在“规矩”与“方圆”中求索

曹培英

感悟数学自身的魅力

在离开上海来到江西革命老区插队的第5个年头，已是生产队强劳动力的我，突然有一天意外地收到了赣州师范学校的录取通知书，我深知，作为一名头戴“可教育好子女”紧箍咒的知青，能得到这个招生指标很难得，当时的心情是又高兴又复杂。

儿时，我有过很多梦想，但从没想过当老师。16岁只身上山下乡，5年来已经习惯每天和农民在田间地头迎送日出日落。面对突来的人生抉择，我并没有迟疑。想到自己被耽误了的青春年华，想到煤油灯下自学的艰辛和无人指点的痛苦，暗暗立志要当一个好老师，让学生的学习少走弯路。最初的教师情结就由此凝成。

耳闻目睹了“文革”年代种种颠倒黑白的是是非非，我深感数学———对错分明的可贵。思前想后：人文学科难免“公说公有理，婆说婆有理”；自然学科真理的辨别标准比较明确，但需要实验条件；而数学只需一张纸、一支笔就能依靠逻辑的力量获得真理。所幸的是，毕业分配时我任职的学校正需数学教师，天遂人愿。从此我与数学教学结缘。

怎样才能让我的学生喜欢数学呢？

起初，我模仿老教师上课，自编数学童话，自制演示教具……

渐渐地，我发现数学课中适度的智力挑战，能够激起学生的探究欲望。让学生体验思维的乐趣，享受解决问题的成功喜悦，学生的兴趣水平也得到了提升。

后来，在自学高等数学的过程中，我阅读了数学史、数学思想发展史，开拓了视野。结合教学实践我又慢慢悟出：许多数学知识，甚至数学符号本身，有着内在的趣味性。于是，我在引进乘法时，故意先让学生感受同数连加的麻烦：写出10个2连加的算式，學生完成了；再写100个2连加的算式，学生纷纷停笔，脸上露出难色。

“数学中有个好办法……”我顺势引出乘法，使学生在初步了解乘法含义的同时，体会到了2×100是多么的简洁。

“为什么乘号用‘×表示呢？”我又抛出了一个有趣的问题，然后不紧不慢地自问自答道：“原来，发明乘号的数学家觉得既然是同数连加，就把加号转一下用来表示这种新的运算。”乘号在学生的眼中变得有了灵性。学生与我都沉浸在数学的世界里，时常经历着一种感动，这感动悄然化成丝丝养分，滋养我们的数学学习。

是啊，当教学能够深入到数学的内部，展现它自身的魅力时，那些从外部添加的趣味性，什么小狗、小猫的故事，五颜六色的教具，就可以少用乃至不用了。这也是数学教学的一种返璞归真吧！

数学的魅力在我看来，反映在很多方面。教学分数除法，当引导学生得出“除以一个数（0除外）等于乘上这个数的倒数”时，我会动情赞叹：多么奇妙的规律、多么了不起的发现！除法居然可以转化为乘法，用乘法计算来代替除法计算！

其实，即便是小学数学，它的每一个结论、每一条规律，几乎都能找到令人赞叹的理由，几乎都能通过适当的方式，让学生有所感悟。为什么有的老师会无动于衷，放弃可贵的教育机会呢？是本体性知识的理解深度问题吗？好像不全是。有一天，看到媒体在评选感动中国的年度人物，我突然醒悟：只有当教师自己被数学所感动时，他才能自觉地、不失时机地用数学的魅力去打动学生。

探究儿童认知数学的世界

我以应届师范生第一名的成绩毕业，进入任职学校。同事中我是唯一的年轻人，大家对我呵护有加，但似乎是因为那个“第一”，老师们都在回避向我传授“教”的经验，反倒时常来问我有关教材内容的问题。每当我诚恳请教，讨论的话题总会在不经意间转向学生的“学”。比如学习分数乘法，学生常常可能出现哪些问题，有什么方法可以解决，等等。

现在看来，那时的苦恼，恰恰成全了我。当一般新教师出于站稳课堂的本能，将注意力集中在“如何教”的时候，我却同时在关注着“如何学”。

于是，“防患于未然”成了我最初教学理想境界的追求；研究学生的学习错误，成了我比较系统地探究儿童认知世界的开始。

我先后对学生的计算错误、学习几何的错误、解应用题的错误，诸种错误的分类、成因和对策进行了研究。凭借着年轻人旺盛的精力，我不舍昼夜地翻遍了能够找到的教育心理学书籍。这样的努力，提高了教学的有效性，也让我不断体验到探究儿童精神世界的乐趣。

在我记录的学生计算错误里有这样一例：3000-678=2222。这是一个口算能力很强的学生课堂练习里出的错。课后，我百思不解，百位上9-6怎么会得2呢？是粗心吗？我把他找来一问，原来他没有听讲，计算时看着黑板上例题300-78的板书，发现个位上是10，十位上是9，就“依此类推”百位上自然是8了：例题板书：

真是“匪夷所思”。难怪个人建构主义的始祖皮亚杰，当初在进行儿童推理测验过程中，会被儿童形形色色的答案所诱惑，从此潜心儿童心理研究，开创自然状态下的“临床研究法”。

如果用教育科研的规范来审视上述研究，既没有研究计划，也无须开题、结题，充其量只是对特定对象的“留意”。时断时续的观察，发现问题、分析原因、试图归类、尝试解决，如此反复积累。有空闲且有功利性需要时，就整理成“教学经验文章”；反之，就让它连同教学情境留在记忆里，或者保存在教案末尾的教学后记里，自生自灭。当然，如果同事感兴趣，可以口耳相传和共享。用眼下时髦的话语来说，这应该算是原生态的田野研究，只不过它不以发表论文为终结，且主要用来自我欣赏、自我享用。在我看来，这种与教学浑然一体的研究，是教学不可或缺的组成部分。因为教与学的基本原理是对一般规律的概括，没有哪一种理论能够告诉我们在一个特定场合、特定条件下出现的具体问题该如何解决。这些出现在千差万别的教学现场中的问题，只能由教师自己去设法处理。这也应该是现在提倡“教师即研究者”的本意。而且教师天天置身于课堂中，不仅拥有大量的研究机会，同时还处在一个得天独厚的研究位置上。他可以带着明确的意图，去观察、去实施，而不改变课堂教学的自然状态。任何外来研究者都不具备这样的研究条件。