谈特殊四边形的识别

庄亿农

特殊的平行四边形及等腰梯形是四边形的主要内容，它们的应用非常广泛．现就它们的识别条件举例说明，供同学们参考．

[一、平行四边形]

例1（2007年·吉林省）如图1，有一矩形纸片ABCD，翻折∠B、∠D，使BC、AD恰好落在AC上．设F、H分别是B、D落在AC上的点，E、G分别是折痕CE、AG与AB、CD的交点．求证：四边形AECG是平行四边形．

分析：要证明四边形AECG是平行四边形，题中已有条件CG∥AE，因此可考虑证明CG= AE，利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”；也可以考虑证明AG∥CE，利用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”．下面用第二种思路证明．

证明：在矩形ABCD中，因为AD∥BC，所以∠DAC=∠BCA．由题意，得∠GAH=∠1/2DAC，∠ECF=∠1/2BCA，所以∠GAH=∠ECF，所以AG∥CE．又因为CG∥AE，所以四边形AECG是平行四边形．

点评：平行四边形常见的判定方法还有：①两组对边分别相等的四边形；②对角线互相平分的四边形；③两组对角分别相等的四边形．运用时，要灵活选择．如果一种方法不易解出，可以尝试其他的方法.

[二、矩形]

例2（2007年·东营）如图2，在△ABC中，AB=AC.AD⊥BC，垂足为点D.AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．求证：四边形ADCE为矩形．

分析：要证明四边形ADCE为矩形，题设中已有两个角是直角的条件，可考虑利用“有三个角是直角的四边形是矩形”来证明，故只要证明∠DAE是直角即可．

证明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，所以∠BAD=∠DAC．因为AN是△ABC外角∠CAM的平分线，所以∠MAE=∠CAE．故∠DAE=∠DAC+∠CAE=×180°=90°．又因为AD⊥BC，CE⊥AN，所以四边形ADCE为矩形．

点评：矩形常见的判定方法有：①三个角是直角的四边形；②有一个角是直角的平行四边形；③两条对角线相等的平行四边形．

[三、菱形]

例3（2007年·双柏）如图3，在梯形纸片ABCD中，AD∥BC，AD>CD.将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C1处，折痕DE交BC于点E．求证：四边形CDC1E是菱形．

分析：由于是折叠问题，因此有很多边相等、角相等，可以考虑利用“四条边都相等的四边形是菱形”来证明．

证明：由题意可知△CDE≌△C1DE，则有CD=C1D，∠C1DE=∠CDE，CE=C1E．因为AD∥BC，所以∠C1DE=∠CED．故∠CDE=∠CED，于是CD=CE．所以CD=C1D=C1E=CE，四边形CDC1E是菱形．

点评：菱形常见的判定方法有：①四条边都相等的四边形；②有一组邻边相等的平行四边形；③对角线互相垂直的平行四边形．在折叠问题中，如果有平行线的条件，一般都会有等腰三角形存在.这点应当重视.

[四、正方形]

例4（2006年·深圳）如图4所示，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O．若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是________．

分析：这是一道开放型题目.根据已知条件知四边形ABCD是菱形，要使四边形ABCD是正方形，按其判定方法只要增加条件∠BAD=90°，或∠ABD=45°，或AC=BD等.

解：略.

点评：正方形常见的判定方法有：①有一组邻边相等的矩形；②有一个角是直角的（或对角线相等的）菱形.

[五、等腰梯形]

例5（2007年·连云港）如图5，在等腰△ABC中，AB=AC.BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为点D、E，连接DE．求证：四边形BCDE是等腰梯形．

分析：要证明四边形BCDE是等腰梯形，首先要证明它是梯形，再证明其两腰相等即可．由图形知BE与CD显然不平行，因此要证明DE∥BC，可通过“同位角相等，两直线平行”来解决．要证明这个梯形是等腰梯形，可通过说明两腰相等的方法达到．

证明：在等腰△ABC中，AB= AC，∠ABC=∠ACB．因为BD⊥AC，CE⊥AB，所以∠BEC=∠CDB=90°．又BC=CB，所以△BEC≌△CDB（AAS）．于是BE=CD.从而AB-BE= AC-CD，即AE=AD.所以∠AED=∠ADE.所以 ∠ABC=∠AED=1/2（180°-∠A）.所以DE∥BC.而BE与CD不平行，所以四边形BCDE是梯形．又因为BE=CD，故四边形BCDE是等腰梯形．

点评：等腰梯形常见的判定方法有：①两腰相等的梯形；②同一底上的两个角相等的梯形；③对角线相等的梯形．