一题多解

马希文

一个问题的解法由于有繁简之别，思路、技巧也不同，因此解法往往不止一种。如果把这些解法加以分类整理，仔细品味，可以使我们对问题的本质有更深的认识，而且可以举一反三，利于解答类似的问题。

以选择题的18题为例。这个题目是说:设不超过1983的全体正奇数的乘积是n，n的最后三位数是__。供选择的答案是125，625，875。

武汉纺织器材厂的刘佑仁同志提出了如下的解法:他先把n写成

n=(1×3×5×7)×(9×11×13×15)×…×(1977×1979×1981×1983)

每个括号中的四个数的乘积是(8k十1)(8k十3)(8k+5)(8k十7)，这个数是8的倍数加1，于是他就可以断定n被8除余1。另外，1000是8的倍数，所以n的末三位数被8除也应该余1。于是他就检查答案中的各数，发现被8除余1的只有625。想必这就是答案了。

这个方法充分利用了题目中的信息——三个答案中一定有一个是正确的。所以他不用求出答案，只用找到答案的某一个特征(被8除余1)，就足以分辨出正确的答案了。不用说，对于解答选择题来说，这是一个高明的办法。

其实，既使没有这三个供选择的答案，也不难把它求出来。因为n是125的奇数倍，所以它的末三位数只可能是125，375，625，875。这四个数中只有625被8除余1，所以n≡625。

总之，这个办法归根结底是利用了(1)1000是8与125的最小公倍数，(2)8与125是互素的。由此可以证明，一个数的末三位数总可以根据它被8除的余数和被125除的余数确定出来。

四川省江北县仙桃公社小学白时峙，大连工学院力学系研究生罗季年等同志提出的解法与此大同小异。他们先从n中抽出125来，成为m=1×3×…×123×127×…×1983，n=125m，把m象n一样地分组，使其中出现一个只有三个数的括号(121×123×127)，这三个数的乘积除以8余数是5。这样就可以知道m除以8余数也是5。所以n=125m=125(8p十5)=1000p十625≡625。

(这里“≡”表示末三位数相同)。

根据以上的讨论，不难想到，如果逐个计算1×3，1×3×5，1×8×5×7，…那末乘到若干次之后(只要乘到25)，就开始出现625，875，375，625这样的循环，这样就不难求出解答来了。可能有不少读者是这样解题的(特别是使用计算器的读者)，因为确实收到了这样的建议。

要想使这个解法言之成理，应该补充说明为什么一定会这样循环下去。这是不成问题的，因为

625(8p+1)≡625

625(8p+3)≡875

875(8p+5)≡375

375(8p+7)≡625

北京航空学院图书馆潘洪亮同志提出的解法独具一格。他把n分成这样三组数的乘积:

n=(1×3×…×983)×(1001×1003×…

×1983)×(985×987×…×999)前两个括号的乘积末位数相同，都是 100p+10q+5，所以

(1×3×…×983)×(1001×1003×…×1983)

≡(100p+10q+5)2

≡100q(q+1)+25

另一方面:

985×987×…×999

=(10000-15)×(1000-13)×…×(1000-1)

≡15×13×…×1≡025

可见n≡25〔100q(q+1)+25〕

≡2500q(q+1)+625

这里，q与(q+1)一定有一个是偶数，所以2500q(q+1)一定是5000的倍数，因此n≡625。这个解法在想象力和技巧两方面都令人叹观止矣，可说是以上各种解法之冠了。