变量分离疑无路，柳暗花明借同构

邓文忠

【摘  要】  对于含参导数问题，题型特别丰富，解法变化多端，变量分离法不是全部，特别对于含参指对混合题型，提倡首选同构．本文顺着学生偏爱的变量分离法思路，当思维受阻时，借助同构从而柳暗花明．

【关键词】  导数；变量分离法；同构

在实际教学中遇到含参导数问题大多学生偏爱变量分离法，而且丝毫不怀疑自已的能力．但对于一类含参数的指数与对数结合的导数综合题，倘若直接变量分离，大多时候无法分离，即使能分离，不仅过程复杂，而且难度较大．对此，不妨实施同构变换，构建同构函数，实现变量分离．

1  同构后变量分离

例1  已知函数f（x）=emx+x-xlnx （m≥0）．

（1）当m=1时，求f（x）在[1，e]上的值域；

（2）讨论f´（x）零点的个数．

解析  （1）当m=1时，f（x）=ex+x-xlnx．

∵f´（x）=ex+1-（lnx+1）=ex-lnx＞0，

∴f（x）在（0，+∞）上单调递增．

∵f（1）=e+1，f（e）=ee，

∴f（x）在[1，e]上的值域为[e+1，ee]．

（2）f´（x）=memx-lnx=0．

∵m≥0，

∴memx=lnx≥0．

∴x≥1．

这个方程中变量m无法表示，因而无法变量分离，到此似乎陷入困境．

注意到方程指对混合，因此同构．

由memx=lnx得：mxemx=xlnx．

令g（x）=xex，则g（mx）=mxemx，g（lnx）=xlnx，

∴g（mx）=g（lnx）．

∵g´（x）=（x+1）ex＞0，

∴g（x）在（0，+∞）上单调递增．

故问题转化为讨论mx=lnx（x≥1，m≥0）零点的个数．

变量分离：m=，

令h（x）=，

则h´（x）= ，

令h´（x）=0，得x=e．

∴当x∈[1，e）时，h´（x）＞0，h（x）单调递增；

当x∈（e，+∞）时，h´（x）＜0，h（x）单调递减；

当x=e时，h（x）max=；

当x→+∞时，h（x）→0，h（1）=0．

图象如图1．

∴当m＞时，f´（x）无零点；

当m=0或m=时，f´（x）有一个零点；

当0＜m＜时，f´（x）有两个零点．

点评  第（2）问也可由memx=lnx得到memx+mx=mx+lnx，然后构造g（x）=mex+x，则g（mx）=g（lnx）．

例2  已知函数f（x）=mex-ln（x+1）+lnm，若f（x）≥1，求m的取值范围．

解析  mex-ln（x+1）+lnm≥1，这个不等式无法变量分离，注意到指对混合，因此同构．

变形：mex+lnm≥ln（x+1）+1．

mex+lnm+x≥ln（x+1）+x+1．

mex+ln（mex）≥（x+1）+ln（x+1）．

令g（x）=x+lnx（x＞0），

则g（mex）≥g（x+1）．

g´（x）=1+＞0，

∴g（x）在（0，+∞）上单调递增．

故问题转化为解mex≥x+1 （x＞-1，m＞0）．

变量分离：m≥，

令h（x）=．

则h´（x）=．

∴当x∈（-1，0）时，h´（x）＞0，h（x）单调递增；

當x∈（0，+∞）时，h´（x）＜0，h（x）单调递减；

当x=0时，h（x）max=1．

∴m≥1．

点评  上面解法中还可依据ex≥x+1（当x=0时取等号），得≤=1，所以m≥1．

另解  mex-ln（x+1）+lnm≥1ex+lnm-ln（x+1）+lnm≥1ex+lnm+x+lnm≥ln（x+1）+（x+1），

令g（x）=ex+x，则g（x+lnm）=g（ln（x+1））．

2  变量分离后同构

例3  已知函数f（x）=xex-mx．

（1）当m=0时，求f（x）在（t，+∞）上的单调区间；

（2）若f（x）≥lnx+x+1对x∈（0，+∞）恒成立，求实数m的取值范围．

解析：（1）当t≥-1时，f（x）在（t，+∞）上单调递增；

当t＜-1时，f（x）在（t，-1）上单调递减，在（-1，+∞）上单调递增．（过程略）

（2）由题意得xex-mx≥lnx+x+1．

变量分离：m+1≤．

令g（x）= ，只需要求解：m+1≤g（x）min．

g´（x）= ．

令h（x）=x2ex+lnx，

则h´（x）=（x2+2x）ex+＞0，h（x）在（0，+∞）单调递增．

∵h（1）=e＞0， h（）=＜0，

∴h（x）有唯一零点x0∈（，1），

即x02=-lnx0．

∴当x∈（0， x0）时，h（x）＜0，则g´（x）＜0，故g（x）单调递减；

当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，则g´（x）＞0，故g（x）单调递增．

当x=x0时，

g（x）min=

=．

这个值能不能算？是多少？一路顺风顺水到这里思维受阻，不禁让人怀疑能不能运用变量分离法．

观察方程x02=-lnx0的特点，指对混合，因此产生同构的想法．

变形，得：x0=．

令φ（x）=xex，则φ（x0）= x0，

φ（）=，

∴φ（x0）=φ（）．

∵φ´（x）=（x+1）ex＞0，

∴φ（x）在（0，+∞）上单调递增．

∴x0=，故x0=1．

∴g（x）min==1．

∴m≤0，即m的取值范围（-∞，0）．

点评  本题考查含参指对混合不等式恒成立，变量分离后，利用导数求最值中用到了隐零点，但求最小值并不一帆风顺，还得借助同构化简隐零点方程．

另解  ∵xex=ex+lnx≥x+lnx+1（依据ex≥x+1（当x=0时取等号）），

∴g（x）=≥=1（当x+lnx=0时取等号）．

∴m+1≤1．

∴m≤0．

3  结语

构建同构函数是一种重要的思想方法，需要仔细观察其外形结构，深入剖析其本质属性，往往要先变形，甚至多次变形，才能显现相同结构．这有利于培养学生敏锐的观察能力、丰富的想象能力、灵活的构造能力和高超的创造能力，也考查了核心素养．借助同构把原来复杂的指对方程或不等式化为简单的可继续变量分离的方程或不等式，化繁为简和化归体现的淋漓尽致．