数学思维的应用

李　奎　尹文丽

学习数学应该看成是学习数学思维过程以及数学思维结果这三者的综合。可以说数学思维是动的数学,而数学知识本身是静的数学,这三者是辨证统一。数学思维与数学知识的关系犹如人体的血肉关系,血液之荣枯外现于形体之盛衰。就是说数学思维能力的强弱直接影响着人们掌握和发现数学知识的广狭和深浅。

数学思维方式的层次和类型也有各种不同的划分,根据这种划分,我们可以得出下列结论:

(1)数学思维方式按照思维活动的形式可以分成逻辑思维、形象思维和直觉思维三类。

数学直觉思维是包括数学直觉和数学灵感的一种独立表现形式。是能够迅速地直接地洞察或领悟对象性质的思维方式,它们以思维的跳跃性或突发性为主要特征,用阿达玛的话来说,“直觉”思维是以相当多的无意识“成分”,思维过程更分散,迅速和省略为特征。

(2)数学思维方式按照思维指向可以分成集中思维和发散思维两类。

集中思维是指从一个方向深入问题或朝着一个目标前进的思维方式。“在集中思维时,全部信息仅仅是导致一个正确的答案或一个人们认为最好的或最合乎惯例的答案”。

发散思维则是具有多个思维指向,多种思维角度并能发现多种解答或结果的思维方式。在发散思维时,“我们是沿着各种不同的方向去思考的,即有时去探索新远景,有时去追求多样性”。

(3)数学思维方式按照智力品质可以分成再现性思维和创造性思维两类。

再现性思维是一种整理性的一般思维活动,而创造性思维是与创造活动——与数学有关的发明、发现、创造等能产生新颖、独特、有社会或个人价值的精神或物质产品的活动相联系的思维方式,创造性思维是再现性思维的发展,再现性思维是创造性思维的基础。

(4)多维型思维在具体的数学思维过程中,相互交叉。

数学形象思维和数学逻辑思维往往是交线,在一起不能分开的。它们相互渗透,相互启发,并向立体思维转化,使思维的方向朝着不同的角度、不同的方面拓展开来,呈现出一种发散的多维型思维的特征,进而使原来的思维向更高级的思维形式——辩证思维升华。

要正确地进行数学思维获得数学知识和解决数学问题,就要使思维进程符合客观运动的辨证规律。因此,主体进行数学思维活动时使用科学辨证的操作方式是发展数学思维和指导数学学习的关键。

集中思维的特点是思维集中,所有信息都朝着一个目标深入发展以生成新信息。集中思维在思维方向上具有定向性、层次性和聚合性(或收放性);在思维内容上具有求同性和专注性。它是深刻地理解概念,正确地解决问题,完整地掌握知识系统的重要思维方式。

(1)定向思维(或正向思维)是集中思维的一种形式,它是按照常规习惯形成的沿着固定方向,采用一定的模式或方法进行的对问题的分析思考。思维定势在适合的条件下,一般能迅速地联想和使用已有的知识与技能来分析和解决问题,表现了正迁移作用。

思维定势的正迁移作用还表现在,它又是类比、联想等思维活动得以展开的基础,特别是思维定势与直觉有直接的关系。直觉是思维定势的一种潜在表现。但是过分强调定向思维后却容易引起负迁移,表现出思维僵化、呆板等封闭性,而不能从多角度、全面地看问题。特别是在解决一些非常规的或探索性、开放性的数学问题就会束手无策。

(2)纵向思维是集中思维的另一种形式,它是把思维目标沿着逐步深入的方向,分解成若干个前后联系的小目标。(称为中途点或环节)。通过逐个解决小目标达到解决大目标的思维方式。这种思维同样也反映思维过程的连续性、渐进性和联结性。但它思维环节之间的层次性和因果性,在数学学习中,通常是把原问题分解成若干个纵深联结的小问题,前面小问题的解决是为后续小问题的解决服务的。

常用的数学思维方法还有观察、实验等。在用于对实际对象或实际过程的思维时,这些方法互相穿插、配合,灵活运用。而分析与综合是最基本的方法,是其他一切思维方法的基础。当然,在数学思维活动中,抽象与概括有着特别重要的意义,这是数学的特点所决定的,它们是数学思维活动的核心,数学思维方法是数学方法论的基础。

数学思维方式就是数学思维过程中主体进行数学思维活动的相对定型、相对稳定的思维样式,它是数学思维方法与数学思维形式的统一,并且通过一定的数学思维内容而得以体现。数学思维方式的形成与数学思维关联系统的各种要素的相互作用有关。学生在解决数学问题时,把面对的问题通过转化、分析、综合、假设等变化成已知的数学问题。在这个思维过程中,要依据具体情况恰当地运用分析与综合、具体与抽象、求同与求异、一般与特殊等思维方法。