一道高一数学习题批改引发的思考

■江思容

一道高一数学习题批改引发的思考

■江思容

练习：已知集合A={1，2，}，B= {1,3}，且B≤A，求a的取值范围。

解：因为B≤A，所以a2-3a-1=3，配方得，即，所以有：，解得a=4或 -1。

这是高一学生学习集合后遇到的一个简单而典型的习题，翻看学生的作业，发现很多学生都是这样解答的，教师也给了一个勾，批改错了吗？没有；解答合理吗？显然不合理；学生知道一元二次方程求根公式吗？他们基本上都能正确写出来。面对这种正确而不合理、知而不用的情形，教师该做些什么呢？

反思探究一：提高解题起点，调整认知结构

解题起点是指问题解决过程中思维的出发点，解题起点往往影响学生解题速度及解题长度，而解题起点的选择与个体认知结构密切相关。在解题教学中，关注学生解题过程，从解题起点入手，将知识结构内化为学生的认知结构，有利于解题能力的提高。

从初中对一元二次方程的教学要求（浙教版）来看，学生要掌握一元二次方程的两种解法：配方法和公式法。公式法是在配方法的基础上推导出来的，是比配方法更高的概括和抽象，舍弃公式法选用配方法折射出学生没有把公式法内化为自己的知识，也就是还没有把配方、开方、移项、求解等推导一元二次方程求根公式的过程压缩成一个操作单元——求根公式，整合到自己的知识结构中去，形成整体性的结构化认知，导致学生解一元二次方程的起点还是从配方开始。

用公式法解一元二次方程是一种技能，面对这种正确而不合理的解答，教师若置之不理，学生的解题技能是不会自动获取的。认知心理学认为熟练基本技能的获得需要经历三个阶段：①认知阶段，对这一技能包含的需要执行的行为形成最初的陈述性编码；②联系阶段，将陈述性知识转化为程序性知识，构成该程序各部分的产生式的连接，即条件与行为的一系列配对得以增强；③自动化阶段，整个程序得到进一步的完善，使有关条件图式与一连串的适当反应趋向自动化。从学生的表现来看，还没有对一元二次方程（图式）产生自动化的反应（用求根公式），自动化反应的获取需要一定的训练，类似的问题在教学中经常出现，例如对数的运算法则，学生记得很熟，用起来就错。

教学建议：针对学生“知而不用”或“一用就错”的现象，教师要抓住契机引导学生应用所学知识解决问题，形成技能，并加强与相关知识的联系，促进知识、方法间的立体融合，将知识结构内化为学生的认知结构，促进解题能力的提高。

反思探究二：理清解题起点，完善认知结构

荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔说过：“反思是数学思维活动的核心和动力。”当今高考题型日趋模式化，以致很多教师在指导学生解答客观题时过分强调答题技巧，追求答案的正确性，缺少对问题刨根问底的深究，这样一来答案虽然正确，学生却只知其“然”而不知其“所以然”。答案如同漂浮在水中的浮萍，找不到思维的支撑点，从而造成学生对问题的认知不稳定、不明晰、杂乱无章，不利于后续学习。反之，教师如果引导学生深究根源，找到思维的支撑点，就能有利于学生形成明晰、稳定、有组织的认知结构，促进学生学习的迁移，提升学生的解题能力。

例如2007年高考数学广东卷：如图（图略）是某汽车维修公司的维修站点环形分布图，公司在年初分配给A、B、C、D四个维修点某种配件各50个。在使用前发现须将A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件，但调整只能在相邻两站点间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次(n个配件从一个维修点调动到相邻维修点的件次记为n)为()

A．15 B．16 C．17 D．18

通过观察比较可得，A调10件到D，B调5件到C，C调1件到D，共调16件，选择答案B．这样虽然得到了正确的答案，却缺少逻辑上的支撑，还存在明显的漏洞：如何否定答案A？除了给出的调动方案外，还有没有其它的方案呢？这些问题若不能解决，学生对这个问题犹如雾里看花．要从根本上解决问题，教师不妨引导学生寻找问题的一般解法：

设A向B调配x1件，B向C调配x2件，C向D调配x3件，D向A调配x4件(xi＞0表示逆时针方向；xi＜0表示顺时针方向；xi=0表示没有调配)可得方程组如下：

现在问题就转化为求M=|x1|+|x2| +|x3|+|x4|=|x1|+|x1+5|+|x1+1|+|x1-10|下面对x1进行分类讨论，化为分段函数求最小值。

由分段函数的最小值可知，正确答案为B，有两种调配方式，即分别取x1=0或-1所对应的两种调配方式。除分段函数求最小值外，还可以引导学生用绝对值不等式|a|+|b|≥|a±b|解决问题，然后总结规律。

教学建议：针对某些客观题答案易得根据难寻的现象，教师可引导学生进行“小题大做”，对“形异质同”的问题归类，挖掘问题的本质，寻找思维的起点，完善学生的认知结构。

反思探究三：寻求合理解题方法，优化认知结构

建构主义学习论认为：个体的学习不是在一片空白或完全相同的背景下进行的，学习者已有的知识经验、信念、个性、情感等都不同程度的参与其中。由于个体经验的不同，学生对同一问题便会形成理解上的差异，表现在解题中就是对信息的表征、转化不同，选择的解题思路不同，自然就出现了同一问题，不同的解法。诸多解法中有繁有简，有通法有特法，尽管每种解法对解题者而言是“合适”的，然而过于繁杂的解法背后反应的是解题者认知结构的不合理。数学学习过程是数学认知结构的发展变化过程，数学教学不仅要促进学生认知结构的发展，还要帮助学生优化其认知结构，学生解法的差异性正是教师可以利用的丰富资源。例如：

设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π＜φ＜0)，y=f(x)图像的一条对称轴是直线x=。

(1)求φ的值；

(2)求函数y=f(x)的单调区间；

(3)画出函数y=f(x)在区间［0，π］上的图像。

学生在解答第一问时常用的方法有两种：

解法1是基于对三角函数图像轴对称的考虑作出的解答，解法2是基于对一般函数图像轴对称作出的解答，还用到了特殊化的思想方法，解法2的包摄程度更高，具有更一般的意义及推广价值，教师可以通过对两种方法的比较分析，引导学生感悟两种方法的区别与联系，从而完善个体的认知结构。

教学建议：在解题中表现出来的个体差异是一笔宝贵的财富，教师可以选择典型问题、典型解法进行分析，促进学生之间思想方法的交流，优化学生的认知结构。

作业批改是教学的重要环节，教师不仅要当好裁判员，还要当好教练员，通过作业批改，洞察学生学习中存在的问题，采取相应措施，帮助学生优化知识、方法的组合方式，完善认知结构，促进学生数学认知的发展。

（作者单位：武汉市洪山区教育科学研究培训中心）

责任编辑 王爱民