关于交流电有效值定义中“相同时间”及适用范围的讨论

叶卫国　王翠红

黄石实验高中，湖北省黄石市435000

中学课本是这样定义交流电有效值的概念的：让交流电和直流电通过相同阻值的电阻，如果它们在相同时间内产生的热量相等，就把这一直流电的数值叫做这一交流电的有效值。

定义中“相同的时间”是多长时间，课本中没有指出。但在实际的相关计算中都是取一个周期。为什么可以这样处理？我们可以从其定义出发做一推导如下：（以正弦式交流电为例）

设有一直流电和一正弦交流电分别通过同样的电阻R，经时间t产生的热量均为Q，设直流电大小为I，则Q=I2Rt，设交流电的平均效率为，则有Q=I2Rt=t，所以有

I=PR。①

而正弦交流电的瞬时功率为

P=I2R=（I璵sinωt)2R

=I璵2R•12(1-cos2ωt)

=12I璵2R-12I璵2Rcos2ωt，

则功率平均值为

=∑p璶t璶t=∑(12I璵2R-12I2璵Rcos2ωt璶)t璶t

=12I2璵R-12I2璵R∑t璶cos2ωtt。

若t取一周期，即t=T，由余弦函数性质知上式第二项平均值为0。

故有=12I2璵R。②

由①、②式得I=I璵2。

这就是课本中正弦交流电有效值的由来。显然，当t=T时，上式才成立，故建议课本把有效值定义中的“相同时间”改为“一周期内”，这样才符合实际，也便于学生理解和应用。

那么，交流电有效值是不是在任何情况下都适用呢？请看下例：

例 闭合线圈置于水平强磁场中，开始时线圈平面与磁场线成45°角（图1加粗线所示）。若线圈绕水平且垂直磁场的轴沿顺时针方向以ω匀速转过90°角过程中，线圈中产生热量为Q1；线圈沿逆时针方向以相同角速度ω匀速转90°过程产生热量为Q2，则（ ）

A.Q1＞Q2。

B.Q1=Q2。

C.Q1＜Q2。

D.不确定。

解析 线圈开始转动时距中性面为45°角，画出电流图线（取顺时针旋转时电流为正），如图2，图3所示：（图2、3加粗部分为题目中所提及电流状况）おお

当线圈在起始位置时，电流大小I1=I璵sin45°=0.707I璵，由图中可以看出，顺时针旋转时的电流值在0.707I璵以上，逆时针旋转时电流大小均小于0.707I璵，即后者发热肯定比前者小，故正确答案应选A。此题如果用有效值计算的话，由于两次电流持续时间相同，均为14周期，有效值也相同，则应得出发热量也相同的结论，这显然是不符合事实的。

这个例子说明，用交流电的有效值来计算交流电发热并不是任何情况下都是正确的。如对于这样的时间段，t=217T、t=3110T等，分数部分不是T4的整数倍，则用有效值计算出的结果与实际结果之间存在极微小的误差，时间越长，相对误差越小。对于一般的计算来说，这个误差可以忽略不计。

综上所述，应该把有效值定义中的“相同时间”改为“一周期内”较为合适。有效值概念有时能精确地反映电流发热的情况，有时只能粗略地反映电流发热的情况，类似于用平均速度描述物体的运动快慢。但是其优点也是显而易见的：直观，便于计算，读数方便等等。

(栏目编辑罗琬华)