弱s-置换性传递的有限群

郭鹏飞,郭秀云

(1.上海大学数学系,上海 200444;2.连云港师范高等专科学校数学系,江苏连云港 222006)

弱s-置换性传递的有限群

郭鹏飞1,2,郭秀云1

(1.上海大学数学系,上海 200444;2.连云港师范高等专科学校数学系,江苏连云港 222006)

群G被称为弱s-置换性传递的群,对于它的子群H和K,若H在K中弱s-置换, K在G中弱s-置换,则H在G中弱s-置换.本文给出弱s-置换性、弱s-补性传递的可解群的结构以及每一子群在G中弱s-置换、弱s-补的群的结构.

弱s-置换子群;弱s-补子群;传递性;超可解

1 引言

本文所指的群均为有限群,所用符号都是标准的,主要取自文[1].

文[1]中的Dedekind和Bare确定出每一子群皆正规的群的结构,并称之为Dedekind群.群G为Dedekind群当且仅当G或者为交换群,或者G=Q8×A×B成立(其中Q8是8阶四元素群, A是奇阶交换群,B是方次数为1或2的交换群).后来,文[2]确定出群G的每一子群均在G中拟正规的群的结构.近来,文[3]确定出每一子群皆c-正规的群的结构.

Dedekind群是满足正规性传递的群(若H是K的正规子群,K是G的正规子群,则H是G的正规子群).但对于一般的群而言,这种性质是不成立的.那么,满足正规性传递的群的结构就是人们感兴趣的问题,这就是所谓的T-群.Gasch¨utz、Zacher、Agrawal分别给出可解T-群、可解PT-群(拟正规性传递)、可解SPT-群(s-拟正规性传递)的结构.群G是一个可解T-群(可解PT-群、可解SPT-群)的充要条件是G有一个奇阶正规交换的Hall子群H使得G/H是一个Dedekind群(模幂零群、幂零群),并且G的每个元素在H上诱导一个幂自同构.文[3]证明了:群G为可解c-正规性传递的充要条件是G存在一个幂零正规子群H使得G/H为初等交换群,且G的每个元素在H上诱导一个幂自同构.

弱s-置换性、弱s-补性都是c-正规性的推广,因此,本文考虑:每一子群在G中分别弱s-置换、弱s-补时G的结构,并且确定出:弱s-置换性、弱s-补性传递的可解群的结构.另外,这些结构之间是否存在联系我们也进行了研究.

2 基本概念和引理

定义2.1[4]群G的子群H被称为G的弱s-置换子群(弱s-补子群),若存在G的一个次正规子群(子群)N,使得HN=G且H∩N≤HsG,其中HsG是包含于H的群G的所有s-拟正规子群生成的群.

定义2.2群G被称为弱s-置换性(弱s-补性)传递的群,对于它的子群H,K,若H在K中弱s-置换(弱s-补),K在G中弱s-置换(弱s-补),则H在G中弱s-置换(弱s-补).

引理2.1[4]设G为一个群且H≤K≤G.则

(1)若H是G的s-拟正规子群,则H是G的弱s-置换子群;

(3)若H是G的弱s-置换子群(弱s-补子群),则H是K的弱s-置换子群(弱s-补子群);

引理2.2[5]设G是一个群.则G是可解群的充要条件是G的每个极大子群都是G的c-正规子群.

引理2.3设G为一个群,H≤G且L≤Φ(H).若L是G的弱s-补子群,则L是G的s-拟正规子群且L≤Φ(G).

证明由假设可知,G存在一子群K,使得G=LK且L∩K≤LsG.由L≤Φ(H)得, H=H∩G=L(H∩K)=H∩K,那么L=LsG.即L是G的s-拟正规子群.若L≰Φ(G),则G存在一极大子群M使得G=LM.然而H=H∩G=L(H∩M)≤M,那么G=LM=M,与假设矛盾,因此L≤Φ(G).

引理2.4设G是一个群且H≤G,则H是G的弱s-补子群当且仅当G存在一子群K,使得G=HK且H∩K=HsG.

证明(⇐)显然.

(⇒)由定义可知,G存在一子群R,使得G=HR且H∩R≤HsG.若H∩R=HsG,则令R=K即可;若H∩R＜HsG,则令K=RHsG,那么G=HRHsG=HK且H∩K= H∩RHsG=HsG(H∩R)=HsG.

引理2.5[6]设G是一个群.则G是可补群的充要条件是G的每个Sylow子群都是初等交换群且G的每个主因子是循环群,其中可补群是指G每个子群在G中有补.

3 弱s-置换性传递的有限群

定理3.1设G是一个群.若G的每个素数幂阶循环子群是G的弱s-补子群,则G为超可解群.

证明假设定理不真且设G为极小阶反例.应用引理2.1(3)即知,定理的假设对于G的每一真子群成立,从而G的每一真子群为超可解群.因此,由文[7]的定理7.5有

(1)G有一正规Sylow子群P,使得P/Φ(P)是G/Φ(P)的一个极小正规子群;

(2)Φ(P)≤Z(P).

下证Φ(P)的任一子群正规于G.

设x∈Φ(P)≤Φ(G).由假设,G存在一子群T,使得G=〈x〉T且〈x〉∩T≤〈x〉sG,所以〈x〉=〈x〉sG,T=G.即〈x〉是G的s-拟正规子群.任取Q∈Sylp(G)(q/=p),则〈x〉Q=Q〈x〉.由于〈x〉是〈x〉Q的s-拟正规子群,所以〈x〉次正规于〈x〉Q.又〈x〉是〈x〉Q的Hall子群,故〈x〉〈x〉Q.由Q的任意性,NG(〈x〉)≥Op(G).再由〈x〉≤Z(P)即知,〈x〉G.由x的任意性,Φ(P)的任一子群正规于G.

设y∈PΦ(P).由假设,G存在一子群K,使得G=〈y〉K且〈y〉∩K≤〈y〉sG.因为P/Φ(P)是初等交换群且Φ(P)的任一子群正规于G,所以|〈y〉/〈y〉sG|≤p.

若|〈y〉/〈y〉sG|=1,则〈y〉=〈y〉sG是G的s-拟正规子群,那么〈y〉Φ(P)/Φ(P)是G/Φ(P)的s-拟正规子群.

若|〈y〉/〈y〉sG|=p,由引理2.4,G存在一子群K1,使得G=〈y〉K1且〈y〉∩K1=〈y〉sG,那么|G:K1|=p且K1G.因此

这说明P/Φ(P)的每个循环子群是G/Φ(P)的弱s-补子群.

另外,对于G的每个阶为qα(q/=p)的循环子群H来说,由引理2.1(4),HΦ(P)/Φ(P)是G/Φ(P)的弱s-补子群.因此,G/Φ(P)满足定理条件.

若Φ(P)/=1,由G的极小性,G/Φ(P)为超可解群.由于Φ(P)≤Φ(G),所以G/Φ(G)是超可解群,那么G是超可解群,矛盾.

若Φ(P)=1,则P是初等交换群.若|P|=p,则G/P是超可解群,那么G已是超可解群,故可设|P|≥p2.任取c∈P且|c|=p.由假设,G存在一子群R,使得G=〈c〉R且〈c〉∩R≤〈c〉sG.

若〈c〉=〈c〉sG,即〈c〉是G的s-拟正规子群.任取Q∈Sylp(G)(q/=p),易证NG(〈c〉)≥Op(G).又由P的交换性即知,〈c〉G,与P的极小正规性矛盾,因此〈c〉sG=1.

由于弱s-置换子群必是弱s-补子群,所以可以得到下面这个结果.

推论3.1设G是一个群.若G的每个素数幂阶循环子群是G的弱s-置换子群,则G为超可解群.

定理3.2设G为一个群,则下列命题等价:

(1)G是弱s-置换性传递的可解群;

(2)G的每个子群都是弱s-置换子群;

(3)G的每个素数幂阶循环子群都是弱s-置换子群;

(4)G存在一个幂零正规子群H使得G/H为初等交换群,且H中的每个子群在G中s-拟正规.

(2)⇒(1)由推论3.1即知.

(2)⇒(3)显然.

(3)⇒(4)由推论3.1,G是超可解群,故G'是幂零群,从而H=G'Φ(G)是幂零群.由G'≤H可知,G/H为交换群.对G的每个Sylow子群P,由引理2.3,Φ(P)的每个子群s-拟正规于G且Φ(P)≤Φ(G),故G/H的每个Sylow子群初等交换,从而G/H初等交换.

下证Φ(G)G'的每个子群在G中s-拟正规.

任取x∈Φ(G)G'.由题设可知,〈x〉在G中弱s-置换,故存在G的次正规子群N,使得G=〈x〉N且〈x〉∩N≤〈x〉sG.若〈x〉不是G的s-拟正规子群,则N为G的真子群,故存在G的极大正规子群M使得N≤M.由于G/M=〈x〉M/M～=〈x〉/〈x〉∩M是交换群,故G'≤M,从而G=〈x〉N=(Φ(G)G')N=G'N≤M,矛盾,因而Φ(G)G'的每个循环子群〈x〉在G中s-拟正规,故Φ(G)G'的每个子群在G中s-拟正规.

(4)⇒(2)设A为G的任意子群,若A≤H,则A是G的s-拟正规子群.若A≰H且AH=G,则A∩H是G的s-拟正规子群,故A∩H≤AsG;若A≰H且AH＜G,则存在G的正规子群N使得G/H=(AH/H)×(N/H),G=AN且A∩N≤H,故A∩N是G的s-拟正规子群,从而A∩N≤AsG,因此G的每个子群在G中弱s-置换.

4 弱s-补性传递的有限群

下面先给出一个满足弱s-补性传递的非可解群.

例4.1设G=Z2(Z3S),其中S为Suzuki单群Sz(2q),q是奇素数,|S|=(22q+ 1)22q(2q−1),Z2,Z3分别是2阶,3阶循环群．

由文[7]可知,Sz(2q)的子群为：1)Frobenius群,Sylow 2-子群的正规化子,阶为22q(2q−1); 2)二面体群,阶为2(2q−1),(含2q−1阶循环子群);3)22(2q±2(q+1)/2+1)阶群,含2q±2(q+1)/2+1阶循环子群,整个群为此循环子群的正规化子．由于S中无非平凡正规子群,所以S中非平凡弱s-补子群H在S中有补．设S=HK且H∩K=1,则|S|=|H||K|.由S的子群的阶可知,S中不存在这样的子群,所以S是G的极小弱s-补子群.由G的定义关系易知,G是非可解的弱s-补性传递的群．

定理4.1设G为一个群,则下列命题等价:

(1)G是弱s-补性传递的可解群;

(2)G的每个子群都是G的弱s-补子群;

(3)G的每个素数幂阶循环子群都是G的弱s-补子群;

(4)G是超可解群,G/Φ(G)的每一Sylow子群是初等交换群且Φ(G)的每个子群在G中s-拟正规.

证明由引理2.2及定理3.1即知,(1)⇔(2).

(2)⇒(3)显然.

(3)⇒(4)由定理3.1,G是超可解群.任取P∈Sylp(G).由引理2.3,Φ(P)≤Φ(G).任取PΦ(G)/Φ(G)∈Sylp(G/Φ(G)),则

是初等交换群.易证Φ(G)的每个子群在G中s-拟正规.

(4)⇒(2)显然,Φ(G)的每个子群在G中弱s-补.设A为G的任意子群,A≰Φ(G)且AΦ(G)＜G.由引理2.5,存在G的子群N≥Φ(G),使得

这说明G=AN,A∩N≤Φ(G),所以A∩N是G的s-拟正规子群,从而A∩N≤AsG,因此,G的每个子群在G中弱s-补.

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Finite groups in which having weakly s-permutable transitivity property

GUO Peng-fei1,2,GUO Xiu-yun1

(1.Department of Mathematics,Shanghai University,Shanghai200444,China;
2.Department of Mathematics,Lianyungang Teachers College,Lianyungang222006,China)

A finite group G is called having weakly s-permutable transitivity property if,for subgroups H and K with H weakly s-permutable in K and K weakly s-permutable in G,it is always the case that H weakly s-permutable in G.In this paper,the structure of finite solvable groups whose subgroups having transitivity property on weakly s-permutable subgroups,weakly s-supplemented subgroups,respectively are further studied.Finally,the structure of a finite group G whose subgroups having weakly s-permutable property,weakly s-supplemented property,respectively are described.

weakly s-permutable subgroups,weakly s-supplemented subgroups,transitivity property,supersolvable

O152.1

A

1008-5513(2009)04-0649-05

2008-05-11.

国家自然科学基金(10771132),SGRC(GZ310),江苏省高校“青蓝工程”资助项目(2006).

郭鹏飞(1972-),博士,副教授,研究方向：群论.

2000MSC:20D10,20D20