欧氏环中两元的最大公因式及其性质

阿布都瓦克·玉奴司，张四保

(喀什师范学院 数学系，新疆 喀什 844007)

1 基本定义与引理

定义1［1］一个整环I叫做欧氏环，假如l:

(1)从I*到非负整数集合N的映射Φ存在;

(2)∀b∈I，都有q，r∈I，使得b=aq+r，其中r=0 或 Φ(r)＜ Φ(a)(叫做带余除法［2］).

引理1 设I是一个欧氏环，如果∃a∈I*，使得Φ(a)=0，那么a整除I的每一个元.

证明 因为∃a∈I*，使得 Φ(a)=0.取b∈I，若b=0;则a|b;若b≠0，则由定义 1 可知，∃q，r∈I，使得b=aq+r，其中r=0或Φ(r)＜Φ(a)⇒r=0;否则Φ(r)＜Φ(a)=0⇒Φ(r)＜0，这是一个矛盾，从而r=0，于是a整除I的任意一个元.

推论1［3］若I是一个欧氏环，并且a是使 Φ(a)=0的I*的一元，那么I={aq|q∈I}.

推论2 若I是一个欧氏环，并且a是使Φ(a)=0的I*的一元，那么a是I的可逆元(单位).

证明 由推论1知I={aq|q∈I}.因为1∈I，所以∃q∈I使得aq=1，即a是可逆的.

引理 2［4］设I是欧氏环，如果I中有b=aq+r，那么(a，b)=(a，r).

证明 设a与b的一个最大公因式为d，记为(a，b)～d.因为d|a，b⇒d|b-aq=r，所以d|a，r;另一方面，对∀c|a，r⇒c|aq+r=b，即c|a，b，因为d是a与b的一个最大公因式，所以c|d，这样d也是(a，r)的一个值，即(a，r)～d，从而(a，b)=(a，r).

2 主要结论

定理1 设I是一个欧氏环，那么对∀a，b∈I来说，存在a与b的最大公因式(a，b)，并且∃u，v∈I，使得au+bv～(a，b).

证明 若a，b∈I有一个为0，不妨假定b=0，那么a是a与b的一个最大公因式，即(a，b)～a.若a，b∈I都不为0，由欧氏环的定义知，∃q1，r1∈I，使得a=bq1+r1，则有下列诸等式:

这个过程称之为辗转相除法.在此过程中一定存在rs=0，否则任何rs≠0，这时得到以下不等式链:Φ(b)＞Φ(r1)＞Φ(r2)＞…＞Φ(rs)＞…，其中Φ(b)是一个有限正整数，有∃rn∈I使得 Φ(rn)=0，由引理1得知rn整除I的每一元，所以rn|rn-1，从而rn+1=0，与任何rs≠0矛盾.于是辗转相除法过程中有一等式rs-2=rs-1qs+rs中rs=0，有(rs-2，rs-1)=(rs-1，rs)～rs-1.再由引理 2 ，(rs-2，rs-1)=(rs-3，rs-2)= … =(r2，r1)=(a，b)，有(a，b)～rs-1，即rs-1是a与b的一个最大公因式，这样就证明了在欧氏环中最大公因式的存在性.

即最后可以消去所有rs，所以(a，b)～rs-1=au+bv.

推论 3a，b是欧氏环I的两元，那么(a，b)～1⇔∃u，v∈I使得au+bv～1.

证明 充分性可由定理1直接得出.

必要性:设∃u，v∈I使得au+bv～1.因为对∀c|a，b⇒c|au+bv，即c|ε(ε∈UI)，所以(a，b)～1.

定理 2 若欧氏环I中(a，b)～1，则对∀c∈I，都有(a，bc)=(a，c).

证明 因为(a，b)～1，所以 1是a，b的最大公因式.所以∃u，v∈I，使得au+bv=1，对∀c∈I都有，由此可知a，bc与a，c相同公因式，从而(a，bc)=(a，c).

推论 4 在欧氏环I中若(a，b)～1，则(an，bm)～1，∀n，m∈N*.

推论 5 欧氏环中若(ai，bj)～1(i=1，2，…，n;j=1，2，…，m)，那么(a1a2…an，b1b2…bm)～1.

证明 由定理 2 得(ai，b1b2…bm)=(ai，b2b3…bm)= … =(ai，bm)～1，即(ai，b1b2…bm)～1(*)(i=1，2，…，n).同样可得(a1a2…an，b1b2…bm)=(b1b2…bm，a1a2…an)(b1b2…bm，a2a3…an)= … =(b1b2…bm，an)～1.

总之，一个欧氏环中既可以明确地看到最大公因式的存在性，又可以给出具体求法，另外欧氏环中讨论问题比较方便，其很有实用性的特殊主理想环，又是一个唯一分解环.

［1］张和瑞.近世代数基础(修订本)［M］.高等教育出版社，1978

［2］吴品三.近世代数［M］.北京:高等教育出版社，1979

［3］阵立中.欧氏环定义引发的一例错误［J］.台州师专学报，1998，20(6):72-74

［4］王丹华，杨海文，刘咏梅.初等数论［M］.北京:北京航空航天大学出版社，2008

［5］李冰.关于欧氏环定义中单位元的讨论［J］.唐山师专学报，1993，21(2):6-8