数是确定的,最终得到展开圆弧段的长度为

(10)

在经纱层的展开过程中,短圆弧网格展开后的理论长度和实际长度存在差异,将该误差记为E1;同理,长圆弧网格展开后的理论长度与实际长度存在差异,将该误差记为E2。经纱方向的单元节点数为Kj。由经纱方向的单元节点数即可知纬纱数量。设P为间隙占单元长度的百分比,其值越小,表明展开的精度越高。则各个参数之间存在式(11)的关系。

(11)

式中:Ej为第j层经纱展开圆弧段的长度误差。

在理想展开法的精确度分析过程中,理想单元与实际单元的重合度决定了封头曲面的展开精度。假设网格划分过程中,曲面等分数m=8,织物结构单元为正方单元,即w=h;当单元尺寸分别取10、8、6和4时,织物单元理想分布(矩形方框表示)和实际分布(菱形方框)如图15所示。

图15 单元尺寸对单元分布的影响

由图15可知,在封头曲面结构参数相同的情况下,单元理想分布和实际单元分布的重合度随着单元尺寸的减小而增大,即封头曲面的展开精度随着单元尺寸的减小而增大;且单元的尺寸大小影响短圆弧和长圆弧网格展开后的理论长度与实际长度的误差,短圆弧误差E1和单元节点数量K随着单元尺寸的减小而增大,长圆弧误差E2和层与层之间的最大间隙Emax随着单元尺寸的减小而减小。则当单元尺寸设计得足够小时,E1和E2的值较小,即长短圆弧展开的理论长度和实际长度相差较小,同时Emax值也较小,即层与层之间的最大间隙较小。当长短圆弧展开的理论长度和实际长度的误差和层与层之间的最大间隙小到可以忽略时,即可实现图6所示的平行经纱近似展开。在网格划分过程中,等分数的大小同样影响单元理想分布与实际分布的误差值,本文不做过多讨论。

5 试验验证

5.1 试验材料与装置

被覆盖的封头曲面如图16所示,其大端半径R=43 mm,小端半径r=16 mm。在网格划分过程中,将回转封头曲面等分,等分数m=4,w=h=4 mm。手工织制出与封头曲面相对应的二维可织织物,所用国产碳纤维纱线的规格如表2所示。织制的二维可织织物(图17)与等分后的部分封头曲面相对应。

表2 碳纤维纱线的规格

图16 被覆盖的封头曲面

图17 织物试样

5.2 结果与讨论

织物铺覆效果如图18所示。由图18可以看出,二维可织织物覆盖后,封头曲面部分上的经纱与封头曲面的径圆基本重合,纬纱倾斜一定角度,经纱和纬纱基本处于极限剪切稳定状态,且纬纱密度从小端半径至大端半径逐渐增大,经纬纱的位置形状与本文理论分析部分相吻合,验证了封头曲面剖分式理想展开法的可行性,以及封头曲面与二维可织织物之间几何映射关系的正确性。

图18 铺覆后的封头曲面

然而,由于铺覆所用的二维可织织物采用手工织制,铺覆后的封头曲面部分纱线间存在较大间隙,尤其是曲面母线附近。出现这种现象的原因可能为:一是手工织制的二维可织织物本身就存在较大间隙,织物在外力作用下铺覆在封头曲面表面上,为适应曲率不断变化的封头曲面,纱线会产生旋转和滑移,从而造成间隙的扩大,采用专业的织机织造可以尽可能避免此类问题;二是在划分网格过程中,曲面等分数和单元尺寸选取不合理,导致实际单元与理想单元之间的分布误差较大。两种因素均会导致织造出的织物与封头曲面不能完全贴合。碳纤维织物在与基体材料进行复合时,纱线间隙的存在会形成复合材料富树脂区,进而导致封头压力容器的力学性能下降,因此在实际生产过程中应尽可能避免纱线间隙的形成[24-25]。

6 结论

本文以三元组织二维织物覆盖封头曲面的展开方法为背景,提出了可确保覆盖二维织物经纬纱线连续和正交的封头曲面剖分式理想展开法;探讨了封头曲面覆盖织物与二维可织织物存在的几何映射关系,并对二维可织织物的织造工艺参数进行设计。研究发现理想展开后的封头曲面在结构参数相同的情况下,曲面展开精度随着单元尺寸的减小而增大,且各层经纱的短圆弧误差和单元节点数量随着单元尺寸的减小而增大,长圆弧误差和层与层之间的最大间隙随着单元尺寸的减小而减小。即当单元尺寸设计得足够小时,纬纱的弧线近似平滑,纬纱可以通过一定弧度进行打纬,利用平行经纱近似展开形成相应的封头补强二维可织织物。最后,本文进行了二维可织织物的织制与封头覆盖试验,结果表明,使用相应的二维可织织物覆盖封头后,经纬纱的位置形状与理论分析部分基本相吻合,验证了封头曲面剖分式理想展开法的可行性及封头曲面与二维可织织物之间几何映射关系的正确性。