导数与函数图象

2024-01-12 09:10杜军利
数理天地(高中版) 2024年1期
关键词:单调性导数

杜军利

【摘  要】  本文从导数的实际意义、单调性、极值点三个角度出发,结合高考真题,阐述导数问题在高考中是如何考查的.通过针对性的甄别函数图象的练习,提升我们对导数问题的进一步认识.

【关键词】  导数;单调性;极值点

导数是研究函数的性质与形态的一个强有力的工具,在解决函数的单调性问题,求函数的极值、最值问题时应用极为方便.而根据函数的以上性质我们很容易作出函数的简图.纵观近几年高考试题,各地高考试卷中对这方面的考查是层出不穷.

1  导数的实际意义

导数反映了函数在定义域内每一点处的变化快慢程度.

例1  (2008全国卷Ⅰ)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数,其图象可能是(详情见图1)(   )

分析  汽车的行驶路程s是时间t的函数,在经历启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,其行驶速度经历由小变大,速度不变,由大变小的变化趋势,由此结合图象,选择(A).

2  单调性的判断

对于可导连续函数来说,在某一区间则函数在该区间单调递减,反之,函数在该区间单调递增.

例2  (2008山东卷)函数的图象是(详情见图2)(   )

分析  首先,可以判断出所给函数是偶函数,所以排除(B)(D).其次,所给函数的导函数,而在上所以在该区间上原函数单调递增,同理,在上原函数单调递减.所以选择(A).

3  极值点的判断

函数在某点处的导数值且在左右两侧的单调性相异,则是函数的极值点.反之,若只有则不是函数的极值点.

例3  (2006天津卷)函数的定义域为开区间,导函数在内的图象如图所示,则函数在开区间内有极小值点(详情见图3)(   )

(A)1个.           (B)2个.

(C)3个.           (D)4个.

分析  函数的定义域为开区间,导函数在内的图象如图3所示,可以看出在区间内,有三个变号零点,其中只有一个零点对应的函数值,左负右正,即函数在开区间内极小值点有且只有1个,故选(A).

4  针对性训练

例4  已知函数y=f(x),其导函数的图象如图4,则(   )

(A)在区间内递减.    (B)在处取得最大值.

(C)在区间内递减.    (D)在处取得最小值.

例5  已知函数的图象如图5所示,那么(详情见图5)(   )

(A).   (B).

(C).   (D).

例6  若函数的图象的顶点在第四象限,则函数的图象是(详情见图6)(   )

例7  (2007浙江卷)设是函数的导函数,将和的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是(详情见图7)(   )

例8  (2005江西卷)已知函数的图象如图所示(其中是函数的导函数),的图象大致是(详情见图8)(   )

例9  (2008福建卷12)已知函數,的导函数的图象如下图,那,的图象可能是(详情见图9)(   )

5  结语

总之,近年来高考函数图象题虽然变化很多,但不管怎么考,万变不离其宗,都是通过函数图象的“形”的特点,来间接考查函数的相关性质.综合以上分析,这类问题的解题策略简单地概括为:看图象,运用导数,看函数性质(单调性、奇偶性、对称性、极值、最值等).灵活地运用这些解题策略,就能作出正确的判断和选择.

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