高中函数问题的两种常用解题方法探究

吴叶

【摘要】针对同一类型问题，掌握不同的解答方法，有助于促进学生对理论知识的理解与掌握，从而做到融会贯通、举一反三.函数问题是高中数学的重要知识点，其解题的思路和方法也是多种多样的.本文针对高中数学函数问题，分析了运用图象法和导数法这两种常用方法解答问题时的思考过程，并举例进行详解，以期望加强学生对这一知识点的掌握与理解.

【关键词】函数；多元；解题思路

1  图象法

图象法在解函数问题中的应用主要是根据图象的特点，判断函数单调性、方程根的个数，以及不等式解集等问题.解题的思考过程为：首先分析题设的含义，然后画出相应的函数图象，再依据函数图象得出相应的关系式，最后求解作答.具体题型分析如下：

1.1  利用函数图象研究函数的性质

例1  已知函数f（x）=2－x－1，x≤0，－x2+4x，x>0，求f（x）的单调区间.

分析  对于容易在给定区间上画出图象的函数，当要求讨论其单调性、奇偶性、周期性等性质时，最便捷的方法是直接画出图象进行解答.

解  如图1，画出f（x）的图象，易知f（x）的单调递增区间为0，2，单调递减区间为－∞，0和2，+∞.

1.2  利用函数图象研究方程根的个数

例2  已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（1－x）=f（1+x），当x∈0，1时，f（x）=x，函数g（x）=e－x－1－1<x<3，求f（x）与g（x）图象的交点个数.

分析  方程f（x）=0的根就是函数f（x）图象与x轴的交点的横坐标，方程f（x）=g（x）的根就是函数f（x）与g（x）图象的交点的横坐标.

解  由题意可知函数f（x）和g（x）的图象关于直线x=1对称，

当1≤x≤2时，f（x）=2－x，g（x）=e1－x，设h（x）=2－x－e1－x1≤x≤2，则h′（x）=－1+e1－x≤0，当且仅当x=1时取等号，即函数h（x）在1，2上为减函数.又h（1）=0，则h（x）≤0，即函数f（x）和g（x）的图象在1，2上无交点.因此函数f（x）和g（x）在－1，3上的图象如图2所示，可知两个函数图象有3个交点.

1.3  利用函数图象研究不等式解集

例3  已知函数f（x）=2x－x－1，求不等式f（x）>0的解集.

分析  当函数较为复杂，不方便用代数法求解不等式时，可以利用数形结合来处理，将不等式两边转化为两个函数，将不等式问题转化为两个函数图象的上下关系问题.

解  不等式f（x）>0等价于不等式2x>x+1.画出函数y=2x和函数y=x+1的图象如，图3所示，易知两个函数图象的交点坐标为（1，2）和（0，1）.观察图象可知，当x>1或x<0时，函数y=2x的图象在函数y=x+1图象的上方，即2x>x+1，故不等式f（x）>0的解集为（－∞，0）∪（1，+∞）.

2  导数法

2.1  利用导数研究函数的单调性

利用导数讨论函数单调性或求单调区间是其重要应用之一，也是高考的热点，解决此类问题关键在于根据导数值的符号变化确定参数所满足的条件.解题的思考过程为：首先求函数f（x）的定义域，然后求导数f′（x），再解不等式f′（x）>0或f′（x）<0，最后得出结论.

例4  （2021·全国高考节选）已知函数f（x）=x3－x2+ax+1，请讨论f（x）的单调性.

解  对函数求导得f′（x）=3x2－2x+a，对于3x2－2x+a=0，Δ=4－12a.

①=1＼*GB3＼*MERGEFORMAT当a≥13时，Δ≤0，即f′（x）≥0在R上恒成立，此时f（x）在R上单调递增；

②=2＼*GB3＼*MERGEFORMAT当a<13時，Δ>0，方程3x2－2x+a=0的两个根为x1=1－1－3a3，x2=1+1－3a3，

即

x∈－∞，1－1－3a3和1+1－3a3，+∞时，f′（x）>0；

当x∈1－1－3a3，1+1－3a3时，

f′（x）<0.

综上所述，f（x）的单调递增区间为－∞，1－1－3a3和1+1－3a3，+∞，单调递减区间为1－1－3a3，1+1－3a3.

2.2  利用导数研究函数的极值和最值

利用导数研究函数的极值和最值，主要是判断函数极值或最值的存在情况，以及求极值或最值.这类问题涉及函数的单调性，往往需要对参数进行分类讨论，关键点是如何对参数的讨论区间进行划分.其思考过程如下：

①=1＼*GB3＼*MERGEFORMAT利用导数研究函数的极值，首先求函数的定义域，然后求导数f′（x），再进行解方程，判断f′（x）的符号，最后求出极值得到结论；

②=2＼*GB3＼*MERGEFORMAT利用导数研究函数的最值，首先求函数的定义域，然后求导数f′（x），再求出函数在给定区间上的极值，以及函数在区间端点处的函数值，最后将函数的极值与端点值比较，确定函数的最大值或最小值.

例5  （2022·福建调考）求函数f（x）=exx2－3在2，4上的最值.

解  根据题意得f′（x）=exx+1x－3x2－32，令f′（x）=02≤x≤4，得x=3，当2≤x<3时，f′（x）<0；当3<x≤4时，f′（x）>0.因此函数y=f（x）在x=3取得最小值，即fmin（x）=f（3）=e36，在x=2或x=4处取得最大值，

即f（2）=e2，f（4）=e413，而e413·e2<e2，所以fmax（x）=f（2）=e2.

参考文献：

[1]谢玉龙，杨爱玉.高中数学函数解题思路多元化的方法＼.亚太教育，2022（19）：135-137.

[2]赖伟红.高中数学函数问题多元化解题思路探讨＼.中学课程辅导（教师教育），2021（06）：74-75.

[3]王惠兰.例谈高中数学函数与导数综合问题的解题思路探究＼.中学生数学，2020（05）：14-15.