利用分解因式判定三角形形状

陈国玉

给出三角形三条边的某种关系，判断三角形的形状，这类题中考中很常见．此类题是对同学们综合运用分解因式和几何知识能力的考查．解决此类问题的基本方法是：将已知等式的右边化为0，左边分解为几个因式的乘积，即将已知等式化为ab＝0的形式，然后根据a＝0或b＝0来确定三角形的形状．下面举例说明．

例1已知是a、b、c是△ABC的三边长，当b2＋2ab＝c2＋2ac时，试判断△ABC的形状．

分析：将已知等式b2＋2ab＝c2＋2ac的两边都加上a2，使等边的左右两边都成为完全平方式，再将右边的移到左边，利用平方差公式进一步分解即可．

解： ∵ b2＋2ab＝c2＋2ac，∴ b2＋2ab＋a2＝c2＋2ac＋a2．

即（a＋b）2＝（a＋c）2．

移项，得（a＋b）2－（a＋c）2＝0．

利用平方差公式分解，得［（a＋b）＋（a＋c）］［（a＋b）－（a＋c）］＝0．

即（2a＋b＋c）（b－c）＝0．

∵ 2a＋b＋c≠0，∴ b－c＝0． b＝c．

所以△ABC是等腰三角形．

例2已知a、b、c是△ABC的三边长，且a4－b4＝a2c2－b2c2，试判断△ABC的形状．

分析： 将等式a4－b4＝a2c2－b2c2的两边分别分解因式，然后将右边的移到左边，再用提公因式法分解即可．

解： ∵ a4－b4＝a2c2－b2c2，∴ （a2＋b2）（a2－b2）＝c2（a2－b2）．

即（a2＋b2）（a2－b2）－c2（a2－b2）＝0．

∴ （a2－b2）（a2＋b2－c2）＝0．

当a2－b2＝0时，得a＝b，△ABC是等腰三角形．

当a2＋b2－c2＝0时，得a2＋b2＝c2，△ABC是直角三角形．

所以，△ABC是等腰三角形或直角三角形．

例3已知某三角形的三边长分别为a、b、c，且满足a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝0，请判断此三角形的形状．

分析：将等式的左边化成三个完全平方式的和，再利用非负数的性质即可判断．

解：把等式a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝0的两边都乘以2，得

2a2＋2b2＋2c2－2ab－2ac－2bc＝0．（a2－2ab＋b2）＋（a2－2ac＋c2）＋（b2－2bc＋c2）＝0．

∴（a－b）2＋（a－c）2＋（b－c）2＝0．

∵（a－b）2≥0，（a－c）2≥0，（b－c）2≥0，

∴a－b＝0，a－c＝0，b－c＝0．即a＝b＝c．

所以此三角形是等边三角形．

<\192.168.0.129本地磁盘 (d)王玲霞数据八年级数学北师大08年1-2期版式+图jjgg.TIF>[练习]

1． 已知三角形的三边a、b、c满足a2b－a2c＋b2c－b3＝0，则这个三角形是三角形．

2． 已知a、b、c为某三角形的三边长，且满足a2＋ab－ac－bc＝0，b2＋bc－ab－ca＝0，则这个三角形的形状是（）．

A． 等腰三角形（但三边不全等） B． 直角三角形

C． 等边三角形 D． 等边三角形或直角三角形

3． 已知△ABC三边长a、b、c满足3（a2＋b2＋c2）＝（a＋b＋c）2，请判断△ABC的形状．

参考答案

1． 等腰2． C3． 等边三角形．

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文